構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧

1、構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧總結(jié)總論：一、有關(guān)線段的證明. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等. 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系. 構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段互相平分. 構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系二、有關(guān)角的證明. 構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系與相等關(guān)系三、有關(guān)點的證明、證三線共點四、有關(guān)線段長度、角的度數(shù)、面積等計算與證明、在計算角的度數(shù)中的妙用10.在計算線段長度中的妙用1、證特殊圖形1、證面積問題在證明或計算某些幾何問題時，若能根據(jù)圖形的特征，添加恰當?shù)妮o助線構(gòu)造出平行四邊形，并利用其性質(zhì)可使問題化難為易，化繁為簡，下面舉例說明。一、

2、有關(guān)線段的證明. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行 例1. 已知如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于O，E、F分別為OB、OD的中點，過O任作一直線分別交AB、CD于G、H。求證：GF/EH。證明：連結(jié)GE、FH四邊形ABCD是平行四邊形又四邊形EHFG是平行四邊形例2在ABC中，AE、BD、CF為中線，F(xiàn)MBD，DMAB。求證：MCAEBECMAFD證明：連結(jié)AM、FD。FMBD，DMAB，四邊形FBDM為平行四邊形BFDM AFBF AFDM四邊形AFDM為平行四邊形AMFD又F、D、E分別為AB、AC、BC邊中點FDECAMEC，四邊形AECM為平行四邊形MCAE。. 構(gòu)造平行四邊形

3、證兩線段相等 例3. 如圖，中，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=CE連結(jié)DE，交BC于F，BAC外角的平分線交BC的延長線于G，且AG/DE。求證：BF=CF分析：過點C作CM/AB交DE于點M，可以證明BD=CM，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)得到BF=CF證明：過點C作CM/AB交BE于點M，連接BM、CD，則CME=ADE四邊形BMCD為平行四邊形故BF=CF. 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系 例4. 如圖，AD是的邊BC上的中線，求證：分析：欲證，即要證，設(shè)法將2AD、AB、AC歸結(jié)到一個三角形中，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊來證明。注意到AD為的中線，故可考慮延長AD到E，使D

4、E=AD，則四邊形ABEC為平行四邊形。從而問題得證。證明：延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE、EC四邊形ABEC是平行四邊形在中，AEAB+BE即2ADBD求證：DBCACB證明：過點D作DE/AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形又在中，DBEE例11 如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點，直線EF分別交BC、AD延長線于S、T，求證：ATF=BSF.ACEDSTGFBH【分析】由于ATF和BSF不在同一個三角形內(nèi)，又不可能在兩個全等的三角形內(nèi)，所以需要把兩個角轉(zhuǎn)移，由此想到會通過某些點做平行線，再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)以達到目的

5、.證明 過點F做GHCD，且FG=FH，連接DG、CH、AG、BH.則四邊形DGHC和四邊形AGBH是平行四邊形.AG=BH，DG=CH，DG/SF/CH. ADG=ATF，BCH=BSF.又AD=BC，ADGBCH（SSS），ADG=BCH，ATF=BSF.三、有關(guān)點的證明、證三線共點BHCMDANLFEO例12 求證：四邊形兩組對邊中點連線與兩對角線中點連線這三線共點.【分析】 如圖，即證EF、MN和HL三線共點，易猜想這三線兩兩互相平分，結(jié)合平行四邊形對角線性質(zhì)，可想到構(gòu)造平行四邊形.證明 如圖，設(shè)N、H、M、L、F、E分別為AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點，只需證明EF、LH和

6、ML三線共點. 連接LE，EH，HF，LF，NE，EM，MF，F(xiàn)N.則LE、HF分別為ABD和ABC的中位線，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四邊形EHFL是平行四邊形，設(shè)EF，LH相交于O，則O平分EF.同理可證：四邊形NFME是平行四邊形，所以MN平分EF，即MN經(jīng)過點O.故EF，LH，MN三線共點.四、有關(guān)線段長度、角的度數(shù)、面積等計算與證明、在計算角的度數(shù)中的妙用例13 如圖，在等腰ABC中，延長邊AB到點D，延長邊CA到點E，連結(jié)DE，恰有AD=BC=CE=DE，求BAC的度數(shù).DECABF【分析】 題設(shè)條件給出的是線段的等量關(guān)系，要求的卻是角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角

