《離散數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題及答案

1、離散數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題及答案 離散數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇或填空（數(shù)理邏輯部分)1、下列哪些公式為永真蘊(yùn)含式?（）(1)=qp(2)q=pq （3)p=pq （4）p(q)=p 答:（1）,(4）、下列公式中哪些是永真式?( ）(1)（q)(q) (2)p(qq) (3）(q) (4)p(pq)答:（2）,(3），(4)3、設(shè)有下列公式，請(qǐng)問哪幾個(gè)是永真蘊(yùn)涵式?（ ）（1）ppq (2) p=p () p=pq （)p（pq)= () (pq）=p () p(pq)=p答：()，(3）,（4)，（5),(6)4、公式x(（a（x)b(y,x） $c(y，)d（x)中，自由變?cè)? ),約束變?cè)? )。

2、答：x,y, x，5、判斷下列語句是不是命題。若是，給出命題的真值。（ ）(1) 北京是中華人民共和國的首都。 (2） 陜西師大是一座工廠。() 你喜歡唱歌嗎? (4) 若+8,則三角形有4條邊。() 前進(jìn)! （6) 給我一杯水吧！ 答:(1） 是， (2） 是,f （3) 不是(4) 是,t (5) 不是 (6) 不是6、命題“存在一些人是大學(xué)生”的否定是( ),而命題“所有的人都是要死的”的否定是（ )。答:所有人都不是大學(xué)生,有些人不會(huì)死7、設(shè):我生病,q：我去學(xué)校，則下列命題可符號(hào)化為（ )。()只有在生病時(shí),我才不去學(xué)校 （2)若我生病，則我不去學(xué)校()當(dāng)且僅當(dāng)我生病時(shí)，我才不去學(xué)校

3、(4)若我不生病,則我一定去學(xué)校答:(1） (2) (3） (4）8、設(shè)個(gè)體域?yàn)檎麛?shù)集，則下列公式的意義是( )。(1) x$y(x+=0) (2） $y(x+y=)答:（1)對(duì)任一整數(shù)x存在整數(shù) 滿足x+y=0（2）存在整數(shù)y對(duì)任一整數(shù)x滿足x+y=9、設(shè)全體域d是正整數(shù)集合,確定下列命題的真值:(） $y(x=y)(） (2)$xy（x+y=y) ( )(3） $x(y=x) ( ） (4） x$(=2x） ()答：() （2） f （3)f （4）t10、設(shè)謂詞p(x)：x是奇數(shù)，q()：x是偶數(shù),謂詞公式 $x(p(x)（x）)在哪個(gè)個(gè)體域中為真?( )() 自然數(shù) (2)實(shí)數(shù) (3)

4、 復(fù)數(shù) （4） (1）（3)均成立答:()11、命題“2是偶數(shù)或3是負(fù)數(shù)”的否定是( )。答:2不是偶數(shù)且-3不是負(fù)數(shù)。2、永真式的否定是( ）(1) 永真式 (2) 永假式(3) 可滿足式(4） （1)-(）均有可能答：(2)13、公式（q)(pq)化簡為（ )，公式 q(p(pq)）可化簡為（ )。答：p ,qp14、謂詞公式x(p（x) $y(y)q(）中量詞x的轄域是( )。答:p(x) $()1、令r（):x是實(shí)數(shù),(x):x是有理數(shù)。則命題“并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”的符號(hào)化表示為( )。答:x(r(x)q（x)）（集合論部分）16、設(shè)a=a,a，下列命題錯(cuò)誤的是（ )。(1) a(

5、a) （)(a) (3) p(a） (4) ap(a)答：(2)7、在0（ ）之間寫上正確的符號(hào)。(1) =(2) (3) (4） 答：（4)1、若集合s的基數(shù)|s=5，則s的冪集的基數(shù)|p(s)=( ）。答:3219、設(shè)p=x(+）4且xr,q5x+16且x,則下列命題哪個(gè)正確( ) （1） qp (2)q （3) q （4）p=答：(3)20、下列各集合中，哪幾個(gè)分別相等( )。（1) a1=a,b (2)a2， (3) a=a，b， () a4=a,b,c(5) a5x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) a6=xx-（a+b)+b=0答：a1=23a6， a=521、若ab=,

