矩陣初等變換法解方程組教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案 矩陣第一章 引言矩陣是高等代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，在數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)仍至社會(huì)科學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用本章從解線性方程組的消元法入手，闡述矩陣的運(yùn)算，可逆矩陣，初等矩陣，以及矩陣的分 塊技巧1 消 元 法 教學(xué)目的 通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生基本掌握解線性方程組的Gauss消元法，理解矩陣在解線性方程組等實(shí)踐中的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容 在中學(xué)數(shù)學(xué)里，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二元、三元一次方程組的加減消元法，考慮其一般化，本節(jié)介紹解n元線性方程組的(Gauss)消元法 例引 例1 求下列線性方程組的解： 2x?x?3x?1?321? 4?5x4x?2x?321?2x?62x?13解 用消元法求

2、解，并采用分離系數(shù)法在右邊寫(xiě)出求解過(guò)程中所相應(yīng)的矩形數(shù)表(矩陣)： 2?13113x?2x?x?321? 44x455x?42?2x?312?x6?2x?26022?13 得)?1)2?,(?(?2x?x?3x?1?2?113?312?2?x?4x?1240 ?32?x?x?5?5110?32 對(duì)換、的位置得1?2x?x3x?2?131?212?x?x5? 5?110?32?2?014?4x?x2?32對(duì)換、的位置得 2x?x?3x?1?1132?221?5?x?x ?1501?32?102?42?xx4?32 名師精編 優(yōu)秀教案 (4)+得 2x?x?3x?1?12?13?312? ?5x?

3、x5?101?32?18?3x183?00?31得 ?312?13?12x?x?3x?312? 5?101x?x?5?32?6x?61?00?3x?6,x?1代入得最后，將代入，得；再將1x?6?x?2323因此，這個(gè)方程組的解為 6x?,x?1,x?9x?93112將例1的做法一般化，我們先來(lái)闡述 線性方程組的概念 n個(gè)未知量x,x,x的線性方程組的一般形式為 ?n12ax?ax?ax?b?11nn121112?ax?ax?ax?b?2212222n1n (1) ?ax?ax?ax?b?m2mn1nmm12aa?F,i = 1，2，m，j = 1，這里2屬于某個(gè)數(shù)域F，即，n，ijij叫做方

4、程組(1)的系數(shù)；1，2，3，m，叫做(1)的常數(shù)項(xiàng)因?F,i?biF上的線性方程組叫做數(shù)域 此，(1)由(1)得到矩形數(shù)表 aaaabaa?121n11111n121?abaaaaa?22222n22n2121 ，?AA?aaaaaab?1mm2mnmn2m1mm 增廣矩陣叫做的其中A叫做(1)系數(shù)矩陣，(1)的A000 中的未知量依次代替若用F中的一組數(shù)(1)xx,x?,xx,1n221的，使(1)的每個(gè)方程都變成恒等式，則稱這一組數(shù)為方程組(1)x?,n一個(gè)解若(1)有一個(gè)解，則稱它是一個(gè)相容方程組；否則，稱之為不相容方程組 由例1可見(jiàn)，為了求得線性方程組(1)的解，或判別它不相容，往往

5、要對(duì)(1)作如下三種變換： 1)倍法變換 用一個(gè)非零的數(shù) 個(gè)方程；i乘第F?k名師精編 優(yōu)秀教案 2)消法變換 用一個(gè)數(shù)乘第i個(gè)方程后加到第j個(gè)方程； Fc?3)互換變換 交換第i個(gè)、第j個(gè)方程的位置 這三種變換叫做線性方程組的初等變換 顯然，若對(duì)(1)作一次初等變換將它變?yōu)??a?aax?bx?x? ?1121n1n112?a?abx?axx? ?21n2212n22 ， (2) ?abxa?x?ax? ?mnm2m21mn1000則(1)的任一個(gè)解是(2)的一個(gè)解由于初等變換是可逆x,xx,?,12n的例如，若用消法變換2)將(1)變?yōu)?2)；可用數(shù)乘(2)的第iF?(?c)個(gè)方程后加到第

6、j個(gè)方程，則(2)變?yōu)?1)倍法變換、互換變換情形類000似可見(jiàn)于是，(2)的任一個(gè)解，也是(1)的解因此，(1)y?,y,y,12n與(2)有相同的解集，即(1)與(2)同解 這樣，我們得到 定理1.1.1 若線性方程組(1)經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為線性方程組(2)，則(1)與(2)有相同的解集，即它們同解 ? 3 化為階梯形 ?1由定理1.1.1，在線性方程組(1)中可不妨假設(shè).于是，用a0?a1111乘(1)的第一個(gè)方程，并分別用()乘第一個(gè)方程倍法變換后得到的a1i方程，再加到第i個(gè)方程，則得 ?x?ax?bx?a ?12n1211n?a?abxx? ?2nk2k2n ， (3) ?ax

7、?x?ab ?mkmnnkm?，并用類似的程序可將(3)化為 其中k1同上，可不妨設(shè)a?02k?x?aax?x?b? ?12n111n2?b?axx?ax?2k?1k?12nn2k?， (4) ab?xax?33n3lnl?ax?x?ab?mlmnlmnlk 其中1只要可能，我們就繼續(xù)使用上述程序但是，由于未知量個(gè)數(shù)n的 限制這樣的程序是有限的于是，繼續(xù)使用上述程序，最后得到名師精編 優(yōu)秀教案 x?cx?cx?d?111n12n2?x?cx?cx?d?k2k?1k?12nn2?x?cx?cx?d?31lnn3l?13l?， (5) ?x?cx?cx?d?sn?1sn?rsr1r0?d?1?s?

