導(dǎo)數(shù)應(yīng)用含參函數(shù)的單調(diào)性討論二

1、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(二) 對函數(shù)(可求導(dǎo)函數(shù))的單調(diào)性討論可歸結(jié)為對相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)在何處正何處負(fù)的討論，若有多個討論點(diǎn)時(shí)，要注意討論層次與順序，一般先根據(jù)參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)類型進(jìn)行分類，從簡單到復(fù)雜。 一、典型例題 32R1,a?x?3x?f(x)?ax?3)f(x. 的單調(diào)性,1例、已知函數(shù)討論函數(shù)而確定函數(shù)的分析：討論單調(diào)性就是確定函數(shù)在何區(qū)間上單調(diào)遞增，在何區(qū)間單調(diào)遞減。0)?0f(xf(x)?的解區(qū)間；討論增區(qū)間就是確定的解區(qū)間；確定函數(shù)的減區(qū)間就是確定 單調(diào)性與討論不等式的解區(qū)間相應(yīng)。22/31)2x?Rf(x)?3(ax?3f(x)?ax?3x?x?1,a? ， 所以解： 因?yàn)?/p>

2、11/0?0f(x)f(x?3(2x?1)f(x)?,x?x?,0a? ；當(dāng)時(shí)， (1) 當(dāng)；時(shí)，當(dāng)時(shí)， 2211(?,?,?)f(x上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 222/1)x?3(f(x)?ax?2)?a?36(10?a 的圖像開口向上，時(shí)，(2) 當(dāng)/0,?1時(shí)，?36(1?a)a?0(fx)?)f(x ，所以函數(shù)在I) 當(dāng)時(shí)，R上遞增；/0,)?36(1?a?a?1時(shí)，?00)?f(x 時(shí)，方程的兩個根分別為II) 當(dāng) ?1?1?a?1?1?a,x?,x?,xx? 且 1221aa aa?1?1?1?1,(,?)?()f(x在所以函數(shù)， 上單調(diào)遞增， aa a?1?1?1?1?

3、a(,)在 上單調(diào)遞減； aa2/1)?3(ax?2xf(x)?0?36(1?a)?0a? 的圖像開口向下，且(3) 當(dāng)時(shí)， a1?a?1?1?1/x?,x?,xx?0?x)f(的兩個根分別為 且方程 1221aa a?1?1?1?1?a,?)?()(,)f(x在 ，上單調(diào)遞減， 所以函數(shù) aa a?1?1?a?1?1(),在上單調(diào)遞增。 aa a1?a?1?1?1?(,)f(x0a?在綜上所述，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)上單調(diào)遞增， aa a?a?1?1?1?1,(),?)(?在 上單調(diào)遞減； ， aa11),?(,)xf(0a? 當(dāng)上單調(diào)遞增，在在時(shí)，上單調(diào)遞減； 22 aa1?1?1?1?,?),?

4、()時(shí)?0a?1)(fx ，所以函數(shù)當(dāng)上單調(diào)遞增，在aa a?11?11a(,)在 上單調(diào)遞減； aa時(shí)a?1)(fx ，函數(shù)上遞增；當(dāng)R在小結(jié)： 導(dǎo)函數(shù)為二次型的一股先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)分三種情況討論（先討論其為0情形），然后討論判別式（先討論判別式為負(fù)或?yàn)?的情形，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)只有一種符號，原函數(shù)在定義域上為單調(diào)的），判別式為正的情況下還要確定兩根的大?。ㄈ舨荒艽_定的要進(jìn)行一步討論），最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定原函數(shù)相應(yīng)單調(diào)性，記得寫出綜述結(jié)論。 1 山東理數(shù)改編）2（2010例a1?1?f(x)ax?ln?x?)xf()a?R( .討論 的單調(diào)性；已知函數(shù)xa?11?ax?xf()?lnx)?(0

