概率論與數理統(tǒng)計課件(第4章)

1、.第4章 隨機變量的數字特征指聯系于分布函數的某些數，如平均值，離散程度等. 本章介紹隨機變量的常用數字特征：數學期望、方差、相關系數、矩等.4.1隨機變量的數學期望例4.1 甲、乙兩射擊手擊中目標的環(huán)數用隨機變量、表示，它們的分布分別如下：.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術的優(yōu)劣. 解 假設甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的總環(huán)數為，平均環(huán)數為 ；射擊手乙擊中的總環(huán)數為，平均環(huán)數為 .上述平均環(huán)數可以告訴我們，射擊手乙的射擊技術優(yōu)于射擊手甲. 從例4.1可以看出，在大量次獨立重復試驗中，離散型隨機變量的平均值總是穩(wěn)定在一個常數附近，這個常數就是將分布列表中各組對應數據相乘所得乘積的總和，

2、據此，我們給出隨機變量數學期望的定義.定義4.1 設離散型隨機變量的分布律為.如果，則稱 =. （4.1）為隨機變量的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值. 若不收斂，則稱的數學期望不存在.精品.類似地給出連續(xù)型隨機變量的數學期望的定義.定義4.2 設連續(xù)型隨機變量的密度函數為.如果，則稱 =. （4. 2）為隨機變量的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值.若不收斂，則稱的數學期望不存在. 例4.2 設在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設備用于最大負荷的時間（以分種計）是一個隨機變量，其密度函數為，求. 解 = （min） . 例4.3 柯西分布的密度函數為.求. 解 因為

3、，故不存在.4.1.2 隨機變量函數的數學期望按照隨機變量的數學期望的定義，由其分布唯一確定，如今若要求隨機變量的一個函數的數學期望，可以通過下面的一個定理來求得.定理4.1 設是隨機變量的函數：（為連續(xù)函數）.（1）是離散型隨機變量，它的分布律為，若精品.絕對收斂，則有 （4. 3）（2）是連續(xù)型隨機變量，它的密度函數為.若絕對收斂，則有. （4. 4）定理4.1的重要意義在于當求時，不必先算出的分布.類似于一維隨機變量的數學期望，此定理還可以推廣到多維隨機變量函數的數學期望.定理4.2 設是二維隨機變量（，）的函數：（為連續(xù)函數）.（1）若二維隨機變量（，）的分布律，則有. （4. 5）

4、（2）若二維隨機變量（，）的密度函數為，則有 （4. 6）這里，假設（4.5），（4.6）的右端都是絕對收斂的.例4.4 設隨機變量x的概率密度為 .求e(e-3x). 解 .例4.5 設隨機變量（，）服從二維正態(tài)分布，其密度函數為，求的數學期望.解 精品. .4.1.3 數學期望的性質 以下假設所涉及的隨機變量的數學期望存在.性質1 設是常數，則有.性質2 設是一個隨機變量，是常數，則有.性質3 設是兩個隨機變量，則有. 推論 設有隨機變量則有.性質4 設是兩個獨立的隨機變量，則有.性質1和性質2可以自己證明.下面就連續(xù)情形給出性質3和性質4的證明，對于離散情形，讀者只要將證明中的“積分”用

5、“和式”代替，就能得到證明.證明（性質3） 設二維隨機變量（）的密度函數為，其邊緣密度函數為，.由隨機變量函數的數學期望知道， . 證明（性質4） 因是兩個獨立的隨機變量，于是 =.例4.6 機場大巴載有20位旅客自起點站開出，途經10個站點.設每位旅客在各個站點下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立.以表示停車的次數，求.精品.解 引入隨機變量.易知 .按題意，任一旅客在第站不下車的概率是，因此位旅客都不在第站下車的概率為，在第站有人下車的概率為，也就是.進而，有 .本題是將分解成若干個隨機變量之和，然后利用數學期望的性質來求數學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義.4.2 隨機變量的方差

6、4.2.1 方差的定義例4.1曾用平均環(huán)數來評判甲、乙兩個射擊手射擊技術的優(yōu)劣，如果二者平均環(huán)數相同，那么僅用平均環(huán)數就無法科學地評判兩個射擊手射擊技術的優(yōu)劣，如下例.例4.7 甲、乙兩射擊手擊中目標的環(huán)數用隨機變量、表示，它們的分布分別如下：.2.3.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術的優(yōu)劣. 解 假設甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的平均環(huán)數為 ；射擊手乙擊中的平均環(huán)數為 .精品.其實, 還可以進一步考察射擊手環(huán)數與平均環(huán)數的偏離程度，若偏離程度較小，則表示成績比較穩(wěn)定.從這個意義上說，我們認為甲射擊手相對于乙射擊手較穩(wěn)定.由此可見，討論隨機變量與其均值的偏離程度是十分有必要的.那么用怎