6、則下列哪個(gè)結(jié)論不可能正確？（ ）(1） a= (2) b=（3） ab () ba答:(4)22、判斷下列命題哪個(gè)為真?( )（1) a-bb-a =b （2） 空集是任何集合的真子集（) 空集只是非空集合的子集 (4) 若a的一個(gè)元素屬于b，則a=b答：(1）23、判斷下列命題哪幾個(gè)為正確?( )(1), (2), (3) (4) (5)a,a,a，答：（2），(4)24、判斷下列命題哪幾個(gè)正確？（ ）(1) 所有空集都不相等 () (4) 若為非空集，則a成立。答:（2)25、設(shè)ab=c,b=c，則b（)。答：=(等于）2、判斷下列命題哪幾個(gè)正確？( )(1) 若b,則 (2) ，b=b,

7、a (3)p(b）p(a)p（b)(s）表示s的冪集)(4)若a為非空集，則aaa成立。答：(2）27、,b，是三個(gè)集合,則下列哪幾個(gè)推理正確:（1) ab,bc= ac (2) ab，bc= b () ,c=ac答:(1) （二元關(guān)系部分）8、設(shè)a,2，,6，b=1,3，從a到b的關(guān)系r=x,y|xy2,求(1） () r1。答:(）r=,1,4, (2) r,29、舉出集合a上的既是等價(jià)關(guān)系又是偏序關(guān)系的一個(gè)例子。（ ）答:上的恒等關(guān)系0、集合a上的等價(jià)關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么?( ）答：自反性、對(duì)稱性和傳遞性31、集合a上的偏序關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么?( ）答：自反性、反對(duì)稱性和傳遞性32、設(shè)

8、s=,2,，4,a上的關(guān)系r=1，2,1,2,3,4求(1)r （2) r1 。答：=1,1，1,3，,2，2，4r1 =2,1，1,2，3,333、設(shè)1，,4，5，r是a上的整除關(guān)系，求r ( )。答：r=1,1,3,3,4,，,1，3,，6，,34、設(shè)=1,2，3,4,，b=1,3，從a到的關(guān)系x，y|x=2y,求(1)r (2） r-1 。答：(1）=，4,2, (2) r=1，,(36、設(shè)1,2,4,6，b=1,3，從a到b的關(guān)系rx，y|x2，求r和r-1的關(guān)系矩陣。答:r的關(guān)系矩陣= r的關(guān)系矩陣=6、集合=1,10上的關(guān)系中，單位元是( ),零元是（ ）。答：，68、設(shè)a=,6，

9、9,a上的二元運(yùn)算*定義為：a*=mina,b,則在獨(dú)異點(diǎn)中，單位元是( )，零元是( ）；答：9,3（半群與群部分）9、設(shè)g,是一個(gè)群,則（） 若a,b,xg,ax=b,則x=（ )；(2) 若a,b,xg，axab,則=( )。答: (1）a （)b40、設(shè)a是1階群的生成元,則a是( )階元素，a是( )階元素。答:,44、代數(shù)系統(tǒng)的等冪元是( ),有( )個(gè)。答:單位元,144、素?cái)?shù)階群一定是（ )群, 它的生成元是（ ）。答：循環(huán)群,任一非單位元5、設(shè)g,*是一個(gè)群,，g，則(1) 若cab,則c=（ ）；(2）若ca=a，則c=( )。答：（1） (2) b6、,是的子群的充分必要

10、條件是（ )。答:,，是群 或 ，b g, b,a-1h或 a,b g,a- 7、群的等冪元有( )個(gè),是( ),零元有( ）個(gè)。答:,單位元，048、在一個(gè)群g,中,若中的元素a的階是k,則1的階是( )。答:49、在自然數(shù)集n上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？( ） (1） a=a-b （) *=maxa,b(3) aba2b (4)aba-|答:(2)50、任意一個(gè)具有個(gè)或以上元的半群,它（ )。(1) 不可能是群 (2）不一定是群（3) 一定是群 (4） 是交換群答：()1、6階有限群的任何子群一定不是（ ）。(1) 2階(2) 階 (3) 4 階 （4) 6 階答：（3)(格與布爾代數(shù)部分

11、)、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（ )()(n,)(2) (z,) (3） (2,3,4,6,12,|（整除關(guān)系）) (4） (（a),)答:(4)5、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（ ）。(） 偶數(shù)(2) 奇數(shù) (3） 4的倍數(shù) （4） 2的正整數(shù)次冪答：(4)（圖論部分)5、設(shè)g是一個(gè)哈密爾頓圖，則g一定是( ）。（1） 歐拉圖 （) 樹 (3)平面圖 (4)連通圖 答:(4)5、下面給出的集合中，哪一個(gè)是前綴碼?( )(1) 0，10，11,101111 (2） 0,001，000，1（3) b,c，aa,ab,ab (4)1，1,10，01,01答：（)56、一個(gè)圖的哈密爾頓路是一條通過

