醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)課件-10相關(guān)與回歸

1、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué),線性相關(guān)與回歸 Correlation and Regression,王友潔 email ,大量的醫(yī)學(xué)科研與實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到對(duì)兩個(gè)變量之間關(guān)系的研究。 糖尿病病人的血糖與胰島素水平的關(guān)系； 某人群年齡與收縮壓的關(guān)系； 兒童身高與體重的關(guān)系； 動(dòng)物實(shí)驗(yàn)中動(dòng)物進(jìn)食量與增加體重的關(guān)系等。 常用相關(guān)與回歸分析，屬雙變量分析范疇（bivariate analysis）。,線性相關(guān) （linear correlation）,當(dāng)兩事物或現(xiàn)象在數(shù)量上的協(xié)同變化呈直線趨勢(shì)時(shí)則稱為直線相關(guān),又稱簡(jiǎn)單相關(guān)。 用于分析雙變量正態(tài)分布資料。表示兩變量相關(guān)關(guān)系的重要指標(biāo)就是相關(guān)系數(shù)。,直線相關(guān)的概念,對(duì)兩變

2、量關(guān)系的研究，而關(guān)心的是兩個(gè)變量間是否確有直線相關(guān)關(guān)系，如兩個(gè)變量間有相關(guān)關(guān)系，那么相關(guān)的方向和相關(guān)的程度如何？可采用相關(guān)分析。 相關(guān)分析的任務(wù)： 兩變量間有無相關(guān)關(guān)系？ 兩變量間如有相關(guān)關(guān)系，相關(guān)的方向？相關(guān)的程度？,直線相關(guān)的概念,當(dāng)兩個(gè)數(shù)值變量之間出現(xiàn)如下情況：當(dāng)一個(gè)變量增大，另一個(gè)也隨之增大(或減少)，我們稱這種現(xiàn)象為共變，也就是有相關(guān)關(guān)系。 若兩個(gè)變量同時(shí)增加或減少，變化趨勢(shì)是同向的，則兩變量之間的關(guān)系為正相關(guān)(positive correlation)；若一個(gè)變量增加時(shí)，另一個(gè)變量減少，變化趨勢(shì)是反向的，則稱為負(fù)相關(guān)(negative correlation)。 相關(guān)的方向,直線相

3、關(guān)的資料要求,直線相關(guān)（linear correlation），又稱簡(jiǎn)單相關(guān)，用于雙變量正態(tài)分布資料。 例如，同性別成人的身高與體重的關(guān)系： 對(duì)某一身高（如女性160cm），體重為正態(tài)分布； 對(duì)某一體重（如女性50kg），身高為正態(tài)分布。,相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)又稱為積差相關(guān)系數(shù)。它描述兩變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向。 符號(hào)：樣本相關(guān)系數(shù) r ，總體相關(guān)系數(shù) 其數(shù)值1r1，當(dāng)r為正值時(shí)，表示一變量隨另一變量的增加而增加稱為正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)值時(shí)，表示一變量隨另一變量的增加而減少，稱為負(fù)相關(guān)。當(dāng)r愈接近1，表示兩變量的相關(guān)愈密切；當(dāng)r愈接近0時(shí)，表示兩變量

4、相關(guān)程度愈低；當(dāng)r0時(shí)，稱為零相關(guān)，表示兩變量無直線相關(guān)關(guān)系，見示意圖。,相關(guān)系數(shù)的意義,相關(guān)系數(shù)示意,一般認(rèn)為，當(dāng)樣本含量較大的情況下（n100），大致可按下列標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)兩變量相關(guān)的程度 r0.7 高度相關(guān) 0.7r0.4 中度相關(guān) 0.4r0.2 低度相關(guān),相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：,相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,式中l(wèi)XX與lYY分別為變量X與Y的離均差平方和，lXY為兩變量X 、Y的離均差積和。,計(jì)算公式為：,直線相關(guān)分析的一般步驟,1. 繪制散點(diǎn)圖，觀察兩變量的變化趨勢(shì)； 2. 若散點(diǎn)圖呈直線趨勢(shì)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)； 3. 對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)； 4. 必要時(shí)對(duì)總體相關(guān)系數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。,【例】某研究者測(cè)

