第一屆大學生數學競賽(數學類)考題及答案

1、首屆中國大學生數學競賽賽區(qū)賽試卷解答 （數學類，2009）考試形式： 閉卷 考試時間： 120 分鐘 滿分： 100 分.一、（15分）求經過三平行直線，的圓柱面的方程.二、（20分）設是復矩陣全體在通常的運算下所構成的復數域上的線性空間，.（1）假設，若，證明：；（2）求的子空間的維數. 三、（15分）假設是復數域上維線性空間（），是上的線性變換.如果，證明：的特征值都是0，且有公共特征向量. 四、（10分）設是定義在上的無窮次可微的函數序列且逐點收斂，并在上滿足.（1）證明在上一致收斂；（2）設，問是否一定在上處處可導,為什么？五、（10分）設， 證明發(fā)散.六、（15分） 是上二次連續(xù)可微

2、函數，滿足，計算積分.七、（15分）假設函數 在 上連續(xù)，在內二階可導，過點 ，與點 的直線與曲線 相交于點 ，其中 . 證明：在 內至少存在一點 ，使 。首屆全國大學生數學競賽決賽試卷 （數學類，2010）考試形式： 閉卷 考試時間： 150 分鐘 滿分： 100 分.一、填空題（共8分，每空2分.）(1) 設，則=_.(2) 若關于的方程在區(qū)間內有惟一實數解，則常數_.(3) 設函數在區(qū)間上連續(xù).由積分中值公式有 .若導數存在且非零，則的值等于_.(4) 設，則=_.二、（10分）設在內有定義，在處可導，且. 證明: .三、（12分） 設在上一致連續(xù)，且對于固定的。當自然數時。證明: 函數

3、序列在上一致收斂于0.四、（12分） 設，在內連續(xù)，在內連續(xù)有界，且滿足條件： (1) 當時，；(2) 在中與有二階偏導數， ,。 證明： 在D內處處成立.五、（10分）設 ， .考慮積分， ，定義。（1） 證明；（2）利用變量替換：計算積分I 的值，并由此推出.六、（13分） 已知兩直線的方程：，.（1）問：參數滿足什么條件時，與是異面直線？（2）當與不重合時，求繞旋轉所生成的旋轉面的方程，并指出曲面的類型.七、(20分) 設均為階半正定實對稱矩陣，且滿足. 證明: 存在實可逆矩陣使得均為對角陣.八、(15分) 設是復數域上的維線性空間，() 是非零的線性函數。 且線性無關. 證明: 任意的

4、都可表為。使得 ，. 參考答案（精簡版）首屆中國大學生數學競賽賽區(qū)賽試卷解答 （數學類，2009）一、（15分）求經過三平行直線，的圓柱面的方程.解： 先求圓柱面的軸的方程. 由已知條件易知，圓柱面母線的方向是， 且圓柱面經過點， 過點且垂直于的平面的方程為： . （3分)與三已知直線的交點分別為 （5分)圓柱面的軸是到這三點等距離的點的軌跡， 即，即 ，（9分)將的方程改為標準方程.圓柱面的半徑即為平行直線和之間的距離. 為上的點. . （12分)對圓柱面上任意一點， 有， 即，所以，所求圓柱面的方程為： . . （15分)二、（20分）設是復矩陣全體在通常的運算下所構成的復數域上的線性空間

5、，.（1）假設，若，證明：；（2）求的子空間的維數.（1）的證明:記，.要證明，只需證明與的各個列向量對應相等即可.若以記第個基本單位列向量.于是，只需證明：對每個，. （2分)若記，則.注意到， （*） . （6分)由知 所以，. . （14分)（2）解： 由（1）， （16分)設，等式兩邊同右乘，利用（*）得因線性無關，故，（19分)所以，線性無關.因此，是的基，特別地， . （20分)三、（15分）假設是復數域上維線性空間（），是上的線性變換.如果，證明：的特征值都是0，且有公共特征向量.證明：假設是的特征值，是相應的特征子空間，即.于是，在下是不變的. （1分)下面先證明，=0.任取非

6、零，記為使得線性相關的最小的非負整數，于是，當時，線性無關.（2分)時令,其中，.因此，（），并且，. 顯然，特別地，在下是不變的. （4分)下面證明，在下也是不變的.事實上，由，知 （5分)根據用歸納法不難證明，一定可以表示成的線性組合，且表示式中前的系數為. . （8分)因此，在下也是不變的，在上的限制在基下的矩陣是上三角矩陣，且對角線元素都是，因而，這一限制的跡為. .（10分)由于在上仍然成立，而的跡一定為零，故，即=0. . （12分)任取，由于，所以，.因此，在下是不變的.從而，在中存在的特征向量，這也是的公共特征向量. . （15分)四、（10分）設是定義在上的無窮次可微的函數序

7、列且逐點收斂，并在上滿足.（1）證明在上一致收斂；（2）設，問是否一定在上處處可導,為什么？證明：（1），將區(qū)間等分，分點為，使得 . 由于在有限個點上收斂，因此，使得 對每個成立. . （3分)于是，設，則，. （5分)（2）不一定. （6分)令 ，則在上不能保證處處可導.（10分)五、（10分）設， 證明發(fā)散.解： . （3分)， （5分) .（7分). .（8分)因此，由此得到發(fā)散. （10分)六、（15分） 是上二次連續(xù)可微函數，滿足，計算積分.解： 采用極坐標，則.（6分) . （10分). .（15分)七、（15分）假設函數 在 上連續(xù)，在內二階可導，過點 ，與點 的直線與曲線 相