12、圖中( )的路。答:所有結(jié)點(diǎn)一次且恰好一次7、在有向圖中,結(jié)點(diǎn)v的出度e+(v)表示( )，入度eg-(v)表示( )。答:以v為起點(diǎn)的邊的條數(shù), 以v為終點(diǎn)的邊的條數(shù)58、設(shè)g是一棵樹,則g 的生成樹有( )棵。（1）0 (2） （)2 (4）不能確定答:59、階無向完全圖kn 的邊數(shù)是（ ),每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)是（ )。答:, n160、一棵無向樹的頂點(diǎn)數(shù)n與邊數(shù)m關(guān)系是( )。答：m=n61、一個(gè)圖的歐拉回路是一條通過圖中( )的回路。答：所有邊一次且恰好一次62、有個(gè)結(jié)點(diǎn)的樹，其結(jié)點(diǎn)度數(shù)之和是()。答:2n263、下面給出的集合中,哪一個(gè)不是前綴碼( )。(1) a，a,11，a1b11

13、（2) 01,00,000,1(3) 1，2,00,01，02 (4) 12，11,01,0，11答:()4、n個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向完全圖邊數(shù)是( ),每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)是( ）。答:n（-1),2-65、一個(gè)無向圖有生成樹的充分必要條件是( ）。答:它是連通圖6、設(shè)g是一棵樹,分別表示頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù),則（) =m (2） mn1(3） n=m+1 (4) 不能確定。答：(3)67、設(shè)=,e是一棵樹，若|v1,則t中至少存在( )片樹葉。答：68、任何連通無向圖g至少有( )棵生成樹,當(dāng)且僅當(dāng)是（ )，的生成樹只有一棵。答：，樹6、設(shè)是有n個(gè)結(jié)點(diǎn)m條邊的連通平面圖，且有k個(gè)面,則k等于： (1） -+2 (

14、)n-2 （) nm- (4） mn+2。答：(1)70、設(shè)t是一棵樹,則t是一個(gè)連通且( )圖。答：無簡單回路71、設(shè)無向圖g有6條邊且每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是,則圖g有（ )個(gè)頂點(diǎn)。 （1) 10 (2) (3)(4） 16答:（4)72、設(shè)無向圖g有1條邊且每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是,則圖g有( )個(gè)頂點(diǎn)。 (1) 10 (2) 4 (3)8 (） 12答:(4)73、設(shè)圖=，e，va，b，c,d,=a,b,a,c，b,，,，則是有向圖還是無向圖？答：有向圖74、任一有向圖中，度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)有( )個(gè)。答：偶數(shù)75、具有 個(gè)頂點(diǎn)，12條邊的連通簡單平面圖中，每個(gè)面都是由( )條邊圍成?(1) ()

15、4 (3) （4) 5答:（3)7、在有n個(gè)頂點(diǎn)的連通圖中，其邊數(shù)（ ）。(） 最多有n-1條(2) 至少有n-1 條(3) 最多有n條 (4）至少有條答:(2)77、一棵樹有2個(gè)2度頂點(diǎn),1個(gè)度頂點(diǎn)，3個(gè)4度頂點(diǎn),則其1度頂點(diǎn)為( )。(1) 5 () 7 (3)8 (4） 答：()78、若一棵完全二元（叉）樹有n-1個(gè)頂點(diǎn),則它( ）片樹葉。(1) (2) 2 (3)n-1 () 2答:(1)79、下列哪一種圖不一定是樹（ ）。()無簡單回路的連通圖 (2） 有個(gè)頂點(diǎn)n1條邊的連通圖 （3)每對(duì)頂點(diǎn)間都有通路的圖 （4） 連通但刪去一條邊便不連通的圖答：（3）8、連通圖g是一棵樹當(dāng)且僅當(dāng)g

