兩點間地距離公式

1、5.3 兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移知識梳理1.設A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.|=.2.線段的定比分點是研究共線的三點P1，P，P2坐標間的關系.應注意：（1）點P是不同于P1，P2的直線P1P2上的點；（2）實數(shù)是P分有向線段所成的比，即P1P，PP2的順序，不能搞錯；（3）定比分點的坐標公式（1）.3.點的平移公式描述的是平移前、后點的坐標與平移向量坐標三者之間的關系，特別提示1.定比分點的定義：點P為所成的比為，用數(shù)學符號表達即為=.當0時，P為內分點；0時，P為外分點.2.定比分點的向量表達式：P點分成的比為，則=+（O為平面內任一點）

2、.3.定比分點的應用：利用定比分點可證共線問題.點擊雙基1.（2004年東北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點的坐標由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為A.y=f（x+1）2B.y=f（x1）2C.y=f（x1）+2D.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線y2=4x沿向量a平移得到拋物線y24y=4x，則向量a為A.（1，2）B.（1，2）C.（4，2）D.（4，2）解析：設a=（h，k），由平移公式得代入y2=4x得（k）2=4（h），

3、22k=44hk2，即y22ky=4x4hk2，k=2，h=1.a=（1，2）.答案：A思考討論本題不用平移公式代入配方可以嗎?提示：由y24y=4x，配方得（y2）2=4（x+1），h=1，k=2.（知道為什么嗎?）3.設A、B、C三點共線，且它們的縱坐標分別為2、5、10，則A點分所得的比為A.B.C.D.解析：設A點分所得的比為，則由2=，得=.答案：C4.若點P分所成的比是（0），則點A分所成的比是_.解析：=，=（+）.（1+）=.=.=.答案：5.（理）若ABC的三邊的中點坐標為（2，1）、（3，4）、（1，1），則ABC的重心坐標為_.解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），

4、C（x3，y3），則 重心坐標為（，）.答案：（，）（文）已知點M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段M1M2的交點M分有向線段的比為32，則m的值為_.解析：設M（x，y），則x=3，y=5，即M（3，5），代入y=mx7得5=3m7，m=4.答案：4典例剖析【例1】 已知點A（1，6）和B（3，0），在直線AB上求一點P，使|=|.剖析：|=|，則=或=.設出P（x，y），向量轉化為坐標運算即可.解：設P的坐標為（x，y），若=，則由（x+1，y6）=（4，6），得解得此時P點坐標為（，4）.若=，則由（x+1，y6）=（4，6）得解得P（，8）.綜上所述，P（，4）或（，8

5、）.深化拓展本題亦可轉化為定比分點處理.由=，得=，則P為的定比分點，=，代入公式即可；若=，則=，則P為的定比分點，=.由兩種方法比較不難得出向量的運算轉化為坐標運算，是解決向量問題的一般方法.【例2】 已知ABC的三個頂點坐標分別是A（4，1），B（3，4），C（1，2），BD是ABC的平分線，求點D的坐標及BD的長.剖析：A、C兩點坐標為已知，要求點D的坐標，只要能求出D分所成的比即可.解：|BC|=2，|AB|=，D分所成的比=.由定比分點坐標公式，得D點坐標為（95，）.|BD|=.評述：本題給出了三點坐標，因此三邊長度易知，由角平分線的性質通過定比分點可解出D點坐標，適當利用平面幾

6、何知識，可以使有些問題得以簡化.深化拓展本題也可用如下解法：設D（x，y），BD是ABC的平分線，=，.，即=.又=（1，3），=（x3，y4），=（4，2），=.（4+）x+（23）y+920=0.又A、D、C三點共線，共線.又=（x4，y1），=（x+1，y2），（x4）（y2）=（x+1）（y1）.由可解得D點坐標為（95，），|BD|=.思考討論若BD是AC邊上的高，或BD把ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請讀者思考.【例3】 已知在ABCD中，點A（1，1），B（2，3），CD的中點為E（4，1），將ABCD按向量a平移，使C點移到原點O.（1）求向量a；（2）求平移后的