7、樣的量去度量這個偏離程度呢？因為 可能為正，也可能為負，為了避免正負偏離相互抵消，自然而然會考慮取，但是絕對值運算不方便. 為了便于運算方便，通常是取，然后求其均值就可以作為刻畫隨機變量的“波動”程度，這個量被稱作為隨機變量的方差.定義4.3 設是一個隨機變量,若存在,則稱為隨機變量的方差, 記為或，即. （4.7）稱方差的算術平方根為隨機變量的標準差或均方差，記為.方差和標準差的功能相似，它們都是用來描述隨機變量取值的集中與分散程度的兩個特征數，若的取值比較集中，則較小，若的取值比較分散，則較大.方差與標準差的區(qū)別主要在量綱上，由于標準差與所討論的隨機變量的數學期望有相同的量綱，所以在實際中

8、，人們比較喜歡選用標準差，但標準差的計算必須通過方差才能計算.由定義4.3知道，方差實際上就是隨機變量的函數的數學期望，于是，對于離散型隨機變量，按（4. 7）式有， （4.8）其中為的分布律.對于連續(xù)型隨機變量，按（4.7）式有， （4.9）其中為的密度函數.隨機變量的方差可按下面公式計算：精品. . （4.10）事實上，由數學期望的性質1、性質2、性質3得 . 4.2.2 方差的性質下面給出數學期望的幾個常用性質,以下假設隨機變量的數學期望是存在的.性質1 .性質2 設是常數，則有.性質3 是一個隨機變量，是常數，則有.性質4 設是兩個隨機變量，則有.特別地, 若相互獨立,則有.證明 又

9、.若相互獨立,由數學期望的性質4知道,于是有.精品.同理可證明 .這一性質可推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.例如，若且它們相互獨立，則它們的線性組合：（是不全為的常數）仍服從正態(tài)分布，于是由數學期望和方差的性質知道：. 這是一個重要的結果.例4.8 若且它們相互獨立，求隨機變量函數的分布. 解，故.4.3 常見隨機變量的數學期望和方差1.兩點分布的數學期望和方差設隨機變量，則，.證明 ，而由公式（4.10）知.2.二項分布的數學期望和方差設則,.證明 由于隨機變量，即 ，所以 =精品. .于是.3.泊松分布的數學期望和方差設，則,.證明 由于隨機變量的分布律為.所以隨機變量的數

10、學期望為，即 . 精品. 所以隨機變量的方差為.由此，泊松分布的數學期望與方差相等，都等于.又泊松分布只含有一個參數，只要知道它的數學期望或方差就能完全確定它的分布了.4.幾何分布的數學期望和方差設，則，.證明 由于隨機變量的分布律為 ， 則稱隨機變量的數學期望為 . ，所以隨機變量的方差為. 5.均勻分布的數學期望和方差 設，則, . 證明 由于隨機變量的密度函數為所以的數學期望為.精品.即服從均勻分布隨機變量的數學期望位于區(qū)間的中點. .6.指數分布的數學期望和方差 設，則, .證明 由于的密度函數為，所以的數學期望為. 于是 .7.正態(tài)分布的數學期望和方差設,則, .證明 先求標準正態(tài)變

11、量的數學期望和方差.的密度函數為，于是 精品. =1.因，即得 .就是說，正態(tài)分布的概率密度中的兩個參數和分別就是該分布的數學期望和均方差，因而正態(tài)分布完全由它的數學期望和方差所決定.4.4 協(xié)方差與相關系數對二維隨機變量（），除討論的數學期望和方差外，還有必要考察這兩個隨機變量之間相互關系. 由方差的性質可知，若與相互獨立，則.即當時，與一定不獨立.這說明的數值在一定程度上反映了與的相互間的聯系.定義4.4 稱為隨機變量與的協(xié)方差.記為，即. （4.12）而 稱為隨機變量與的相關系數.記為.是一個無量綱的量.即 （4.13）由協(xié)方差的定義知它具有下列性質：1.=，.2.，是常數.精品.3.下

12、面以定理的形式給出兩條重要的性質.定理4.3 設隨機變量與的相關系數為，則（1）； （2）的充要條件是存在常數使.其中當時，有；當時，有.證明（略）.由定理4.3（2）知，之間以概率1存在線性關系.是一個可以用來表征，之間線性關系緊密程度的量.當較大時，通常說，之間線性關系程度較好；當較小時，通常說，之間線性關系程度較差.當時，稱和不相關. 假設隨機變量與的相關系數存在.當和相互獨立時，由數學期望的性質知，從而，即和不相關.反之，若和不相關，和不一定獨立.上述情況，從“不相關”和“相互獨立”的含義來看是明顯的，這是因為不相關只是就線性關系來講的，而相互獨立是就一般關系而言的. 例4.8 設二維