16、中( ）。(1)有些邊是割邊 (2） 每條邊都是割邊() 所有邊都不是割邊 (）圖中存在一條歐拉路徑答：（2)(數(shù)理邏輯部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式: 1、(pq) 解:(pq)r（q）(p)(qr)（析取范式)（q）r)(pp)r)(r）(pqr）(r)(pq)（qr）(pq）(pq)(主析取范式)(q）r)(pqr)（pqr)(pqr) (pqr)( pr)（原公式否定的主析取范式）（p)r(pr)(pqr)(qr)(pr)(pqr)（主合取范式）、(p)(q) 解： (pr)（q)p（析取范式）(p(q）)(pp)qr）(p(qq)(rr）)(qr）(pqr)(p)(p

17、qr)（ qr)（pr)（pqr）(pqr） （pqr)(pqr)(qr)(pqr） (p)(pqr) (主析取范式）（(pr)(r）)(pq)（pqr)(原公式否定的主析取范式)(pr)(qr） （pqr）（pr)（主合取范式）3、(）(p）解:(q）(r)（pq）(r)（合取范式)(pq(rr)（p(q)r）（pqr)(pq)（pq)（pq） （pqr)(qr)(pqr)(主合取范式)(pq）(r)(pqr)(pr)(pqr)(q）(pr）(原公式否定的主合取范式）(pq）(p）(qr)（pqr)(qr)（pqr)（qr)（主析取范式)4、q（pr)解：q(pr)qpr(主合取范式）（q(

18、p)(qr)(pqr)(qr)(pq）(qr)（pq）(pr)(原公式否定的主合取范式)（pr)(pqr)(pqr）（qr)(qr)(r)(qr)(pqr)(主析取范式)5、p(p（qp) 解:p(p(p)）(p（p)）p t (主合取范式)(p)(p）(pq）(q)（主析取范式)、(pq)（r)解： ()(rp）(p)()(pq)(r)（析取范式)(pq(rr)（p(）r)(qr)(pq)(qr)(pq)（pqr)(pqr)（pqr）（主析取范式)()(rp)（pq）(pr)(pqr)（pqr)（pqr)(原公式否定的主析取范式)(pq）(rp)(qr)（p）(r）(pqr)(qr)（主合取

19、范式）7、p(p） 解:p（)（pq)(p）qt(主合取范式)(pq)(pq)(）(pq)(主析取范式)、(rq)p解：(q)p(q)（rp)（qp） （析取范式)(r（qq)p）(rr)qp)(rqp)（rqp)(rqp)(rqp)(pr）（pqr)(pqr)（主析取范式）(rq）p)(pqr)(qr)(pqr） (q)(pq)（原公式否定的主析取范式）(rq）p（pqr）(q)(qr)(qr)(qr)（主合取范式）、p 解：ppq（主合取范式）()(pp）(pq）(pq)（pq)（q）（pq）（p)(pq)（主析取范式）1、pq 解： pq (主合取范式)(p(qq)）（(pp）q)(pq

20、)()(q)（)(pq)(pq）()（主析取范式）11、q解:pq（主析取范式）(p（qq)(pp)q)(q）()(q)（pq）(pq)(q)(pq)(主合取范式)2、(pr)q解：（p）q（pr)(r)（p)(r)（合取范式)(pq()(p）)（p）(pqr）(pq)(pqr)(pq)(pqr)(q)(pq)(pq)(pqr)(pq)(主合取范式）(pr)q （pr）(pqr)(pqr)(pr)(p）(原公式否定的主析取范式)（r)q(pqr）(qr）（pqr）(pq)(pqr)(主析取范式）13、()r解:(q)r(pq)(pq)r(析取范式）(p（rr)）（(p)(qq)r)(pqr)(

21、pr）(pqr)(qr)(pq)（pqr)(q)(qr)（pq)(pqr）(qr)(主析取范式)（q）r（pq)r(pq)r(析取范式)(pr）（）(合取范式)(p(qq)r)（(p)qr)(pr)(pqr)(pqr）（pr）（pqr)(q)(pq)(主合取范式)14、(p(r)（(r)解:(q)（p(qr)(p(q)）（p(qr)（q）(p)(q)（)(合取范式)(pq（r)）(p(qq)r)(r）)(p（qq)r)（qr)(pqr)(qr）（r)(pqr)(pr)(q)(pr）(pqr)(qr)(pqr）（r)(pq)(qr)(主合取范式）（p(r）)(p（r)（pr)(pr）(原公式否定