5、, 因?yàn)榈亩x域?yàn)榻猓簒2aax?x?1?1a?1?x)?a?x?(0,?)f( ， 所以22xxx2)與g(xf(x)a,x?(0,h(x?)?ax?x?1? ，則令 同號 法一：根據(jù)熟知二次函數(shù)性質(zhì)可知g(x)的正負(fù)符號與開口有關(guān)，因此可先分類型討論： 10?1)xh(0a 結(jié)合其圖象易知開口向下時(shí)，由于1 當(dāng)，,a0f(x)xf(0(x)x?(0,1)h 單調(diào)遞減；此時(shí)，函數(shù) ,0(x)f)f(x0)x?(1,?h(x). ，函數(shù)，此時(shí)單調(diào)遞增時(shí)，x)h(x0a? ,時(shí)，當(dāng)?shù)欠裨诙x域需要討論：開口向上211?0或a?1?0?a? 所以因a10?1h(x)a?1時(shí)，由于i) 當(dāng)開口向上

6、1，,結(jié)合其圖象易知 af(x)0f(x)0x?(0,1)h(x)單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù) ，. (x)f0f(x)0)?h(x)x?(1,單調(diào)遞減；時(shí)， ,此時(shí)，函數(shù) x,x?(0,?)1?0?a，但兩根大小需要討論： ii)當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且 211?ax?xh(x)0恒成立，時(shí)， a) 當(dāng)2,12f(x)0f(x)（0，+?） 上單調(diào)遞減；在此時(shí)，函數(shù) 111時(shí)，?010a?當(dāng)g(x)，開口向上且在（0， b) ）有兩根 a20)x(f)f(x0)xh(0,1)x? ，函數(shù)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減；2 11)x?(1,0f(x)xf(0)h(x ，函數(shù)時(shí)，此時(shí) 單調(diào)遞增；a1)?x?(?1

7、,0f(x)xf(0h(x) ，函數(shù)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減；a1111?10?a? c) 當(dāng)g(x)開口向上且在（0，時(shí)，）有兩根，a21,()?0x?10)f(x)(xf0x)h( 單調(diào)遞減； 時(shí)，函數(shù)，此時(shí)a1)1?1,x?(0)f(x)(xf0)xh( 單調(diào)遞增；，此時(shí)，函數(shù) 時(shí)a0)f(x)(xf0(x?(1,?)hx) 單調(diào)遞減；，此時(shí)時(shí)， ，函數(shù) 小結(jié)：此法是把單調(diào)區(qū)間討論化歸為導(dǎo)函數(shù)符號討論，而確定導(dǎo)函數(shù)符號的分子是常見二次型然后由于定義域限制討論其根是否在定義域確定類型及開口；的，一般要先討論二次項(xiàng)系數(shù)，的圖象確定其在相應(yīng)區(qū)間的符號，得出導(dǎo)函數(shù)符號。討論g(x)內(nèi)，再討論兩根大小

8、注，結(jié)合 要點(diǎn)與解含參不等式的討論相應(yīng)。 法二： 11?0或a?0?a?1 a10?1)xh(0a 結(jié)合其圖象易知開口向下,時(shí)，由于，1i)當(dāng)a0)f(x)(xf0(x)hx?(0,1) 此時(shí) 單調(diào)遞減；， ，函數(shù),0(xf)xf(0(1,x?)h(x). 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)10?1)xh(1?a ,結(jié)合其圖象易知開口向上時(shí)，由于0) xx4 21x?2(1?a)x)?2a(1?a)xg()xg()(xf 則與同號令,1),?(0x?ln?0,f(x)g(x)?1,f(x?1?a 在定義域）當(dāng)時(shí)，上為增函數(shù) （1 x221)a?4(3a?1)(?12a?16a?4?4(1?a)?8a(1?

