轉(zhuǎn)換與化歸思想

1、淺談轉(zhuǎn)換與化歸思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的一種基本卻很重要的思想。深究起來(lái)，轉(zhuǎn)化兩字中包含著截然不同的兩種思想，即轉(zhuǎn)換和化歸。這兩者其實(shí)表達(dá)了不同的思想方法，可以說(shuō)是思維方式與操作方法的區(qū)別。一、 轉(zhuǎn)換思想（1）轉(zhuǎn)換思想的內(nèi)涵轉(zhuǎn)換思想是指解決問(wèn)題時(shí)策略、方法、指導(dǎo)思想的跳躍性變化，能跳出現(xiàn)有領(lǐng)域的局限，聯(lián)系相關(guān)領(lǐng)域，并用相關(guān)領(lǐng)域的思維方式來(lái)解決現(xiàn)有領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題。要做到這一點(diǎn)，對(duì)思維能力的要求相對(duì)更高，必須對(duì)各個(gè)領(lǐng)域分別都有透徹的了解，更必須對(duì)各領(lǐng)域之間的聯(lián)系有較多的研究，在關(guān)鍵時(shí)刻才能隨心所欲地運(yùn)用。 （2）轉(zhuǎn)換思想在同一學(xué)科中的應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想可以是在同一學(xué)科的不同知識(shí)模塊之間的變換，在解決問(wèn)題時(shí)改變

2、解題方向。象數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)與式的互相轉(zhuǎn)換、數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)換、文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)換。比如，函數(shù)、方程、不等式是代數(shù)中的三大重要問(wèn)題，而它們之間完全可以用三個(gè)知識(shí)模塊的不同方法解決其他模塊的各類問(wèn)題。不等式恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換到用函數(shù)圖象解決，或者是二次方程根的分布，也可以轉(zhuǎn)換到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。再比如，數(shù)列問(wèn)題用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)解釋，那更是我們數(shù)學(xué)課堂中一再?gòu)?qiáng)調(diào)的問(wèn)題了。看這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：，求證：。分析 這是一個(gè)純粹的代數(shù)證明問(wèn)題，條件的變形是比較艱難的，所以希望把條件變形從而得到結(jié)論這條思路也有點(diǎn)令人望而生畏。再仔細(xì)觀察本題的條件、結(jié)論中所出現(xiàn)的形式，稍加聯(lián)系，我們完全可以想到：、

3、這些特殊形式在另一知識(shí)模塊三角函數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)，它們呈現(xiàn)出完全類似的規(guī)律性。解答由題意、，則可設(shè)， 即為 化簡(jiǎn)得 所以， 則 小結(jié) 本題的解決了是發(fā)現(xiàn)了不同知識(shí)模塊中的類似規(guī)律，加以利用得到新的思路，本題的題設(shè)和結(jié)論中都沒(méi)有出現(xiàn)三角函數(shù)的形式，最終卻必須引進(jìn)三角函數(shù)加以解決，思維已經(jīng)具有跳躍性，對(duì)一般學(xué)生來(lái)說(shuō)解決起來(lái)還是比較棘手的。轉(zhuǎn)換思想對(duì)思維要求確實(shí)很高，但這一點(diǎn)還是能夠做到的。因?yàn)楦鲗W(xué)科都有對(duì)知識(shí)模塊的介紹，同時(shí)也有對(duì)各知識(shí)模塊之間橫向縱向的對(duì)比聯(lián)系的研究。典型的例子就是數(shù)與形之間的思維轉(zhuǎn)換，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)在初中老師的指導(dǎo)下對(duì)代數(shù)與幾何分別有了研究，高中時(shí)不但分別進(jìn)行了深化，更把兩門學(xué)科合而

4、為一，更多地注重兩者之間的對(duì)比聯(lián)系的研究。高中的平面解析幾何的實(shí)質(zhì)就是用“解析法”即“代數(shù)的方法”解決幾何問(wèn)題，已經(jīng)體現(xiàn)了幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)換，比如介紹某些代數(shù)形式的幾何表示（絕對(duì)值、不等式、方程的幾何意義），引入幾何圖形中圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線）的方程，都是為培養(yǎng)思維在數(shù)與形之間的跳躍作了準(zhǔn)備。再比如物理學(xué)科中有“電場(chǎng)”與“磁場(chǎng)”的分別研究，也有對(duì)“電磁場(chǎng)”的綜合研究。所以學(xué)生在同學(xué)科內(nèi)部的思維轉(zhuǎn)換應(yīng)該能夠做到游刃有余。（3）轉(zhuǎn)換思想在不同學(xué)科中的應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想也可以是在同一學(xué)習(xí)領(lǐng)域的不同學(xué)科之間進(jìn)行跳躍性變換，解決問(wèn)題時(shí)采用不同的思維方式。比如解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以在代數(shù)與幾何之間的互相轉(zhuǎn)換，

