高考圓錐曲線之弦長為定值問題

1、題型七：弦或弦長為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點。（）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點N的坐標為N（0,-p）,可設A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立

2、得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得又由點到直線的距離公式得.從而，（）假設滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習、（山東09理）

3、（22）（本小題滿分14分）設橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求

4、的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.題型八：角度問題例題9、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是

5、平面上的兩點，動點P滿足：（）求點P的軌跡方程；（）若,求點P的坐標.解：()由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 ()由得 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由()知，點P的坐標又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標為練習1、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，2）和橢圓C：(ab0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點E（2，0）

6、的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cotMON0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.滿分14分.（I）解法一：直線， 過原點垂直的直線方程為， 解得橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，直線過橢圓焦點，該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 解法二：直線.設原點關(guān)于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， 直線過橢圓焦點，該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）解法一：設M（），N（）.當直線m不垂直軸

7、時，直線代入，整理得 點O到直線MN的距離即 即整理得當直線m垂直x軸時，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線m：y=k(x+2)代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點，|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一相同.解法三：設M（），N（）.設直線，代入，整理得 |y1-y2|=即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線方程為所以所求直線方程為或或練習2、（07四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳

8、角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力。解：（）解法一：易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或練習3、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點處的切線與平行；（）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解法一：（）如圖，設，把代入得，xAy112MNBO由韋達定理得，點的坐標為設拋物線在點