5、量10名20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)。見表。問身高與前臂長(zhǎng)有無直線相關(guān)關(guān)系？,身高與前臂長(zhǎng),計(jì)算步驟 （1）由原始數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，本資料呈直線相關(guān)趨勢(shì)。,（2）根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算出X，Y，X 2，Y 2，XY 。 本例X1725，Y454， X 2298525，Y 220690，XY78541。 （3）計(jì)算X、Y的離均差平方和與離均差積和,（4）求相關(guān)系數(shù)r,H0：總體相關(guān)系數(shù) =0 H1： 0 = 0.05 1. 直接查表法：按 = n-2查r界值表。 2. t 檢驗(yàn)法,相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)假設(shè),t 檢驗(yàn)法 t檢驗(yàn)的計(jì)算公式,V= n-2,對(duì)所得r值，檢驗(yàn)20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)是否有直線相關(guān)關(guān)系。 （

6、1）建立檢驗(yàn)假設(shè) Ho：0 ,兩變量間無直線相關(guān)關(guān)系 H1：0 ,兩變量間有直線相關(guān)關(guān)系 0.05 （2）計(jì)算t值 本例n=10， r=0.8227 ，按公式計(jì)算t值,（3）確定P 值，作出推斷結(jié)論 按=n-2=8查t界值表，得 P0.005，按0.05水準(zhǔn)，拒絕Ho，接受H1，故可認(rèn)為20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)呈正直線相關(guān)關(guān)系。,直線回歸,直線回歸的概念 回歸：反映兩變量數(shù)量依存的關(guān)系，即指由一個(gè)變量推算另一個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系。直線回歸是回歸分析中最基本最簡(jiǎn)單的一種，故又稱簡(jiǎn)單回歸（simple regression）。,直線回歸方程,Y 應(yīng)變量，響應(yīng)變量 (dependent variable

7、, response variable) X 自變量，解釋變量 (independent variable, explanatory variable) b 回歸系數(shù) (regression coefficient, slope) a 截距 (intercept，constant),“Y hat”,是給定X時(shí)的Y估計(jì)值,截距a,幾何意義 a 0: 回歸線與縱軸交點(diǎn)在原點(diǎn)上方。 a 0: 回歸線與縱軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方。 a =0: 回歸線通過原點(diǎn)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 a 表示自變量X取值為0時(shí)相應(yīng)Y條件均數(shù)的估計(jì)值。 a的單位與Y值相同 當(dāng)X可能取0時(shí)，a才有實(shí)際意義。,回歸系數(shù)b的幾何意義,回歸系數(shù)b

8、的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,b表示自變量X變化一個(gè)單位時(shí)應(yīng)變量Y的平均改變量。 17歲兒童以年齡（歲）估計(jì)體重（kg）的回歸方程： 糖尿病患者以胰島素水平（mU/L）估計(jì)血糖水平（mmol/L）的回歸方程：,直線回歸的應(yīng)用條件 （LINE）,(1) 線性(linear)：因變量Y的總體均數(shù)與自變量X呈線性關(guān)系； (2) 獨(dú)立 (independent) 任意兩個(gè)觀察單位之間相互獨(dú)立； (3) 正態(tài)性(normal) 對(duì)任意給定的X值，Y 均服從正態(tài)分布； (4) 等方差(equal variance)：在自變量X的取值范圍 內(nèi)，不論X 取什么值， Y 都有相同的方差。,直線回歸應(yīng)用條件LINE示意圖,給定X