22、的主合取范式)(p（q)(p(r)(pr)（p）（主析取范式)1、(p(q(qr)解：p(p(q(qr)） p（p(qr)pq(主合取范式)(q）(pr)（pqr)（pqr）(pq)(pqr)(pqr)(pq)(原公式否定的主合取范式)(pq)(pr)（pr)(pqr）(pqr)（pqr)(pqr)(pq)(主析取范式)16、(pq)（pr)解、(pq)(p)（pq)（pr) (合取范式)(pq（r)(p(q）)(pq)（r)（p)（pqr)（qr）（pqr)(qr)（主合取范式)(p）(pr)（q)（pr）p（）(合取范式)(p(qq)（)(pp)r)(pq）（qr)（pq）(qr)（pq)

23、(pr）(pqr)(pqr)(pq)(q)(pq）(主析取范式）三、證明：1、pq,r，r,ss證明:(1) r 前提(2) qr 前提(3) q （1），(）(4) q 前提(5) p （），（）(6) sp 前提() s (）,（）、a（bc),c(de）,f（d)，abf證明:(1) 前提(2） a(b) 前提 (3) bc (1),（）(4) b 附加前提(5) c (),（）(6) c（d） 前提(7) e (5）,（6)(8) f(de） 前提(9) f (7），(8）(10) bf cp 3、pq， pr, qs =rs證明:（1) r 附加前提(2) r 前提(） （1）,（2

24、）(4) p 前提（5) q （3）,（4）() s 前提(7) （)，（6）(8） rs cp,(1）,（8）4、(pq)（rs)，（q)()，(wx)，=p證明: （1) 假設(shè)前提（2) pr 前提（3） r (1），（2)(4) (p)(rs)前提(5） q (4)() （）(7） q (1）,（)(8) (3）,（6）（9） (qw)() 前提(10) qw （9)(11） x （10)（2)w （)，(0）（） （)，(1)(4) wx (2），（3）(1) （wx) 前提（6） (wx)(wx) （14),（5)5、(uv)(mn), up， p(s）,qs m 證明：（1) qs

25、 附加前提（2） p(qs) 前提 （3） p (1）,（2)（4） u 前提（5） u (3),（4）（6） u (5）（7） (uv）() 前提 （8） mn ()，（7)（9） m (）6、bd，（ef),e=證明：() b 附加前提(） bd 前提(3) d ()，（2)(4) (ef) 前提（) (e) （），（)(6） f （5)() e (6)（8） e 前提（9) ee (7），（8）7、p(qr),r(q) (qs)證明:（1) 附加前提(2） q 附加前提(3)() 前提（4） qr （)，（）(5） （2），（4）（6） r(q) 前提(7) qs （5），（6)(8）

26、s （)，(7）(） qs cp,(2），(8）(1) p(qs) c，（1），（9)8、pq，p，rs=sq證明：（1) s 附加前提（2）r 前提（） r (），（2）（4) p 前提(） p （），（）（6） pq 前提(7) q （5），(6）(8) sq p，(1），(7)9、p(qr) =(pq）（r)證明:（） p 附加前提(2) p 附加前提(3) q （1),(2)() p(qr)前提(5） r (2)，（)(6) r (3),（)(7） pr cp,（2),（6)(8) (pq) (p） cp,(1)，（7）10、p(qr)，qp,sr,p=證明：（1） 前提(2） p(q

27、r） 前提(3） qr (1)，（2）（4) q 前提(5） (1),(4)（） （3),(5)() sr 前提(8) s (6）,(7)1、a，ac， b(dc) =d證明:（1) a 前提（) ab 前提（3） (1），（2)（4) c 前提() c (1)，()（6）(dc）前提（7) dc (3),（6）(8) d （)，（7)12、a(cb)，ba,dc a證明:（1） a 附加前提(2) a(cb) 前提 (3) (1),(2）(4) b 前提(5) b (1）,（4）(6) c (3）,(5)(7) dc 前提(8) d （6），(7）(9) ad cp,（)，（8)、(pq）(

28、rq) (pr)q證明、(pq)(r） (p)（r）（pr）q （pr）q（p）14、p(qp)p(pq)證明、p(q)p(qp)（)(pq)（pq)15、（q)(），(qr)，s證明、（1) （q）(p） 前提 （) p（q) (1） （) (r) 前提 (4） (2)，（3） (） sp 前提 （6） （4）,（5）6、p，r,r證明、(1） p 附加前提 (2） p 前提 （3） q ()，(2) （4） q 前提 (） r (）,（4) (6 ) s 前提 （7) (6） (8） rr （5），（7)17、用真值表法證明pq（q）(）證明、列出兩個(gè)公式的真值表：p q p (pq）(q

