第一章振動運動學(xué)

1、第一章 振動運動學(xué)1-1 概述一、機械振動的的概念機械振動英文名稱mechanical Vibration可解釋：機械或結(jié)構(gòu)物在靜平衡位置附近的一種反復(fù)運動。在許多情況下，機械振動是有害的。它影響機器設(shè)備的工作性能和壽命，產(chǎn)生不利于工作的噪聲和有損于機械或結(jié)構(gòu)物的動載荷，嚴重時會使零部件失效甚至破壞而造成事故。因此，對于大多數(shù)機器設(shè)備，應(yīng)將其振動量控制在允許的范圍內(nèi)。反之，對于利用振動原理工作的機器設(shè)備，則又應(yīng)使它能產(chǎn)生所希望的振動，選擇其應(yīng)有的效能。實際的機器或結(jié)構(gòu)物可以，簡化為一個力學(xué)模型。如圖1.1所示，一個不發(fā)生形變的物體放在一個忽略了質(zhì)量的彈簧上，組成一個“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)。圖1-1

2、 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)物體靜止時，物體處于圖1.1（a）所示的平衡位置O-O，此時物體的重力與彈簧支持它的彈性恢復(fù)力互相平衡，即它們的合力Q=0，物體的速度v=0，加速度a=0；當物體受到向下的沖擊作用后即向下運動，彈簧被進一步壓縮，彈性恢復(fù)力逐漸加大，使物體作減速運動。當物體的速度減小到零后，物體即運動到如圖1.1（b）所示的最示的最低位置，此時v=0，而彈簧的彈性恢復(fù)力大于物體的重力，故合力Q的方向向上，使物體產(chǎn)生向上的加速度a，物體即開始向上運動；當物體返回到如圖1.1（c）所示的平衡位置時，其所受合力Q又為零，但其速度v卻不為零，由于慣性作用，物體繼續(xù)向上運動；隨著物體向上運動，彈簧逐漸伸長

3、，彈性恢復(fù)力逐漸變小，物體重力大于彈性恢復(fù)力，合力Q方向向下，故物體又作減速運動。當物體向上的速度減少到零時，物體即運動到如圖1.1（d）所示的最高位置。此后，物體即開始向下運動，返回平衡位置；當物體返回到如圖1.1（e）所示的平衡位置時，其所受合力Q又為零，但其速度v仍不為零。由于慣性作用，物體繼續(xù)向下運動。這樣，物體即在平衡位置附近來回往復(fù)運動。一次振動物體從平衡位置開始向下運動，然后向上運動，經(jīng)過平衡位置再繼續(xù)向上運動，然后又向下運動回到平衡位置（從圖1.1a到圖1.1e）。機械振動是指機械系統(tǒng)的某些物理量（位移、速度、加速度），在某一數(shù)值附近隨時間t的變化關(guān)系。周期振動某物理量在相等的

4、時間間隔內(nèi)作往復(fù)運動。周期往復(fù)一次所需的時間間隔（T）周期振動可用時間的周期函數(shù)表達為：式中： n=1，2，頻率周期的倒數(shù)二、機械振動的分類對于一個復(fù)雜的河，人們往往用分類的辦法將其區(qū)別來對待，討論機械振動，有必要對振動加以分類。（在這里僅討論五種分類方法）。1按產(chǎn)生振動的原因分類（1）自由振動當系統(tǒng)的平衡被破壞，只靠其彈性恢復(fù)力來維持的振動。（2）受迫振動在外界激振力的持續(xù)作用下，系統(tǒng)被迫產(chǎn)生的振動。（3）自激振動由于系統(tǒng)具有非振蕩性能源和反饋特性，從而引起一種穩(wěn)定的周期性振動。2按振動的規(guī)律分類（1）簡諧振動能用一項正弦或余弦函數(shù)表達其運動規(guī)律的周期性振動。（2）非簡諧振動不能用正弦或余弦

