幾何計算型綜合中考數學二輪考點復習專題

1、專題八 幾何計算型綜合問題按住ctrl鍵 點擊查看更多中考數學資源【考點透視】幾何計算型綜合問題，是以計算為主線的綜合各種幾何知識的問題.在近年全國各地中考試卷中占有相當的分量.這類問題的主要特點是包含知識點多、覆蓋面廣、邏輯關系復雜、解法靈活.考查方式偏重于考查考生分析問題、探究問題、綜合應用數學知識解決實際問題的能力，要求學生熟練掌握三角形、四邊形、三角函數、圓等幾何知識，較熟練地應用轉化思想、方程思想、分類討論思想、數形結合思想等常見的數學思想. 解題時必須在充分利用幾何圖形的性質及題設的基礎上挖掘幾何圖形中隱含的數量關系和位置關系，在復雜的“背景”下辨認、分解基本圖形，或通過添加輔助線

2、補全或構造基本圖形，并善于聯想所學知識，突破思維障礙，合理運用方程等各種數學思想才能解決. 值得注意的是近年中考幾何綜合計算的呈現形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運動型、情境型等，背景鮮活，具有實用性和創(chuàng)造性，在考查考生計算能力的同時，考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、建模能力力求引導考生將數學知識運用到實際生活中去. 【典型例題】例1.在生活中需要測量一些球（如足球、籃球）的直徑，某學校研究性學習小組，通過實驗發(fā)現下面的測量方法：如圖11-1，將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子AB，設光線AD、CB分別與球相切于點E、F，則E、F即為球的直徑若測得AB

3、的長為41.5cm，ABC=37.請你計算出球的直徑（精確到1cm）分析：本題實際上是解直角梯形ABFE中的問題，作AGCB于G，在RtABG中，求出AG即可解：作AGCB于G，AD、CB分別與圓相切于E、F，EFFG，EFEA，四邊形AGFE是矩形，AG=EF圖11-1在RtABG中，AB=41.5，ABG=37，AG=ABsinABG=41.5sin3725.球的直徑約為25cm.說明：將幾何計算題與研究性學習問題和方案設計問題有機的結合起來，是近年中考題的又一熱點這類題一般難度不太大，關鍵是考查建模能力.例2在邊長為2的菱形ABCD中，B=45，AE為BC邊上的高，將ABE沿AE所在直線

4、翻折得ABE，那么ABE與四邊形AECD重疊部分的面積是 . 分析：解答本題首先要根據題意，畫出圖形（如圖11-2）然后根據對稱性和相關幾何知識進行求解解：在RtABE中，B=45，AB=2，AE=BE= ，SABE=1圖112由翻折知：ABEABE，EB=EB=BC=BBBC=22，四邊形ABCD是菱形，CFBA BFC=BAB=90, BCF=B=45CF= SBFC=32 S陰=SABESCFB=2 2說明：圖形折疊問題的本質是全等變換, 也是近年中考題中的一個亮點這類問題的解決方法是要抓住因折疊而形成的等線段和等角，這些相等關系是解決問題的關鍵.常用代數方程求解DABCQP圖11-3例

5、3如圖113，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間（0t6），那么：當t為何值時，QAP為等腰直角三角形？求四邊形QAPC的面積；提出一個與計算結果有關的結論；當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？分析：中應由QAP為等腰直角三角形這一結論，需補充條件AQ=AP，由AQ=6t，AP=2t，可求出t的值；中四邊形QAPC是一個不規(guī)圖形，其面積可由矩形面積減去DQC與PBC的面積求出；中由于題目中未給出三角形的相似對應方式

6、，因此須分類討論.解：AP=2t，DQ=t，QA=6t，當QA=AP，即6t=2t，t=2（s）時，QAP為等腰直角三角形；SDQC=12t=6t, SPBC=6(122t)=366t, S四邊形QAPC=1266t（366t）=36（cm2），由計算結果可見：在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變；QAP=ABC=90，當時，QAPABC，解之得t=1.2（s）；當時，PAQABC，解之得t=3（s）.故當t=1.2s或3s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似.說明：本例是動態(tài)幾何題，同時也是一道探究題要求學生具有一定的發(fā)現、歸納和表達能力，這就要求我們通過計算分

7、析，抓其本質，揭示出變中不變的規(guī)律其結論也可提出：“P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變”，四邊形QAPC的面積也可由QAC與CAP的面積求出，；中考察了分類討論的數學思想，結論具有一定的開放性. 例4. 當你進入博物館的展覽廳時，你知道站何處觀賞最理想？如圖114，設墻壁上的展品最高處點P距離場面a米，最低處點Q距離場面b米，觀賞者的眼睛點E距離地面m米當過點P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角PEQ最大，站在此處觀賞最理想(1)設點E到墻壁的距離為x，求a、b、m、x的關系式；(2)當a=2.5，b=2，m=1.6時，求：和墻壁的距離為x米；視角PEQ的度數（精確到1度

