數學人教版八年級上冊最短路徑問題課件.ppt

1、13.4 課題學習 最短路徑問題 楊柳池民族中學 許昌榮,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點之間,線段最短, ,()兩點在一條直線異側,已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。,P,連接AB,線段AB與直線L的交點P ，就是所求。,思考？ 為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據：兩點之間線段最短.,引言： 前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段 中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數學知識探究數

2、學史中著名的“將軍飲馬問題”,引入新知,問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久 負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪 海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然 后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？,探索新知,精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬 問題” 你能將這個問題抽象為數學問題嗎？,探索新知,追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線,探索新知,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在

3、河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地 到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？,探索新知,追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？,（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點設C 為直線上的一個動點，上 面的問題就轉化為：當點C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最小（如圖）,追問1對于問題2，如何 將點B“移”到l 的另一側B 處，滿足直線l 上的任意一點 C，都保持CB 與CB的長度 相等？,探索新知,問

4、題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直 線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小？,追問2你能利用軸對稱的 有關知識，找到上問中符合條 件的點B嗎？,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直 線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。?作法： （1）作點B 關于直線l 的對稱 點B； （2）連接AB，與直線l 相交 于點C 則點C 即為所求,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直 線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,探索新知,問題3你能用所學的知識證明

5、AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不 重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？,探索新知,問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,若直線l 上任意一點（與點 C 不重合）與A，B 兩點的距離 和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小,探索新知,追問1證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上 任取一

6、點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC +BC？這里的“C”的作用是什么？,探索新知,追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？,1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,A, B,作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E， 2.連接AE交河對岸于點M, 則點M為建橋的位置，MN為所建的橋。 證明：由平移的性質，得 BEMN 且BE=MN, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+

7、MN, 若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE, 則AB兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,2. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。 作法：1.作點C關于直線 OA 的 對稱點點F, 2. 作點D關于直線 OB 的對稱點點E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H， 則CG+

8、GH+DH最短,F,A,O,B,D , C,E,G,H,證明：在直線OA 上另外任取一點G，在OB上取一點H,連接FG,EH,HG,CG,DH 點F,點C關于直線OA對稱，點G.M在OA上， GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四邊形EFGH中， FG+GH+HEFE（兩點之間，線段最短）， 即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短,3.一點在兩相交直線內部,已知：如圖A是銳角MON內部任意一點，在MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.,B,C,D,E,分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現在一條直線上時，三角