5、函數(shù)來表達其運動規(guī)律的周期性振動。（3）隨機振動不能用簡單函數(shù)或這些簡單函數(shù)的簡單組合來表達其運動規(guī)律，而只能用統(tǒng)計方法來研究的非周期性振動。3按振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分類（1）線性振動系統(tǒng)的慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力分別與加速度、速度、位移成線性關(guān)系，能用常系數(shù)線性微分方程描述的振動。（2）非線性振動系統(tǒng)的阻尼力或彈性恢復(fù)力具有非線性性質(zhì)，只能用非線性微分方程描述的振動。4按振動系統(tǒng)的自由度數(shù)目分類（1）單自由度系統(tǒng)振動確定系統(tǒng)在振動過程中任何瞬時的幾何位置只需要一個獨立坐標的振動。（2）多自由度系統(tǒng)振動確定系統(tǒng)在振動過程中任何瞬時的幾何位置需要多個獨立坐標的振動。5按振動位移的特征分類（

6、1）扭轉(zhuǎn)振動振動體上的質(zhì)點只作繞軸線的振動。（2）縱向振動振動體上的質(zhì)點只作沿軸線方向的振動。（3）橫向振動振動體上的質(zhì)點只作垂直軸線方向的振動。振動還有其它的分類：周期性振動，非周期性振動穩(wěn)態(tài)振動、瞬態(tài)振動等。1-2 簡諧振動及其表示方法一、簡諧振動及其特征簡諧振動是指機械系統(tǒng)的某個物理量（位移、速度、加速度）按時間的正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律變化的振動。簡諧振動的數(shù)學(xué)表達式是：其中：A振幅，表示物體離開平衡位置的最大位移；T周期，若用tT，t2T，tnT等代替上式中的t，則所得的x值不變。故每隔時間T，運動就完全重復(fù)一次，所以T是振動周期。圓頻率(1.4)式中：相位角,它是決定振動物體在t時刻

7、運動狀在記的重要物理量；初相位，即t=0時的相位，表示振動物體的初始位置。簡諧振動的速度和加速度(1.5)(1.6)比較（1.4）、（1.5）和（1.6）式，可以看出，（簡諧振動的運動學(xué)特征）（1）只要位移是簡諧函數(shù)，則速度和加速度也是簡諧函數(shù)，而且與位移具有相同的頻率。（2）速度的相位比位移的相位超前，加速度比位移超前；（3）因數(shù)，這就表明簡諧振動的加速度與位移恒成正比而反向，即加速度始終指向平衡位置。這是簡諧振動的運動學(xué)特征。二、簡諧諧的矢量表示法和復(fù)數(shù)表示法1矢量表示法簡諧振動可以用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標軸上的投影來表示。圖1.5 簡諧振動的矢量表示法如圖1.5所示，從始點O作矢量，其模為A，以

8、等角速度旋轉(zhuǎn)，矢量的起始位置與水平軸的夾角為。在任一瞬時，矢量與水平軸的夾角則為。這一旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸上的投影即為這一旋轉(zhuǎn)矢量在水平軸上的投影即為由此可見，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸或水平軸上的投影，均可用來表示簡諧振動。而這一旋轉(zhuǎn)矢量的模，就是簡諧振動的振幅；旋轉(zhuǎn)矢量的角速度就是簡諧振動的圓頻率；旋轉(zhuǎn)矢量與水平軸的夾角就是簡諧振動的相位角；而簡諧振動的初相位角，則是t=0時旋轉(zhuǎn)矢量與水平軸的夾角。簡諧振動的速度和加速度也可用旋轉(zhuǎn)矢量來表示。因為速度和加速度也是時間t的正弦（或余弦）函數(shù)，其圓頻率仍為，并分別具有以下的最大值：故可用等速旋轉(zhuǎn)的兩個矢量v0和a0來表示。但速度矢量超前于位移矢量90，加速度

