線性代數(shù)綜合練習(xí)題

1、.線性代數(shù)綜合練習(xí)題時(shí)間：120分鐘一、選擇題（每小題3分，共15分）:1設(shè)a是三階矩陣，將a的第一列與第二列交換得b，再把b的第二列加到第三列得c，則滿(mǎn)足aq=c的可逆矩陣q為（ ）。（a）； （b）；（c）； （d）。 2設(shè)a、b為滿(mǎn)足ab=0的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有（ ）。（a）a的列向量組線性相關(guān)，b的行向量組線性相關(guān)；（b）a的列向量組線性相關(guān)，b的列向量組線性相關(guān)；（c）a的行向量組線性相關(guān)，b的行向量組線性相關(guān)；（d）a的行向量組線性相關(guān)，b的列向量組線性相關(guān)。3下列向量集按rn的加法和數(shù)乘構(gòu)成r上一個(gè)線性空間的是（ ）。（a）rn中，坐標(biāo)滿(mǎn)足x1+x2+xn=0的所有向量；（

2、b）rn中，坐標(biāo)是整數(shù)的所有向量；（c）rn中，坐標(biāo)滿(mǎn)足x1+x2+xn=1的所有向量；（d）rn中，坐標(biāo)滿(mǎn)足x1=1，x2， xn可取任意實(shí)數(shù)的所有向量。4設(shè)=2是非奇異矩陣a的一個(gè)特征值，則矩陣（a2）-1有一個(gè)特征值等于（ ）。（a）； （b）； （c）； （d）。 5任一個(gè)n階矩陣，都存在對(duì)角矩陣與它（ ）。（a）合同； （b）相似； （c）等價(jià)； （d）以上都不對(duì)。二、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)矩陣a=，矩陣b滿(mǎn)足：aba*=2ba*+e，其中a*為a的伴隨矩陣，e是三階單位矩陣，則|b|= 。2已知線性方程組無(wú)解，則= 。精品.3若a=為正交矩陣，則= ，= 。4設(shè)a為n階

3、矩陣，且|a|0，a*為a的伴隨矩陣，e為n階單位矩陣。若a有特征值，則（a*）2+e必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，則t的取值范圍是 。三、（15分）設(shè)有齊次線性方程組： 試問(wèn)取何值時(shí)，該方程組有非零解？并用一基礎(chǔ)解系表示出全部的解。四、（10分）設(shè)r3的兩組基為：和，向量=（2，3，3）t（1）求基到基的過(guò)渡矩陣；（2）求關(guān)于這兩組基的坐標(biāo)。五、（15分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣a的特征值為1 = -2，2 = 1（2重），1=（1，1，1）t是屬于1 = -2的特征向量。試求：（1）屬于2 = 1（2重）的特征向量；（2）a的伴隨矩

4、陣a*。六、（10分）設(shè)二次型通過(guò)正交變換化為：，求、。七、（10分）已知a ，b為n階可逆方陣，且滿(mǎn)足2a-1b=b-4e，其中e是n階單位矩陣，試證：a-2e可逆。并求出（a-2e）-1=？精品.八、（10分）設(shè)為階矩陣，且，其中是中元素的代數(shù)余子式（=1，2，n）。試證：的伴隨矩陣*的特征值是0和1，并說(shuō)明各個(gè)特征值的重?cái)?shù)。精品.線性代數(shù)綜合練習(xí)參考答案一、選擇題：1（d）；2（a）；3（a）；4（b）；5c）；二、填空題： 1；2-1；3 ，；4；5-三、解：a=（1）當(dāng)=0時(shí)，r(a)=14，故齊次線性方程組有非零解，其同解方程組為：x1+x2+x3+ x4=0由此得一基礎(chǔ)解系為：，

5、 故全部解為： （其中為任意常數(shù)）（7分）（2）當(dāng)0時(shí)，當(dāng)=-10時(shí)，r（a）=34，故齊次線性方程組也有非零解，其同解方程組為：，解之，可得一個(gè)基礎(chǔ)解系為：y=（1，2，3，4）t，故全部解為：x=ky（其中k為任意常數(shù)）（15分）備注：此題也可另解|a|=（+10）3當(dāng)|a|=0時(shí)，即=0或=-10時(shí)，齊次線性方程組有無(wú)窮解。精品.四、解：（1）記b=（）=，c=（）=則有： 從而，由基到基的過(guò)渡矩陣為：a=b-1c=（5分）（2）設(shè)關(guān)于基的坐標(biāo)為（）即：由此可得：，解之得：，故關(guān)于基的坐標(biāo)為（0，1，1），又=即關(guān)于基的坐標(biāo)為（1，1，2）（10分）五、解：（1）設(shè)a的屬于特征值2=1（

6、2重）的特征向量為（x1，x2，x3）t，則a是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，精品.（x1，x2，x3）t與1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）t3=（-1，0，1）ta的屬于2=1的全部特征向量為：k12+ k23（k1，k2不同時(shí)為0）（5分）（2） a*=|a|a-1a*的特征值為：|a|（-），|a|1（2重） 又|a|=-2 a*的特征值為：1，-2（2重）（10分）a*（1，2，3）=（1，2，3）a*=（1，2，3）（1，2，3）-1=精品.=（15分）六、解：f的正交變換前后的矩陣分別為： 和于是，a、b相似，從而有相同的特征多項(xiàng)式即：|e-a|=|e-b|（5分）也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比較上式等號(hào)兩邊的各冪次項(xiàng)系數(shù)有：（10分）七、證明：2a-1b=b-4e左乘a，得：2b=ab-4a（5分）即：ab-2b-4a=0（a-2e）（b-4e）=8e故a-2e可逆，且（a-2e）-1=（b-4e）（10分）精品.八、證明：r（a）=n-1 r（a*）=1（2分）又齊次線性方程組（0e-a*）x=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，0是a*的特征值，其