9、a)1a? , 時(shí) (2) 當(dāng)11a?0)?g(x?0? 時(shí)，g(x)開口向上，圖象在 當(dāng)x軸上方，所以 ? 3?)xf()f?(x)?0(0, 在上單調(diào)遞增，則所以1?1?0?a?或a0?(x)f當(dāng)? 得解此時(shí)令，, 31?a?1?a?,x?x? 212a(1?a)2a(1?a)2a(1?a)?0?0?a?1?g(x)開口向上且0?x?x，由于 21因此可進(jìn)一步分類討論如下： ，x?0開口向下?x0?g(x)a2(1?a)?1?a 時(shí)，i) 當(dāng)12?xx?x0?x?0(x)f?(x?0)f0x? ，; 11 1?a?(3a?1)(a?1)f(x)(0,上單調(diào)遞增，在 則2a(1?a) 1?a

10、?(3a?1)(a?1),?)(上單調(diào)遞減在 2a(1?a)1?x?xx0?x?x?x?x0?a?0?(x)f(x)?0f當(dāng)ii)時(shí)， 或 ; 21213 1)?a1)(a1)1?a?(3?1a?(3a?1)(a?)xf()?)(0,上單調(diào)遞則，在a)2a(1a(1?a)2 增， 1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1),)(上單調(diào)遞減 在2a(1?a)2a(1?a)a討論情況如下表：的單調(diào)區(qū)間根據(jù)參數(shù) f(x)綜上所述，1?a0? 3a?11 1?a 3(0,x) 1(x,x)x(,? 212)(0,?(0,x) 1(x,?) 1 Z增 Z增減 ZZ增增 增(1?x? （

11、其中a?1)(3a?1)(1,x?a?1)(3a?1) 212a2a(1?a)2a2a(1?a) 5 小結(jié)： 求單調(diào)區(qū)間要確定定義域，確定導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)鍵是看分子相應(yīng)函數(shù)，因此討論點(diǎn)有：第一是類型（一次與二次的根個數(shù)顯然不同)；第二有沒有根（二次的看判別式），第三是有根是否為增根（在不在定義根內(nèi)；第四有根的確定誰大；第五看區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號（二次函數(shù)要看開口）。確記要數(shù)形結(jié)合，多數(shù)考題不會全部討論點(diǎn)都要討論的，題中往往有特別條件，不少討論點(diǎn)會同時(shí)確定（即知一個就同時(shí)確定另一個）。判別式與開口的討論點(diǎn)先誰都可以，但從簡單優(yōu)先原則下可先根據(jù)判別式討論，因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)函數(shù)無根時(shí)它只有一種符號，相應(yīng)原函數(shù)

12、在定義域內(nèi)（每個連續(xù)的區(qū)間）為單調(diào)函數(shù)較簡單。 二、鞏固作業(yè)： a.x?x)?lnf(f(x)的單調(diào)區(qū)間. 1. 已知函數(shù)，求 x1ax?a?x），f,?+函數(shù)的定義域?yàn)椋?，? 解： 22xxx?0得：x?令f?xa ?在(0,?xx)?0,?若?a?0即a?0，則ff上單調(diào)遞增；?0x得得x-a,0即a?0，則由f由fxx0, 若 故時(shí)， xa?1?11?a?2時(shí)， ,00得，無解x?. ）當(dāng)（2 2k2xk?1f(x?0)?x?x)xf()?1,?(時(shí)， 故3）當(dāng)即. 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ 121?x0?k?1x?xQk?0）時(shí)，（4）當(dāng)即 121?k1?k?1?x?0或x?0?x?0)?ff(x)?0(x 由；由得，得， kk1?k1?k,?)(0,)(1,0)(?(x)f和的單調(diào)遞增區(qū)間是. 故，單調(diào)遞減區(qū)間是 kkk?1xx?Qk?0）時(shí)， （5）當(dāng)即121?k1?k?1?x?0或x?0?x?00f(x)?f(x)? 由得，；由得， kk1?k1?k)(,0)(?1,)f(x(0,?)的單調(diào)遞