9、時(shí)，Y是正態(tài)分布、不等方差示意圖,求直線回歸方程，關(guān)鍵在于計(jì)算a、b兩個(gè)系數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)上的最小二乘法原理即保證各實(shí)測(cè)點(diǎn)至回歸直線的縱向距離的平方和最小。,直線回歸方程的求法,使回歸誤差平方和最小的策略稱為最小二乘原則,直線回歸分析的一般步驟,1. 繪制散點(diǎn)圖，若呈直線趨勢(shì)，則可擬合直線回歸方程； 2. 求回歸方程的待定系數(shù)：a 和b 3. 寫出回歸方程 4. 對(duì)回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)； 5. 繪制回歸直線； 6. 總體回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)。,【例】利用已知20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)之間存在直線相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)求身高與前臂長(zhǎng)的直線回歸方程。 計(jì)算步驟 （1）列回歸系數(shù)計(jì)算表，求出X ，Y ，XY ， X2

10、 ， Y2 。 本例X=1725 ，Y=454 ，XY=78541 ，X 2=298525 ，Y 2=20690 。lxx=962.5 ，lxy=226,（3）求回歸系數(shù)b和截距a,（4）列出回歸方程 將求出的 a 和 b 代入公式,在自變量X的實(shí)測(cè)值范圍，任意指定相距較遠(yuǎn)且易讀的兩個(gè)數(shù)值，代入直線回歸方程，求出相應(yīng)的Y的估計(jì)值，確定兩點(diǎn)，用直線連接。如本例取X1=155，X2=185，則在圖上確定（155，41.291）和（185，48.335）兩個(gè)點(diǎn)，直線連接，即得出直線回歸方程的圖形，,回歸直線的繪制,20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)散點(diǎn)圖,回歸系數(shù)b為樣本回歸系數(shù)，假設(shè)在總體回歸系數(shù)=0的總體

11、中抽樣，得出樣本的b不一定為0，因此需作總體回歸系數(shù)是否為0的假設(shè)檢驗(yàn). 常用F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),方差分析：應(yīng)變量總變異的分解,X,P (X,Y),Y,Y的總變異分解,Y的總變異分解,未引進(jìn)回歸時(shí)的總變異： (sum of squares of total) 引進(jìn)回歸以后的變異(剩余): (sum of squares for residuals) 無法用X解釋的變異 回歸的貢獻(xiàn)，回歸平方和： (sum of squares for regression) 越大，回歸的效果好,方差分析用于回歸系數(shù)檢驗(yàn)的基本思想：如果X與Y之間無線性關(guān)系，則SS回歸于SS剩余都是其他隨機(jī)因素對(duì)

12、Y的影響，因此描寫變異的MS回歸與MS剩余應(yīng)近似相等，總體回歸系數(shù)為0， 反之則不應(yīng)為0。,Y的總變異分解,總n1 回1 剩余n2,回歸方程的方差分析,回歸系數(shù) t檢驗(yàn),Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，Syx為各觀察值 Y 距回歸直線的標(biāo)準(zhǔn)差，即剩余標(biāo)準(zhǔn)差；為剩余平方和，它反映X對(duì)Y的線性影響之外的因素對(duì)Y的變異作用。在散點(diǎn)圖中，各實(shí)測(cè)點(diǎn)離回歸直線越近，越小，說明直線回歸的估計(jì)誤差越小。,【例】根據(jù)例所得b值，檢驗(yàn)身高與前臂長(zhǎng) 是否有直線回歸關(guān)系。 （1）建立檢驗(yàn)假設(shè) H0：=0, 即身高與前臂長(zhǎng)無直線回歸關(guān)系 H1：0, 即身高與前臂長(zhǎng)有直線回歸關(guān)系 =0.05 （2）計(jì)算t值 前面已經(jīng)求得lXX=