8、交于點 ，其中 . 證明：在 內至少存在一點 ，使 .證明：因為 在 上滿足 中值定理的條件，故存在 ， 使 . （4分)由于C在弦 上，故有 =. （7分)從而 . . （8分)同理可證，存在 ，使 . .（11分)由，知 在上 滿足 定理的條件，所以存在 ，使 . .（15分)首屆中國大學生數學競賽決賽試卷參考答案及評分標準 （數學類，2010）一、 填空題（共8分，每空2分.）（1） 設，則= .（2）若關于的方程在區(qū)間中有惟一實數解，則常數 .（3）設函數在區(qū)間上連續(xù).由積分中值公式有 .若導數存在且非零， 則的值等于 .（4）設，則=_12_.二、（10分）設在內有定義，在處可導，且

9、.證明： .證： 根據題目假設和泰勞展開式，我們有其中是的函數，。 （2分）因此，對于任意給定的，存在，使得。 （3分）對于任意自然數和，我們總有。（4分）取，對于上述給定的，便有。 （5分）于是，。此式又可寫成。 （7分）令，對上式取極限即得 和由的任意性，即得。證畢。（10分）三、(12分)設在上一致連續(xù)，且對于固定的，當自然數時.證明函數序列在上一致收斂于0.證：由于在上一致連續(xù)，故對于任意給定的，存在一個使得 （2分）取一個充分大的自然數，使得，并在中取個點:，其中。這樣，對于每一個，。 （5分）又由于，故對于每一個，存在一個使得，這里的是前面給定的。令，那么，其中。 設是任意一點，這

10、時總有一個使得。由在上一致連續(xù)性及可知， （9分）另一方面，我們已經知道這樣，由后面證得的兩個式子就得到 注意到這里的的選取與點無關，這就證實了函數序列在上一致收斂于0。 （12分）四、（12分）設，在內連續(xù)，在內連續(xù)有界，且滿足條件：（1）當時，；（2）在內與有二階偏導數， 和.證明： 在D內處處成立.證：用反證法。假定該不等式在某一點不成立，我們將導出矛盾。令. 那么，根據題目假設，當時，.這樣，在內必然有最小值。設最小值在達到。 (3分)根據反證法假設，我們有. (i) 另一方面，根據題目假設，我們又有， (ii) 其中是拉普拉斯算子：. (7分)式子（ii）在中處處成立，特別地在成立：

11、. (iii) 由(i)與(iii)可知，. (iv) (9分) 但是，是的極小值點，應該有并因此這與（iv）矛盾。此矛盾證明了題目中的結論成立。證畢。（12分）五、（共10分，（1）和（2) 各5分）分別設，.考慮積分 與， 定義. （1) 證明；（2)利用變量替換：計算積分I 的值，并由此推出.證： 顯然， （2分）注意到上述級數在 上的一致收斂性，我們有。 （4分）由于 在點收斂，故有。 （5分）下面證明. 在給定的變換下，那么，變換的雅可比行列式 ，。 （6分）假定正方形在給定變換下的像為，那么根據的圖象以及被積函數的特征，我們有利用 又得 （8分）令 那么。最后，我們得到 。（10分

12、）六、（13分）已知兩直線的方程：，。（1）問：參數滿足什么條件時，與是異面直線？（2）當與不重合時，求繞旋轉所生成的旋轉面的方程，并指出曲面的類型。解：（1）的方向向量分別為。分別取上的點。與是異面直線當且僅當矢量不共面，即，它們的混合積不為零：，所以，與是異面直線當且僅當且。 （2分）（2）假設是上任一點，于是必定是上一點繞旋轉所生成的。由于與垂直，所以， （4分）又由于在上，所以， ， 因為經過坐標原點，所以，到原點的距離相等，故， ， （5分）將，聯(lián)立，消去其中的： 令，將用表示： ， 將代入，得 ， （6分）當，即與不垂直時，解得，據此，再將代入，得到的方程：， （8分）當時，由得，

13、這表明，在這個平面上。 （9分）同時，將代入，有。由于可以是任意的，所以，這時，的方程為：， （11分）的類型：且時，與平行，是一柱面；且時，與相交，是一錐面（時是平面）；當且時，是單葉雙曲面（時，是去掉一個圓盤后的平面）。 （13分）七、(20分)設均為階半正定實對稱矩陣，且滿足. 證明存在實可逆矩陣使得均為對角陣.證明 （1） 的秩為的情形：此時，為正定陣。于是存在可逆矩陣使得。 （2分）因為是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣使得是對角矩陣。（4分）令，則有都是對角陣。（5分）（2）的秩為的情形：此時，存在實可逆矩陣使得。（6分）因為是實對稱矩陣，所以，可以假定，其中是階實對稱矩陣。 （8分） 因為是階實對稱矩陣，所以存在階正交矩陣，使得為對角陣。（10分）令，則可以表示為，其中是維列向量。為簡化記號， 我們不妨假定。如果，由于是半正定的，的各個主子式均?？紤]的含的各個2階主子式，容易知道，。此時已經是對角陣了，如所需。（14分）現(xiàn)假設。顯然，對于任意實數，可以通過合同變換同時化成對角陣當且僅當同一合同變換可以將同時化成對角陣。由于時，仍然是半正定矩陣，由（1），我們只需要證明：存在，