8、）解：(1)水平直線HE切O于點E.HE2=QHHP又HE=x，QH=bm，PH=am，圖114x2=（am）（bm）.(2)當a=2.5，b=2，m=1.6時，由(1)中所得：x2=（2.51.6）（21.6）x=0.6點E與墻壁距離x的值為0.6米.作ODPR于D，則POQ=2POD，POQ=2PEQ，PEQ=POD.在RtPOD中，tanPOD= PEQ=23說明：將幾何計算題富于一個實際情境是中考中的一個新視點，符合新課程標準的精神，在今后的中考命題將會有很強的生命力，解這類題時，要能從實際中抽象出純數學問題，然后利用相關知識解決問題.復習中應注意對常規(guī)題進行演變，有對針性訓練.DEC

9、AOFB圖11-5例5.如圖11-5,方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF=4求：(1)cosF的值；(2)BE的長分析：(1)要求cosF的值，就要把F“放”到直角三角形中，由于DF是半圓切線，只要連結OF即可，然后利用相似三角形與切割線定理，求出OF、EF；(2)利用勾股定理和相似三角形即可求得解：(1)連結OE.DF切半圓于E，OEF=90，在正方形ABCD中，AB=AD，DAF=90，OEF=DAF.又F為公共角，OEFDAF.即AF=2EF. DF切半圓O于E，EF2=FBFA=BF2EF，EF=2BF=8，AF=2E

10、F=16.AB=AFBF=12，FO=AB+BF=12+4=10.在RtOEF中，cosF=.(2)連結AE，DF切半圓于E，EAF=BEF.F=F，BEFEAF.設BE=k(k0)，則AE=2k，AB為半圓O的直徑，AEB=90. 在RtAEB中，AE2+BE2=AB2，（2k）2+k2=122,BE=k=.說明：在相似形、圓等問題中滲透三角形函數知識、方程知識，圍繞有關相似比、面積之比來命題是近年中考題命題又一新特點解這類題要善于把三角函數的值與線段比相互轉化，并能設參數來表示有關線段，運用勾股定理或相似三角形的有關比例式來解決O2O1圖11-6例6已知：如圖11-6與O2相交于A、B兩點

11、，O1在O2上，O2的弦BC切O1與B，延長BO1、CA交于點P，PB與O1交于點D求證：AC是O1的切線；如果PD=1，O1的半徑為2，求BC的長分析：由于AC與O1有共公點A，只要證ACAO1即可欲證ADO1C，借公共弦這一“橋梁”證ACO1=PAD，根據圖形借助切割線及其推論或三角形相似，通過線段比來解決.解：連結AO1，BC是O1的切線，O1BC=90,四邊形AO1BC是O2的內接四邊形，O1BC+O1AC=180.O1AC=90，AC是O1的切線連結AB,PC切O1于點A, PAD=ABP, 又ACO1=ABO1 ,PAD=ACO1ADO1CPC是O1的切線，PB是O1的割線，PA2

12、=PDPB PD=1，PB=5，PA= AC、BC分別切O1于A、B O1BBC，O1APC PBC=PAO1=90又P=P PBCPAO1 BC=說明：解幾何計算綜合題要善于把復雜的幾何圖形“分解”為若干個基本圖形，并綜合這些基本圖形的性質及圖形中元素的內在聯系去思考，則能快速找到解題途徑如本題若把原圖分解為下列兩個圖形，則的解題思路一目了然圖圖例7.有一長方形的餐廳，長10m，寬7m，現只擺放兩套同樣大小的圓桌和椅子，一套圓桌和椅子占據的地面部分可看成半徑為1.5m的圓形（如圖1171所示）.在保證通道最狹窄處的寬度不小于0.5m的前提下，問此餐廳內能否擺下三套或四套同樣大小的圓桌和椅子呢

13、？請在擺放三套或四套的兩種方案中選取一種，在右下方1420方格紙內畫出設計示意圖.（提示：畫出的圓應符合比例要求；為了保證示意圖的清晰，請你在有把握后才將設計方案正式畫在方格紙上）圖1171圖1172分析：這是一道方案設計問題，圖11-7-2中每一正方形小格寬度均表示0.5m，餐廳內能否擺下三套或四套同樣大小的圓桌和椅子，就看能否在圖11-7-2中畫出三個或四個半徑為三格寬的圓，并使圓與圓之間、圓與方格紙外邊框之間的間距不少于一格，我們可以按畫三個圓、畫四個圓分別計算.解：此餐廳內能擺下三套和四套同樣大小的圓桌和椅子.擺放三套與四套的設計方案參考圖1173、圖1174，只要滿足如下條件： 每個

14、圓的半徑為1.5cm； 每個圓的圓心到方格紙外邊框的距離不小于2cm； 任意兩圓的圓心距不小于3.5cm.圖1173圖1174說明：對于一道運用幾何計算進行探索的綜合型問題，要注意相關的條件,可以先假設結論成立，然后通過計算求相應的值，再作存在性的判斷.該試題是在考生容易想象的情境中考查學生用數學的能力，源于生活，打破常規(guī)，重視學生探究問題的能力的培養(yǎng)和動手操作意識的形成，這是今后中考試題的一個方向.ABC圖118【習題11】如圖11-8，在ABC中,已知BC=6,C=600,sinA=0.8,求AB和AC的長.(結果保留根號)圖119如圖11-9，掛著“慶祝鳳凰廣場竣工”條幅的氫氣球升在廣場