13、962.5，lXY=226，lYY=78.4，代入公式有,（3）確定P值，作出推斷結(jié)論 本例 =10-2=8，查附表2，t界值表得t0.005(8)=3.833,現(xiàn)tt0.005(8)，故P0.005。 按=0.05的水準(zhǔn)，拒絕Ho，接受H1，可認(rèn)為20歲男青年身高與前臂長(zhǎng)有直線回歸關(guān)系。,1、描述兩變量間的依存關(guān)系 可用直線回歸來描述 。 2、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè) 將X 代入直線回歸方程，可得到應(yīng)變量 Y 的估計(jì)值。 3、利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制 通過X取值來控制Y的變化。,直線回歸方程的應(yīng)用,1.作相關(guān)回歸分析要有實(shí)際意義。 不要把毫無聯(lián)系的兩種現(xiàn)象作相關(guān)回歸分析。 2.相關(guān)關(guān)系不一定是因

14、果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。 3.在進(jìn)行直線相關(guān)與回歸分析之前，應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖，當(dāng)觀察到點(diǎn)的分布呈直線趨勢(shì)時(shí)，方可進(jìn)行分析，如散點(diǎn)圖呈曲線趨勢(shì)，應(yīng)進(jìn)行曲線回歸分析。,相關(guān)與回歸分析時(shí)應(yīng)注意的問題,4.直線相關(guān)與回歸的區(qū)別 在資料需求上，相關(guān)分析要求兩變量X與Y均為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，即兩者都不能預(yù)先指定；回歸分析要求Y是正態(tài)隨機(jī)變量，而X可以不是正態(tài)隨機(jī)變量而是一確定值 在意義上，相關(guān)反映兩變量的相關(guān)關(guān)系；回歸反映兩變量間的依存關(guān)系。 在應(yīng)用上，說明兩變量間的相關(guān)程度及相關(guān)方向用相關(guān)；說明兩變量間的依存變化的數(shù)量關(guān)系用回歸。,5. 相關(guān)與回歸的聯(lián)系 在同一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b的符號(hào)

15、一致。 同一組數(shù)據(jù)，r與b的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)的，即tr=tb。因r的假設(shè)檢驗(yàn)可直接查表，較為簡(jiǎn)便，故可代替b的假設(shè)檢驗(yàn)。 6. 回歸方程一般只適用于自變量X的原始數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，不能任意外延。因?yàn)槌鲞@個(gè)范圍，X與Y就不一定仍然呈線性關(guān)系。,多元線性回歸分析,(Multiple Linear Regression),目的：作出以多個(gè)自變量估計(jì)應(yīng)變量的多元線性回歸方程。 資料：應(yīng)變量為定量指標(biāo)；自變量全部或大部分為定量指標(biāo)，若有少量定性或等級(jí)指標(biāo)需作轉(zhuǎn)換。 用途：解釋和預(yù)報(bào)。 意義：由于事物間的聯(lián)系常常是多方面的，一個(gè)應(yīng)變量的變化可能受到其它多個(gè)自變量的影響，如糖尿病人的血糖變化可能受胰島素、糖化血紅

16、蛋白、血清總膽固醇、甘油三脂等多種生化指標(biāo)的影響。,變量：應(yīng)變量 1 個(gè)，自變量m 個(gè)，共 m+1 個(gè)。 樣本含量：n 回歸模型一般形式：,多元線性回歸模型,上式表示數(shù)據(jù)中應(yīng)變量Y可以近似地表示為自變量 的線性函數(shù)。 0為常數(shù)項(xiàng)， 1-m為偏回歸系數(shù)，表示在其它自變量保持不變時(shí)， 增加或減少一個(gè)單位時(shí)Y的平均變化量，e是去除m個(gè)自變量對(duì)Y影響后的隨機(jī)誤差（殘差）,表 多元回歸分析數(shù)據(jù)格式,條件,一般步驟,建立回歸方程,檢驗(yàn)并評(píng)價(jià)回歸方程 及各自變量的作用大小,多元線性回歸方程的建立,例 27名糖尿病人的血清總膽固醇、甘油三脂、空腹胰島素、糖化血紅蛋白、空腹血糖的測(cè)量值列于表中，試建立血糖與其它幾項(xiàng)指標(biāo)關(guān)系的多元線性回歸方程。,表 27名糖尿病人的血糖及有關(guān)變量的測(cè)量結(jié)果,求偏導(dǎo)