5、另外，物理中的行程問(wèn)題、化學(xué)中的濃度問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換到數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。化學(xué)中典型的濃度問(wèn)題：克糖溶于水中形成克糖水，其濃度為；若加入克溶質(zhì)糖，雖然溶質(zhì)溶液的質(zhì)量同時(shí)增加，但可以得到加糖后的濃度必然要大于原來(lái)溶液的濃度。這個(gè)結(jié)論完全可以由數(shù)學(xué)學(xué)科中不等式部分的知識(shí)加以證明：根據(jù)實(shí)際情況：， ，因?yàn)?， ，所以即同樣，物理中的勻加速運(yùn)動(dòng)：物體初始速度為米/秒，加速度為米/秒2，則經(jīng)過(guò)秒后的即時(shí)速度為。這公式稍加變形就是數(shù)學(xué)中的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，它是一次函數(shù)，圖象為一條直線，當(dāng)時(shí)，它是二次函數(shù)，圖象為一條拋物線，完全可以脫離物理，用研究函數(shù)的方法來(lái)研究物體的即時(shí)速度什么時(shí)刻最大，是怎樣變化的?？梢哉f(shuō)，轉(zhuǎn)換思

6、想最重要的作用應(yīng)該就是在不同學(xué)科之間的跳躍性思維，這也是目前高中學(xué)生比較薄弱的環(huán)節(jié)，比如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，雖然學(xué)生們分別學(xué)習(xí)了三門學(xué)科，但對(duì)它們的聯(lián)系卻缺少研究，所以學(xué)科滲透類問(wèn)題都是比較令學(xué)生頭疼的，也是應(yīng)用題總顯得那么高深莫測(cè)的原因，更使理論與實(shí)際應(yīng)用脫離，學(xué)不能致用。由此，高中新課程改革中把課程整合放在了很重要的地位。二、 化歸思想 （1）化歸思想的內(nèi)涵化歸思想相對(duì)轉(zhuǎn)換來(lái)說(shuō)，是在解決問(wèn)題時(shí)改變問(wèn)題的形式，用一些技巧性的處理方法和手段把問(wèn)題變得更顯化明了、更熟悉常見、更和諧統(tǒng)一，但并沒(méi)有改變問(wèn)題所屬的領(lǐng)域?；瘹w思想包括三要素：化歸的對(duì)象、化歸的原則、化歸的方法。所以掌握化歸思想必須：抓住化

7、歸的對(duì)象也就是當(dāng)前需要解決的問(wèn)題；化歸時(shí)應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化、熟悉化、和諧化的基本原則；中學(xué)常用的化歸方法有恒等變換法：包括分解法、配方法、代定系數(shù)法等；映射反演法：包括換元法、對(duì)數(shù)法、坐標(biāo)法、仿射法等。（2）實(shí)施化歸的關(guān)鍵為了有效地實(shí)施化歸，我們首先必須實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的“規(guī)范化”，即掌握一些“常規(guī)性問(wèn)題”。 這里“常規(guī)性問(wèn)題”就是指我們課堂上所說(shuō)的具有確定的解題方法和解題程序的問(wèn)題，或者可以說(shuō)是模式型問(wèn)題。然后再把其他問(wèn)題“規(guī)范化”，一般我們采用的化歸方向是：化未知為已知、化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化一般為特殊、化抽象為具體、正難則化反、化新知識(shí)到舊知識(shí)、化不熟悉到熟悉等等。1在三角函數(shù)中，對(duì)于角有六個(gè)三角函數(shù)

8、、。但我們研究其中眾多的公式時(shí)并不需要同時(shí)研究六個(gè)，只需要研究、三個(gè)就可以，其余三個(gè)可以利用它們之間的倒數(shù)關(guān)系進(jìn)行化歸；在解題時(shí)的“切割化弦”思想也是把后四個(gè)函數(shù)都化為、來(lái)解決。2在立體幾何中，點(diǎn)、線、面之間的復(fù)雜關(guān)系是讓人很頭疼的 ，我們也采用了化歸的思想使得需要考慮的問(wèn)題更少更簡(jiǎn)單。下面是立體幾何中常用幾種的化歸方法。方法一：位置關(guān)系互化。正方體 ABCD-A1B1C1D1是我們研究的典型空間圖形之一，它內(nèi)部各種面對(duì)角線、體對(duì)角線與各表面、對(duì)角面形成的線線距離、線面距離、面面距離我們都作了深入研究，所以涉及到正方體中的各種距離問(wèn)題我們就盡量向上述距離問(wèn)題化歸。方法二：化高維到低維。例：如右

9、圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，BCA=900，點(diǎn)D1、F1分別是棱A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求異面直線BD1與AF1所成的角。分析本題中的直線BD1與AF1是三維空間內(nèi)的異面直線，常用的化歸方法就是把直線經(jīng)過(guò)平移變?yōu)槎S空間內(nèi)兩條相交直線，即在平面內(nèi)求兩直線所成角。作法：如右圖，沿平面BCB1C1補(bǔ)出一個(gè)與ABC-A1B1C1完全全等的圖形，最終構(gòu)成一個(gè)正方體ABCE-A1B1C1E1，取B1E1的中點(diǎn)G1，連接BG1，則AF1BG1。所以，異面直線BD1與AF1所成的角即為平面BD1G1內(nèi)兩條相交直線BD1與BG1所成角D1BG1，然后在D1BG1中求此角。這是把三維空間內(nèi)的問(wèn)題降維化歸到二維平面內(nèi)的問(wèn)題來(lái)解決，是立體幾何中常用的化歸思想。當(dāng)然，我們既然總是說(shuō)“轉(zhuǎn)化”，那就意味著轉(zhuǎn)換與化歸在本質(zhì)區(qū)別的同時(shí)也是緊密聯(lián)系的，既有宏觀上學(xué)科之間的轉(zhuǎn)化，也