9、矢量則超前位移矢量180。相位差是指兩物理量達到最大值（或最小值）時時間上的差異。若兩個物理量同時達到最大值或最小值，則相位差=0（同相）。若兩個物理理一個達到最大值時，另一個正好達到最小值，則相位差，稱為反相。2復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)可以用復(fù)數(shù)平面上的一個矢量來表示。圖1.7 復(fù)數(shù)的矢量表示法圖1.8 復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量如圖1.7所示，長度為A的矢量在實數(shù)軸和虛數(shù)軸上的投影分別為，故矢量就代表了下列復(fù)數(shù)：而的長度就代表了這一復(fù)數(shù)的模A，與實數(shù)軸的夾角就是這一復(fù)數(shù)的復(fù)角。若使繞O點以等角速度在復(fù)平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)，就成為一個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量（圖1.8）。它在任一瞬間的復(fù)角為 。故這一旋轉(zhuǎn)矢量的復(fù)數(shù)表達式即為：根據(jù)

10、歐拉公式：則前式可改寫成：如前所述，任一簡諧振動都可用一個旋轉(zhuǎn)矢量在直角坐標軸上的投影來表示。因此，同樣可用一個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在復(fù)平面的實軸或虛軸上的投影來表示一個簡諧振動?？梢杂脧?fù)數(shù)表示簡諧振動。即式中符號ImZ表示取復(fù)數(shù)Z的虛數(shù)部分。為了書寫方便，今后對復(fù)數(shù)不作特別說明時，即表示取虛數(shù)部分，這樣可省略符號Im。簡諧振動的復(fù)數(shù)表達式是：簡諧振動的速度和加速度也可用復(fù)數(shù)表示：可以看出，對復(fù)數(shù)每求導(dǎo)一次，則相當于在它前面乘上一個，而每乘上一個i，就相當于把這個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)。三、簡諧振動的合成在實際的振動系統(tǒng)中，往往同時遇到幾個簡諧振動疊加的情況，因此有必要研究簡諧振動的合成。1同方向上兩

11、個簡諧振動的合成同方向上的簡諧振動：兩個振動方向在同一直線方向上。這兩個振動同時發(fā)生，最終表現(xiàn)出的振動形式就是它們綜合的效果。當兩個簡諧振動的頻率相同時，可設(shè)這兩個簡諧振動的復(fù)數(shù)表達式為：這是兩個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量，根據(jù)矢量相加的原理，它們的和（即合成振動）為：設(shè)復(fù)數(shù) 則式中：合成振動振幅 合成振動初相位 由此可見：合成振動仍然是一個簡諧振動，其頻率與原來分振動的頻率相同。合成振動的振幅決定于分振動的振幅及其相位差，兩個分振動同相時，相位差=0，則合成振動振幅等于兩個振動的振幅和；兩個分振動反相時，相位差，則合成振動振幅等于兩個分振動的振幅差。當兩個簡諧振動的頻率不同時，問題就比較復(fù)雜，因為這時兩個

12、分振動的相位差本身也成了時間的函數(shù)。設(shè)t=0時，兩個分振動的相位差為。則在時間為t時，兩個分振動的相位差可用下式表示。式中：兩個分振動的頻率；，為兩個分振動的頻率差。這時，仍可慶用前面的推導(dǎo)結(jié)果，但必須把看成是一個變量。由此可見：合成振動的振幅A是時間t的周期函數(shù)，它將以作為頻率，在的范圍內(nèi)變動。若兩個分振動的振幅相差較大，則合成振動的振幅中總是由振幅大的一個分振動占主導(dǎo)地位，而振幅小的分振則只能使前者產(chǎn)生一些畸變。若兩個分振動的振幅相差不大，那么合成振幅按一定頻率時而增大，時而減小的現(xiàn)象就十分明顯。振幅的這種變化的現(xiàn)象稱為“拍”，振幅從一個最小值通過最大值再到下一個最小值的時間是拍的周期T拍