15、上空，已知氣球的直徑為4m，在地面A點測得氣球中心O的仰角OAD=60，測得氣球的視角BAC=2（AB、AC為O的切線，B、C為切點）則氣球中心O離地面的高度OD為（ ）。（精確到1m，參考數據sin1=0.0178， =1.732）A 94m B 95m C 99m D 105mABCPQ圖11103.如圖11-10,RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合）.如圖，當PQAC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ長的取值范圍；若不可能

16、，請說明理由. DFCABE圖1111.如圖1111，將矩形ABCD（ABAD）沿BD折疊后，點C落在點E處，且BE交AD于點F.若AB=4，BC=8，求DF的長；若DA平分EDB，求的值.已知：如圖11-12，ABC內接于O1，以AC為直徑的O2交BC于D，AE切O1于點A，交O2于點E.連AD、CE，若AC=7，AD=3.圖1112DECABO2O1求：BC的長；CE的長.ABCOEDM6.已知：如圖1113，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交O于點E，且EMMC，連結DE，DE=.求EM的長；求sinEOB的值.7.如圖1114，如圖，BD是O的直徑，

17、E是O上的一點，直線AE交BD的延長線于點A，BCAE于C，且CBEDBE。（1）求證：AC是O的切線；（2）若O的半徑為2，AE，求DE的長。圖1114 8.如圖11-15，正三角形ABC的邊長為6cm,O的半徑為rcm，當圓心O從點A出發(fā)，沿著線路ABBCCA運動，回到點A時，O隨著點O的運動而移動.若r=cm,求O首次與BC邊相切時，AO的長；在O移動過程中，從切點的個數來考慮，相切有幾種不同的情況？寫出不同情況下r的取值范圍及相應的切點的個數；設O在整個移動過程中，在ABC內部，O未經過的部分面積為S，在S0時，求關于r的函數解析式，并寫出自變量r的取值范圍.A(O)OBC圖11-15

18、ABCED9.如圖11-16,已知A、B都經過點C，BC是A的切線，B交AB于點D，連結CD并延長交A于點E，連結AE.(1)求證:AEAB;(2)求證:;(3)如果,AE=3,求BC的長. 圖1116答案部分：【習題11】 過B點作ABC的高BD,則在RtBCD中，CD=BC=3,BD=,在RtABD中,AB=,AD=,從而，AC=AD+CD=3+說明：遇到600、sinA應聯想到解直角三角形，為了保證600 、sinA的方便使用，應考慮由B點向AC作高；本題主要應用了銳角三角函數和勾股定理 C3.在RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90，AB=13，Q為BC的中點，CQ=QB.又

19、PQAC，AP=PB.即P是AB的中點.在RtABC中，CP=.當PQ與AC不平行時，只有當CPQ=90時，CPQ才可能為直角三角形，以CQ為直徑作半圓D，當半圓D與AB相切時，設切點為M，連結DM，則DMAB，且AC=AM=5，MB=ABAM=135=8.設CD=x，則DM=x，DB=12x，在RtDMB中，DB2=DM2+MB2，即（12x）2=x2+82，解得x=.CQ=2x=.即當CQ=，點P運動到切點M位置時，CPQ為直角三角形.當CQ12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，CPQ為直角三角形.當0CQ時，半圓D與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在

20、半圓D外，0CPQ90，此時CPQ不可能為直角三角形.綜上可知，當CQ12時，CPQ可能為直角三角形.4.在矩形ABCD中，ADBC，DBC=BDA，而DBC=DBE，DBE=BDA，因此BF=DF，設BF=DF=x，則AF=EF=8x，在RtAFB中，42+(8x)2=x2，解得x=5，即DF的長為5；若DA平分EDB，則BDC=BDE=2ADB，而BDC+ADB=90，ADB=30，=tan30=. 5.(1)AC是O2的直徑，ADC=90，由AC=7，AD=3得DC=，在RtADB中，tanB=,BD=6,BC=BD+DC=8；(2)AC是O2的直徑，AEC=90，又AE切O1于點A，EAC=ABC,因此RtAECRtBDA, ，在RtADB中，AB=，CE=.6.DC為O的直徑，DEC=90，EC=OA=OB=4，M為OB的中點，AM=6，BM=2.設EM=x，則CM=7x，由AMMB=EMMC得，62=x（7x）,解得x1=3，x2=4.但EMMC，EM=4.由知，EO=EM，作EFOB于F，則OF=MF=OB=1，在RtEOF中，EF=sinEOB=.7.（1）證明：連結OE，在OEB中，OE=OB，OEB=OBE 而CBE=DBE=OBEOEB=CBE，又， 點在O上，是O的切線. （2）切O于，而，代入上式得： ， 解