29、p） f ff t ft tt t ff t t由定義可知，這兩個(gè)公式是等價(jià)的。18、pqp()證明、設(shè)(pq）為f，則p為t,pq為f。所以為t,q為f ,從而q也為f。所以pqp（q)。1、用先求主范式的方法證明(p)(pr) （(qr)證明、先求出左右兩個(gè)公式 的主合取范式(pq）(pr) （q）(pr) （pq(rr)（p(qq）r） （qr）(pr)(pqr)(pq) （pr)(pqr）() (p（qr） (p（qr） （pq)(p）(q(r）)(qq)） (p)(q)（pqr）(pqr) （pq)(pr)(pqr)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價(jià)。20、（q)（qr） p證明、

30、設(shè)（）(qr)為t,則q和(r)都為t。即pq和qr都為t。故p，q和)都為,即pq為t,q和r都為。從而也為f，即p為t。從而(pq）（qr) 1、為慶祝九七香港回歸祖國，四支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知情況如下，問結(jié)論是否有效?前提:(1） 若隊(duì)得第一，則隊(duì)或c隊(duì)獲亞軍；(2) 若c隊(duì)獲亞軍,則a隊(duì)不能獲冠軍;(3) 若隊(duì)獲亞軍,則b隊(duì)不能獲亞軍;(4) a 隊(duì)獲第一;結(jié)論： (5） 隊(duì)不是亞軍。證明、設(shè)：a隊(duì)得第一;:b隊(duì)獲亞軍;c: c隊(duì)獲亞軍;d:隊(duì)獲亞軍;則前提符號(hào)化為（bc），c,b，a;結(jié)論符號(hào)化為 d。 本題即證明（b），ca，db，ad。（1） a 前提 （) (bc)前提 （3）

31、 bc (1)，（2) （4） ca 前提 （5) (）,（4) (6) b (3)，（) (7) db 前提（8) d (6)，(7）2、用推理規(guī)則證明q, （），pr不能同時(shí)為真。證明、 (1) pr 前提 (2) p (1)() pq 前提 （4) (2），() （5) （qr） 前提 (6） qr (5) （7） q (6) （8) q (4)，(7）（集合論部分)四、設(shè)a,，是三個(gè)集合，證明:1、 (b)=(a)(c） 證明：（ab)(ac)= (b） (a)(）=(ab)(b)= ab=a（b)=a（）2、(ab）(a-)=-(c）證明：(a-b)(a-c)=（a）(a)a(）a=

32、 a（bc)3、ab=ac,b=，則= 證明：=b(a)=(b) (ba)（)(a)c（a)=c 4、ab=a(b-a)證明: a(ba)=a(b)(a）(a)=(ab)u= b、a= b= 證明：設(shè)a=b,則ab=（a-b)（b-)=。設(shè)ab，則ab(a-b）（b-a）。故a-b=，ba=，從而ab，b,故=。6、a c，b=ac，則=證明:b=b(a)= b(ac） (ba)（c)= (c)(c) c() c(ac）=7、ba,bc,則c=b 證明：=b()=(ba)（b）=(ca）(c)=c()c8、a(bc)=(-b)c 證明:a-(bc）=a=a()=(a）=(a-b）(a-b)-c

33、9、(ab)(a-）=-(bc) 證明：()(c)=(a）(a)=(aa)(）=aa（b)10、ab=b,則=b=證明: 因?yàn)閎=a-,所以b=bb=（-b)=。從而a-bb。11、a=(a-b)(a)ab=證明: 因?yàn)椋╞)(-c） =(a)（） a()a=-（bc)，且a(a-b）(a-c)， 所以 a-(b),故ab=。因?yàn)閍bc=,所以a-()=。而a(b)= （-b)(a-c), 所以a=(-b)(a)。、(-b)（a-c）ac證明： 因?yàn)?a-b)（-c)(a)(a） =a()=a= a(bc），且(-b)（-c)=, 所以= -(），故a。 因?yàn)閍bc，所以a-()=。而a-（b

