第三講韋達定理

1、第三講 充滿活力的韋達定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值； 運用韋達定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等 韋達定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法例題精講【例1】 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則

2、代數(shù)式的值為 思路點撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，那么的值為( ) A B或2 C D或2思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對稱式【例3】 已知關(guān)于的方程： (1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根 (2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、思路點撥 對

3、于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手【例4】 設(shè)、是方程的兩個實數(shù)根，當(dāng)m為何值時，有最小值?并求出這個最小值 思路點撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(0)進行的注：應(yīng)用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達定理解題時，須滿足判別式0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性【例5】 已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)當(dāng)m2和m2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ1，且ABBC)的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一點，CFDE于F，求BE為何值時，CEF的面積是CED的面積的，請說明理由 16設(shè)m是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、(1) 若，求m的值(2) 求的最大值 17如圖，已知在ABC中，ACB=90，過C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又關(guān)于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，