7、平行四邊形的四個頂點的坐標.解：（1）由ABCD可得=，設C（x3，y3），D（x4，y4），則又CD的中點為E（4，1），則由得即C（，2），D（，0）.a=（，2）.（2）由平移公式得A（，1），B（，1），C（0，0），D（1，2）.闖關訓練夯實基礎1.（2004年福州質量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（，3）平移后的函數(shù)解析式為A.y=sin（x）+3B.y=sin（x）3C.y=sin（x+）+3D.y=sin（x+）3解析：由得3=sin（+）.=sin（+）+3，即y=sin（x+）+3.答案：C2.（2003年河南調研題）將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)

8、y=2sin（2x+）+1的圖象，則a等于A.（，1）B.（，1）C.（，1）D.（，1）解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，a=（，1）.答案：B3.（2004年東城區(qū)模擬題）已知點P是拋物線y=2x2+1上的動點，定點A（0，1），若點M分所成的比為2，則點M的軌跡方程是_，它的焦點坐標是_.解析：設P（x0，y0），M（x，y）.代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），p=，焦點坐標為（0，）.答案：x2=（y+） （0，）4.把函數(shù)y=2x24x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x2的圖象，且ab，c=（

9、1，1），bc=4，則b=_.解析：a=（0，0）（1，3）=（1，3）.設b=（x，y），由題意得則b=（3，1）.答案：（3，1）5.已知向量=（3，1），=（1，2），.試求滿足+=的的坐標.解：設=（x，y），則=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=（x+3，y+1）（1，2）=（x+4，y1），則所以=（11，6）.6.已知A（2，3），B（1，5），且滿足=，=3，=，求C、D、E的坐標.解：用向量相等或定比分點坐標公式均可，讀者可自行求解.C（1，），D（7，9），E（，）.培養(yǎng)能力7.（2004年福建，17）設函數(shù)f（x）=ab，其中a=（2cosx，1），b=（co

10、sx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求實數(shù)m、n的值.解：（1）依題設f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（xm）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.8.有點難度喲?。?004年廣州綜合測試）已知曲線x2+2y2+4x+4y+

11、4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設=，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）原曲線即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線C為x2+2y2=2，即+y2=1.（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則由于點M、N在橢圓x2+2y2=2上，則即消去x22得，22+8y2+8=22+4+2，即y2=.1y21，11.又0，故解得.故的取值范圍為，+）.思考討論本題若設出直線l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利用韋達定理能求解嗎?（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可

12、嘗試一下.探究創(chuàng)新9.甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向做勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東（=arctan）的方向作勻速直線航行，速度為10 n mile/h.（如下圖所示）（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少海里?解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如下圖所示的坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x1，y1），Q（x2，y2），則由=arctan，可得cos=，sin=，x2=10tsin=10t，y2=10tcos40=20t40.（1）令t=3，

13、P、Q兩點的坐標分別為（45，45），（30，20）.|PQ|=5，即兩船出發(fā)后3 h時，兩船相距5 n mile.（2）由（1）的解法過程易知|PQ|=20.當且僅當t=4時，|PQ|的最小值為20，即兩船出發(fā)4 h時，相距20 n mile為兩船最近距離.思悟小結1.理解線段的定比分點公式時應注意以下問題：（1）弄清起點、分點、終點，并由此決定定比；（2）在計算點分有向線段所成比時，首先要確定是內分點，還是外分點，然后相應地把數(shù)量之比轉化為長度之比.也可直接由定義=獲解.2.線段的定比分點的坐標表示，強化了坐標運算的應用，確定的值是公式應用的關鍵.3.關于平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對應點代入法是確定平移向量的重要方法.1.線段的定比分點公式=，該式中已知P1、P2及可求分點P的坐標，并且還要注意公式的變式在P1、P2、P、中知三可求第四個量.2.定比分點坐標公式要用活不要死記.可設出坐標利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉化具有一般性.3.平移前后坐標之間的關系極易出錯，要引導學生弄清知識的形成過程不要死記硬背.拓展題例【例1】 （2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（A，B）=sin22A+cos22Bsin2Acos2B+2.（1）設ABC的三內角為A、B、C，