汽車(chē)過(guò)拱橋問(wèn)題的探討

1、4汽車(chē)過(guò)拱橋問(wèn)題的探討江西省婺源縣紫陽(yáng)中學(xué) 汪竹新（333200）摘要：拱橋模型與繩模型有著本質(zhì)的區(qū)別，最高點(diǎn)并不是汽車(chē)飛離橋面的臨界點(diǎn)。本文通過(guò)對(duì)例題的分析，探討解決以下幾個(gè)問(wèn)題：1.汽車(chē)過(guò)拱橋在那個(gè)點(diǎn)最有可能脫離橋面；2.汽車(chē)沿不同的光滑拱橋面上滑，并不是總能滑到橋頂?shù)模?.汽車(chē)沿怎樣的光滑拱橋面才能滑到橋頂。4. 當(dāng)光滑拱橋面不滿足條件時(shí)，汽車(chē)怎樣才能到達(dá)橋頂。關(guān)鍵詞：汽車(chē)、拱橋、安全、離心運(yùn)動(dòng)、最大允許速率、圓心角。物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，一般分為三種模型：繩模型對(duì)物體只提供指向圓心的拉力；拱橋模型對(duì)物體只提供背離圓心的支持力；桿模型對(duì)物體既可以提供指向圓心的拉力也可以提供背離圓心

2、的支持力。一般都認(rèn)為拱橋模型與繩模型相似：過(guò)拱橋最高點(diǎn)時(shí)，向心加速度方向向下，重力與支持力的合力提供向心力，有mg-FN=mv2/r。速度增大，支持力FN減小，當(dāng)FN=0時(shí)允許過(guò)拱橋的速度最大， 即。若速度超過(guò)，就出現(xiàn)了離心現(xiàn)象，脫離地面做平拋運(yùn)動(dòng)。大量的復(fù)習(xí)資料上出現(xiàn)的拱橋或類拱橋模型題目，都是通過(guò)上述分析得到的，甚至形成了定式物體沿內(nèi)圓弧通過(guò)的速度；物體沿外圓弧通過(guò)的速度。然而，對(duì)拱橋模型的上述分析與解法是錯(cuò)誤的。拱橋模型與繩模型有著本質(zhì)的區(qū)別，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)進(jìn)行分析。一、汽車(chē)勻速率過(guò)拱橋例1如圖，汽車(chē)勻速率行駛過(guò)拱橋，拱橋是半徑為r的圓的三分之一弧，直線部分與圓弧的連接是平滑的，求汽車(chē)能

3、允許的最大速率是多少？錯(cuò)解：汽車(chē)過(guò)拱橋做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，受重力mg和支持力FN的作用，合力提供向心力：mg-FN=mv2/r。當(dāng)FN=0時(shí)，。即：汽車(chē)勻速率行駛最大允許的速率為。錯(cuò)解分析：讓我們考察一下汽車(chē)剛上拱橋時(shí)的情況，汽車(chē)受重力mg和支持力FN的作用，沿半徑方向的合力提供向心力：mgcos-FN=mv2/r。將=60o，代入上式，解得：FN= -0.5mg0。FN0說(shuō)明汽車(chē)在該處做離心運(yùn)動(dòng)而飛離拱橋，汽車(chē)不能安全通過(guò)拱橋。錯(cuò)誤的原因在于想當(dāng)然地認(rèn)為，汽車(chē)能允許的最大速率在通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)值最小，或者說(shuō)汽車(chē)能通過(guò)最高點(diǎn)就一定能通過(guò)整個(gè)拱橋。正確解答：設(shè)汽車(chē)勻速率通過(guò)某一點(diǎn)時(shí)，它與圓心

4、的連線跟豎直線的夾角為，汽車(chē)受重力mg和支持力FN的作用，如圖所示。沿半徑方向的合力提供向心力：即：mgcos-FN=mv2/r解得：FN=mgcos- mv2/r。上式表明：汽車(chē)勻速率行駛（即v一定）時(shí)，越大，F(xiàn)N越小。這就是說(shuō)角度越大的地方，汽車(chē)越容易脫離軌道做離心運(yùn)動(dòng)，汽車(chē)能允許通過(guò)的最大速率值越小。換句話說(shuō)就是汽車(chē)勻速率行駛剛上拱橋或剛下拱橋時(shí)最危險(xiǎn)。當(dāng)取最大值=600時(shí)，令FN=0，代入FN=mgcos- mv2/r。解得：。汽車(chē)能安全通過(guò)拱橋的最大允許速率為。二、汽車(chē)變速過(guò)拱橋例2汽車(chē)以速率v在平直公路上行駛，至拱橋前突然熄火，以初速度v沖上拱橋，拱橋是半徑為R的圓的三分之一弧，直

5、線部分與圓弧的連接是平滑的，不計(jì)摩擦和空氣阻力。問(wèn)：汽車(chē)能安全滑到橋頂嗎？如果能，請(qǐng)確定汽車(chē)的初速度至少多大？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。錯(cuò)解：設(shè)汽車(chē)的初速度為v，到達(dá)橋頂時(shí)的最小速度為0。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：mv2/2=mg（r-rcos）將=600代入，解得：。即：汽車(chē)的初速度為時(shí)，汽車(chē)恰能滑到橋頂。汽車(chē)的初速度至少為。錯(cuò)解分析：雖然考慮了汽車(chē)能到橋頂?shù)哪芰筷P(guān)系，初速度必須滿足，但忽略了汽車(chē)的安全性（不能脫離拱橋）。當(dāng)=600時(shí)，汽車(chē)不脫離軌道，必須滿足：mgcos-FN=mv2/r。把代入上式，得：FN=mgcos- mv2/r= -0.5mg2/3，即拱橋?qū)?yīng)的圓心角不超過(guò)2（96.4o

6、），那么汽車(chē)能沿橋面滑到橋頂。當(dāng)汽車(chē)的初速度時(shí)，恰能滑到橋頂。若cos2/3，即拱橋?qū)?yīng)的圓心角超過(guò)96.4o，總有FN0，說(shuō)明汽車(chē)在剛上橋時(shí)就脫離橋面，不能安全滑到橋頂。當(dāng)cos2/3時(shí)，汽車(chē)將做斜拋運(yùn)動(dòng)，也能被拋到橋頂，設(shè)速度為v，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，有：rsin=vcost .0（1）r-rcos=vsint-gt2/2。 （2）聯(lián)合解得當(dāng)拱橋?qū)?yīng)的圓心角超過(guò)96.4o時(shí)，汽車(chē)以初速度做斜拋運(yùn)動(dòng)，恰能飛到橋頂。由此可見(jiàn)，拱橋模型與繩模型完全不同。在繩模型中，最高點(diǎn)是取臨界值的點(diǎn)，物體只要能通過(guò)最高點(diǎn)就能沿圓周運(yùn)動(dòng)，其臨界值為。而拱橋模型中的最高點(diǎn)并不是取得臨界值的點(diǎn)，物體能通過(guò)最高點(diǎn)卻不一定能沿圓周運(yùn)動(dòng)，允許的最大速度與拱橋所對(duì)的圓心角大