13、隨機變量的概率密度函數為.試驗證和不相關，但和不是相互獨立的.解 先求邊緣密度函數；及.經計算知， ，從而精品.和不相關.但由于，所以和不獨立.例4.9 已知隨機變量和分別服從正態(tài)分布，且和的相關系數，設，（1）求的數學期望和方差；（2）求和的相關系數；（3）問和是否獨立？為什么？解 （1）； （2） （3）由于（，）不一定服從二維正態(tài)分布，故由不能確定和是否相互獨立.例4.10（二維正態(tài)分布）設服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為（為5個常數，且，）.求和的協(xié)方差和相關系數.精品.解 由例3.9可知，的邊緣概率密度為 .故知.而 令，則有 .于是 .這就是說，二維正態(tài)分布隨機變量的概率密度中的參

14、數就是和的相關系數，因而二維正態(tài)分布隨機變量的分布完全可由各自的數學期望、方差和它們的相關系數所確定.在第3章中我們知道，若服從二維正態(tài)分布，那么和相互獨立的充要條件為.現在我們知道，故知對于二維正態(tài)分布隨機變量來說，和不相關與和相互獨立是等價的.4.5 其他特征數精品.前面討論了隨機變量的數學期望、方差及協(xié)方差這些數字特征，本節(jié)再介紹隨機變量的矩、變異系數和分位數這3個重要的特征數.4.5.1 階矩定義4.5 設，是隨機變量，是正整數.若以下的數學期望都存在，則稱 （4.13）為的階原點矩. 稱 （4.14）為的階中心矩. 稱 （4.15）為和的階混合中心矩.顯然，的數學期望就是一階原點矩，

15、方差就是二階中心矩.協(xié)方差就是的二階混合中心矩.例4.11 設隨機變量，則.證明略. 4.5.2 變異系數方差（或標準差）反映了隨機變量取值的波動程度，但在比較兩個隨機變量的波動大小時，如果僅看方差（或標準偏差）的大小有時會產生不合理的現象.這有兩個原因：（1）隨機變量的取值有量綱，不同的量綱的隨機變量用其方差（或標準偏差）去比較它們的波動不太合理.（2）在取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個相對性問題，取值較大的隨機變量的方差（或標準偏差）也允許大一些.所以要比較2個隨機變量的波動大小時，有時使用以下定義的變異系數來比較，更具可比性. 設隨機變量的二階矩存在，則稱比值 （4.16）為的變

16、異系數.因為變異系數是以其數學期望為單位去度量隨機變量取值波動程度的特征，標準差的量綱與數學期望的量綱是一致的，所以變異系數是一個無量綱的量.例4.12 用表示某種同齡樹的高度，其量綱是米（），用表示某年齡段人的身高，其量綱也是米（）.設,你是否可以認為從精品.和就認為的波動小？這就有一個取值相對大小的問題.在此用變異系數進行比較是恰當的.因為的變異系數為,而的變異系數為, 這說明的波動比波動大.4.5.3分位數 定義4.6 設隨機變量的分布函數為，密度函數為.對任意的，稱滿足條件 （4.17）的為此分布的分位數（或分位點），又稱下側分位數. 分位數是把密度函數下的面積分為兩塊，左側面積恰好為

17、（見圖4-1（a）.圖4-1 分位數與上側分位數的區(qū)別同理, 我們稱滿足條件 （4.18）的為此分布的上側分位數. 上側分位數把密度函數下的面積分為兩塊，但右側面積恰好為（見圖4-1（b）.下側分位數和上側分位數是可以相互轉換的，其轉換公式為 ； . （4.19）例如，標準正態(tài)分布的分位數記為，它是方程精品. 的唯一解，其解為，其中是標準正態(tài)分布函數的反函數. 我們利用標準正態(tài)分布函數表，可由查得，譬如.分位數在統(tǒng)計中經常被使用，特別對統(tǒng)計中常用的三大分布：分布、分布和分布，都特別編制了它們的分位數表.以后分別以，記這些分布的分位數.4.5.4 偏度系數 定義4.7 設隨機變量的三階矩存在，則稱比值 （4.20）為隨機變量分布的偏度系數，簡稱偏度. 偏度系數可以描述分布的形狀特征，其取值的正負反映的是當時，分布為正偏或右偏，見圖4-2（a）；當時，分布關于其均值對稱，見圖