7、形、特殊三角形，為此需通過構(gòu)造平行四邊形改變它們的位置.證明 過點C做CF/AD，過點D做DF/BC，CF與DF相交于F，連結(jié)EF.則四邊形DBFC是平行四邊形，所以DF=BC，F(xiàn)C=DB. ADE中，AD=ED，其底角EAD必為銳角，則BAC必為鈍角，必為ABC的頂角，所以AB=AC，又EC=AD，AE=DB，AE=FC. AD/FC，EAD=ECF，ADECEF（SAS），EF=DE，從而DE=DF=EF，故EDF是等邊三角形. 設(shè)BAC=，則ADF=ABC=，DAE=，ADE=1800-2DAE=.因為ADF+ADE=EDF=，所以：+，解之得，即BAC=.10.在計算線段長度中的妙用A

8、DGCBFE例14 四邊形ABCD中，已知AB=，BC=，CD=，ABC=，BCD=，求AD的長.【分析】 所給的條件與要求的AD無法直接建立關(guān)系，因此需要將AD轉(zhuǎn)移到某個特殊三角形內(nèi)，注意到ABC和BCD的補角的度數(shù)分別是和，不難做出輔助線了.解 過點A作AFCB于F，過點D作DEBC于E，則AF/DE，再過點F作FG/AD交DE于G，那么四邊形AFGD為平行四邊形. ABC=，BCD= FBA=，ECD= 在RtABF中，AF=BF=AB= 在RtCED中，CE=CD=3DE= EG=DE-DG=DE-AF=，EF=FB+BC+CE=8 在RtFEG中， FG= 故AD=1、證特殊圖形例1

9、5 如圖6，在梯形ABCD中，ABCD，AC = BD .求證：梯形ABCD是等腰梯形 .證明：過C點作CEBD交于AB的延長線于點E，則四邊形CDBE是平行四邊形.BD = CE，1 =E .CDABE21（圖6）又AC = BD， AC = CE，2 =E .又AB = BA，DABCBA .AD = BC .梯形ABCD是等腰梯形 .1、證面積問題例16如圖7，E是梯形ABCD腰DC的中點.求證：SABE =S梯形ABCD . CDABEMN12（圖7）證明：過點E作MNAB，交BC于N，交AD的延長線于M，則四邊形ABNM是平行四邊形 .SABE =S平行四邊形ABNM . 又ADBC

10、，DE = CE ,1 =C，M =2 ，EMDENC .S梯形ABCD = S平行四邊形ABNM ，SABE =S梯形ABCD . 同步練習： 1. 如圖1，在梯形BCED中，DE/BC延長BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。過F作FG/BC交EC于G，求證：DE+FG=BC。 2. 如圖2，中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，BE=CF，EF交BC于D。求證：DE=DF 3. 如圖3，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AE=CF，BG=DH，求證：EF與GH互相平分 4. 如圖4，已知AB=AC，B是AD的中點，E是AB的中點，求證CD=2C

11、E 5. 已知：如圖5在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O，求證：O是BD的中點。、如圖，在ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中線AD的取值范圍是 、如圖，六邊形ABCDEF中，若A=B=C=D=E=F，且AB+BC=11，AFCD=3，則BC+DE等于多少？、如圖，已知ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，E是AC延長線上的一點，且DB=CE，試說明DEBC提示： 1. 過點F作FM/AC交BC于點M，則有平行四邊形FMCG。 2. 過E作EG/AC交BC于G，連結(jié)CE、GF。 3. 連結(jié)FH、HE、EG、GF 4. 延長CE至F，使EF=CE，連結(jié)AF、BF。 5. 連結(jié)BF、DE四邊形ABCD是平行四邊形又四邊形BEDF是平行四邊形O是BD的中點、如圖，在ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中線AD的取值范圍是 解析：延長AD至E，使ED=AD，連結(jié)BE、CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，所以BE=AC，在ABE中，因為ABBEAEAB+BE，即1062AD10+6,故知2ADBC解析：因為DE、BC不在同一三角形中，其大小不好比較，把DE沿著AB平移到BF，連結(jié)CF、EF，則可得四邊形BDEF為平行四邊形，從而得出BFE=B