34、c)(a-b)(a-c)， 所以=（a-b）(a-c)。13、(a-b)(b-a)=a b=證明: 因?yàn)?a-b)(ba)=,所以b-。但(b-a）a=,故b-=。 即，從而b=（否則aa，從而與（-b)（b-a）a矛盾)。 因?yàn)?,所以a-=a且-a=。從而（-b)(b-)a。1、(b)-ca-(b-c）證明:x(-）-c,有a-b且c，即,x且x。從而a,-c,故x-()。從而(a-b）-（-c)15、(a）()p(a)(p(s)表示s的冪集）證明:s(a)p()，有sp(a)或s(b)，所以sa或sb。從而sa,故sp()。即p(a)p()p（ab) 6、（a)p(）=p(ab) （p（

35、)表示s的冪集）證明:s(a)(b）,有sp(a）且s(b),所以a且sb。從而ab,故sp（ab)。即p()(）p(b)。p(a),有sab，所以a且sb。從而s(a)且s(b),故p(a)p(b)。即(ab)p(a)(b)。 故p(b）=(a)p(b)17、(a-b)b=(a)-當(dāng)且僅當(dāng)b=。證明：當(dāng)b=時(shí),因?yàn)?-b)=(a)=a，（ab）b=（a) =，所以（b)b=（ab）-b。用反證法證明。假設(shè)b，則存在bb。因?yàn)閎b且b a，所以b(b)-b。而顯然b(a-b)b。故這與已知(ab)(ab)-b矛盾。五、證明或解答：(數(shù)理邏輯、集合論與二元關(guān)系部分)1、設(shè)個(gè)體域是自然數(shù)，將下列各

36、式翻譯成自然語言:(1) xy（y1); () xy(=1）；(3) x (xy=0); (4) xy（y=0);（5) (y=); (6) y(xy=）;() xyz(x-y=z)答：()存在自然數(shù)x,對(duì)任意自然數(shù)y滿足x=1;（)對(duì)每個(gè)自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿足xy=1;(3)對(duì)每個(gè)自然數(shù)x,存在自然數(shù)y滿足xy=；（4)存在自然數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)y滿足x=;(）對(duì)每個(gè)自然數(shù),存在自然數(shù)y滿足xy=x;(6）存在自然數(shù)x,對(duì)任意自然數(shù)y滿足xy=x;（7）對(duì)任意自然數(shù)x,y，存在自然數(shù)滿足x-y=z。2、設(shè)a(，y,z): x+yz，m(,y,): xy=z, (x,）: y,g(x，y):

37、， 個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)。將下列命題符號(hào)化：()沒有小于的自然數(shù);(）是xy且yz的必要條件;（3)若xy,則存在某些z,使yz;(4）存在x，對(duì)任意y使得xy=y;(5）對(duì)任意x，存在y使xy=x。答：（1)（(x,)m（0,0,x） 或x (x,0）(2）xyz （l（x,y)l(,z)）(x，z)（）x(（l(x,y)z(l（，0)(x,yz）)(4）ym(x,）（)xy(x,y,x)3、列出下列二元關(guān)系的所有元素:(1）a0,1,b0,2,4,rx,y|x,y；（2）a=1，2,，4，5,2,r=|2y且且yb;(）=1,，3，b=-3,-2,-，0，,r=|x|=|y|且且yb;解:(1)

38、 =,0,2,2,0,(2) r=1,，,;（3) r1,1，,-3。、對(duì)任意集合a,證明:若aa=b,則=b。證明：若=,則bb。從而aa=。故a=。從而b=a。 若b，則b。從而aa。對(duì)， b。因?yàn)閍a=bb,則，xa。從而xa。故ba。同理可證，ab。故b=a。5、對(duì)任意集合a，b，證明:若a，ac,則b=。證明:若b=，則ab。從而ac 。因?yàn)閍，所以c=。即b=c。 若b，則ab。從而ac。對(duì)，因?yàn)閍,所以存在ya, 使c。從而x。故bc。同理可證，b。故b=c。6、設(shè)a=a,b, =c。求下列集合:(1)a0,1b; (2) b2；（3) (a)2; (4) p（a）a。解：（） a,1b=,b，1,c;（2） b=c，,;（3） (b)=,c,a,;（4) p(a)a=,a,，b,b,a，a,a,b。、設(shè)全集u=a,b,c，d,e, a=,b=a，b,， c=b,。求下列各集合:(1)ab; (2)；（)()c; （4）p(a）-p(b); ()（a)(b-c); （6)(ab)c； 解 ：（1) aba; ()=a，b,c,d，;（3) (a）=b,d; （） p(a)p（b）=d,;(5) (-b)(b-c)=d,a; (6) （ab） c=b，。、設(shè)a,c