13、，其倒數(shù)就稱為拍頻，拍頻就等于兩個分振動的頻率之差。只有兩個分振動的頻率之比是有理數(shù)時，合成振動才可能是周期振動，它的周期就是兩個分振動周期的最小公倍數(shù)。如果兩個分振動的頻率比是無理數(shù)，那么它們的周期就不可能找到最小公倍數(shù)，合成振動就不會是周期性運動。2互相垂直方向上兩個簡諧振動的合成當一個質(zhì)點在同一平面上互相垂直的兩個方向同時產(chǎn)生簡諧振動時，要研究該質(zhì)點的綜合運動形式，就要將這兩個簡諧振動合成起來。設(shè)該質(zhì)點在x和y這兩個互相垂直的方向上所作的簡諧振動用下式表示：（1.13）將上式展開，并進行消去參數(shù)t的運算，得出x和y的函數(shù)關(guān)系如下：（1.14）上式一般表示一個斜的橢圓，但隨著相角的差與振幅

14、的不同，可以退化為直線或正圓。例如， 當時，（1.14）式變成： 當時，（1.14）式變成： 當時，（1.14）式變成：（橢圓） 若A1=A2，則質(zhì)點軌跡就是一個正圓。當兩個方向上的振動頻率1與2不同時，質(zhì)點的振動軌跡就極為復(fù)雜，這些軌跡統(tǒng)稱為李沙如圖（Lissajows figure）。在振動試驗中可得x，y方向上的兩個振動信號分別輸送到陰極示波器的x、y軸，在熒光屏上就會得到這兩個互相垂直的簡諧振動合成的圖形李沙如圖。和同方向簡諧振動合成一樣，只有當1和2的比例是有理數(shù)時，所得到的李沙如圖才是封閉的。在振動試驗中可以利用李沙如圖來判斷x，y方向的頻率比，即根據(jù)李沙如圖與水平線及垂直線切點的

15、個數(shù)之比，來判斷兩個方向上分振動的頻率比。在圖1.12（a）中，水平方向有2個切點，垂直方向有3個切點，故兩個方向上分振動的頻率比就是切點數(shù)的反比。這就是說，水平方向與垂直方向的頻率比是3：2。而在圖1.12（b）中，水平方向的頻率是垂直方向頻率的1/2。因此，若一個方向上的頻率已知，則另一個方向的頻率就可根據(jù)李沙如圖推算出來。1-3 非簡諧周期振動的諧波分析在研究機械振動時，常會遇到某些參量的變化具有周期性，但又不是簡單的簡諧運動，即是一種非簡諧的周期運動，其振幅、速度和加速度都不一定是簡諧的。此外，在激振時，激振力也往往不是簡諧的，有時就要用脈沖方波或三角波來激振。對于這些非簡諧的周期運動

16、，常常需要將它分解成一系列簡諧振動的疊加，這就需要應(yīng)用富里哀級數(shù)的理論。諧波分析（havmonic analysis）把一個周期函數(shù)展開成一個富里哀級數(shù)，亦即展開成一系列簡諧函數(shù)之和。設(shè)有一個周期振動函數(shù)F（t），它的周期為T，展開成富里哀級數(shù)為：（1.15）式中：，稱為基頻（fundamentel frequency）兩個頻率相同的簡諧振動可以合成為一個簡諧振動，即：式中，（1.15）式可寫成（1.16）上式中，第一項是常數(shù)，對振動沒有影響；第二項的頻率與非簡諧周期振動的原頻率1相同，稱為基本和諧（第一和諧）頻率等于原函數(shù)頻率兩倍的第三項稱為第二和諧；頻率等于原函數(shù)頻率n倍的第n+1項稱為第

17、n和諧。為了使諧波分析形象化，可以把An和n與之間的變化關(guān)系用圖形來表示，如圖1.13所示。圖1.13 離散頻譜圖周期振動的頻譜均為離散頻譜。頻譜圖上每一根豎線代表一個諧波分量。例如，某一個非簡諧周期振動：可以分解為兩個簡諧振動的疊加，其時間歷程如圖1.14（a）所示，圖為這一周期振動只有兩個諧波分量，故其頻譜圖上只有兩條豎線。圖1.14 非簡諧周期振動及其頻譜圖三角波與脈沖方波是振動研究中常遇到的周期波形，現(xiàn)分別對他們進行諧波分析。例1 已知一個三角波的函數(shù)表達式為：試將F（t）在區(qū)間展開為富里哀級數(shù)。圖1.15 三角波當n是奇數(shù)時，當n是偶數(shù)時，例2 已知一個脈沖方波的函數(shù)表達式為：試將F

18、（t）在區(qū)間展開為富里哀級數(shù)。當n是奇數(shù)時，當n是偶數(shù)時，若在上式中只取一次諧波與方波波形比較，兩者有些接近，但仍然差別較大。若取一次諧波與二次諧波疊加，再與方波波形相比較，就比只取一次諧波接近多了。所以只要疊加的諧波次數(shù)取得較多，富里哀級數(shù)與原來的周期函數(shù)就十分接近了。富里哀級數(shù)雖是無窮級數(shù)，但在實際工程問題中，n不必取得很大。可根據(jù)分析精度的要求適當選取n值，一般認為取到n=5已經(jīng)相當準確了。1-4 非周期振動的頻譜分析非周期振動：描寫機械振動量隨時間變化的曲線是非周期的。在工程實際中，最常見的非周期振動是沖擊與暫態(tài)振動。例如，飛機著陸，地震，爆炸，車輛或船舶之間的碰撞、落錘與砧基的碰撞等

19、，它們的共同特點是過程突然發(fā)生，持續(xù)時間短暫，能量卻很大。在研究沖擊作用于機械動力系統(tǒng)所產(chǎn)生的影響時，僅僅有沖擊隨時間變化曲線還遠遠不夠。為了進一步分析，頻譜分析法仍是十分有效的方法。非周期振動的頻譜分析法與周期振動頻譜分析法基本思想類似，不同之點是周期振動的頻譜分析法是基于付里葉級數(shù)展開，而非周期振動的頻譜分析法則基于付里葉積分法統(tǒng)稱為什里葉變換，它是把一個時間域的振動信號轉(zhuǎn)變到頻率域的函數(shù)。付里葉積分：如果一個沖擊信號為為持續(xù)時間，則它的付里葉積分（頻譜）有式中f為頻率變量。是頻率f的復(fù)函數(shù)，把轉(zhuǎn)化成模|與相位角(f)的形式，則有其中|與(f)都是f的實函數(shù)。把|繪成隨頻率變化的曲線，稱為

20、幅頻譜曲線，把(f)繪成隨頻率變化的曲線，稱為相頻譜曲線。沖擊信號的付里葉頻譜與周期振動的付里葉頻譜在物理概念上的區(qū)別：沖擊信號的付里葉頻譜是沖擊信號的譜密度函數(shù)，它是單位頻率上的振動量大?。ㄓ行е担?。沖擊信號的付里葉頻譜是離散的直線條，而且它只在等間隔頻率處出現(xiàn)。沖擊信號在某頻率上的頻譜密度值愈大，那么它在此頻率上的能量也愈大。下面例舉幾種典型沖擊函數(shù)頻譜圖。例1 矩型沖擊信號，它的數(shù)學(xué)表示式為解：它的頻譜函數(shù)為例2 半正弦沖擊信號，它的數(shù)學(xué)表示式為解：它的頻譜函數(shù)為分部積分兩次可得，在振動測量中，頻譜分析法的用途： 知道被測量的振動信號的頻譜含量； 選擇測量方法和儀器的依據(jù)； 分析機械動力系統(tǒng)振動特性的有效工具； 根據(jù)系統(tǒng)的振動信號的頻譜，可判斷振動之各種來源及系統(tǒng)的動力學(xué)特征。 幫助我們確定隔振系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)及對隔振效果進行檢查分析。1-5 隨機振動的統(tǒng)計分析法隨機振動