8、0?d?m其中1klr n，且可能出現(xiàn)r = m的情形 形如(5)所示的線性方程組叫做階梯形方程組，其增廣矩陣是一個(gè)階梯形矩陣 因此，我們得到 定理1.1.2 數(shù)域F上的每一個(gè)線性方程組都可以通過(guò)初等變換化為與它同解的階梯形線性方程組 ? 不難看出這樣的化簡(jiǎn)程序只須對(duì)其增廣矩陣作相應(yīng)的行的初等變換 4 線性方程組解的討論 現(xiàn)在，線性方程組(1)與(5)同解，借助于(5)我們來(lái)分析(1)的解的情況： 1)若不全為零，則(1)無(wú)解 dd,d,?ms?2s?12)若，且r = n，1，k，l，r是連續(xù)的0?dd?d?m2s?s?1自然數(shù)序列，則(1)有唯一解 3)若，且rn，或1，k，l,，r不是連

9、0d?d?d?m2s?s?1續(xù)的自然數(shù)序列，則(1)有無(wú)窮多個(gè)解這時(shí), x,x,?12?k可以取數(shù)域F上的任意數(shù)，稱它們x,x,x,?,x?,x,x,?nr?k111?1l?1rl?為自由未知量 因此，在這里說(shuō)解方程組，首先是判定方程組是否有解；若有解，進(jìn)而求出它的所有解(稱之為一般解) 例2 解線性方程組 x?3x?6x?5x?0?4123? 12x?2x?x?4x?4123?5x?x?2x?x?7?4213解 對(duì)這個(gè)方程組的增廣矩陣進(jìn)行行的初等變換： ?5?21?3?6501?3?650? 1?1220716?21421?7?2432014?115?27?名師精編 優(yōu)秀教案 501?3?6

10、? 116?12?07?50000?因此，這個(gè)線性方程組無(wú)解 例3 若例2中第3個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)“7”用“2”更換，求更換后線性方程組的解 解 這個(gè)方程組的增廣矩陣 1?3?6501?3?650?行初等變換 211716?1221?04?0000125?120?x,x為自由未知量，于是，更換后的方程組有無(wú)窮多個(gè)解，取則得方43程組的解為 36111612,其中a,bF. b,x?a?b，x?a?b,xa?x43217777772 矩陣的運(yùn)算 2.1 矩陣的實(shí)例和記號(hào) 在1中，我們已感受到矩陣在線性方程組求解時(shí)的用處，在許多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述時(shí)，也要用到矩陣，這里介紹幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子. 例1(通路矩

11、陣) a省兩個(gè)城市，和b省三個(gè)城市，bbaab13212的交通聯(lián)結(jié)情況如圖11所示，每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)這兩城市的不同通路總數(shù)由該圖提供的通路信息，可用如下矩陣C表示(稱之為 ，以便存貯、計(jì)算與利用這些信息這里通路矩陣通路矩陣) b 4 1 a 1 1b 3 2 a2 1b 32 圖11 cba間的通b省的城市，而與表示a的行表示省的城市，列表示jiji路數(shù) 工廠中常用管道聯(lián)結(jié)各種設(shè)備，也可用矩陣來(lái)表明各設(shè)備間的連通情況 例2(價(jià)格矩陣) 四種食品在三家商店中，單位量的售價(jià)(以某貨幣 可用以下矩陣給出：)單位計(jì)名師精編 優(yōu)秀教案 FFFF42132111S717?1 ，?S9191315?2

12、?S1881519?3這里的行表示商店，而列為食品，例如第2列就是第2種食品，其3個(gè)分量表示該食品在3家商店中的3個(gè)售價(jià) 涉及到兩個(gè)集合(上面分別是a省城市與b省城市，食品與商店)，且其元素間由某數(shù)(上面分別是通路數(shù)目，價(jià)格)將它們聯(lián)系，常會(huì)出現(xiàn)這樣的矩陣 例3(原子矩陣) 在復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，涉及到眾多的化學(xué)物為了定量地研究反應(yīng)、平衡等問(wèn)題，可引進(jìn)表示這種系統(tǒng)的原子矩陣?yán)缭诤铣砂鄙a(chǎn)的甲烷與水蒸氣生成合成氣的階段，系統(tǒng)內(nèi)除一些惰性氣體外，還存在以下7種化學(xué)物：，COHHCHO224，這時(shí)可寫(xiě)出原子矩陣： CHCCO622CHHOHCOCOCCH6222241001112?C? 64020

13、20?H?0101020?O例4(贏得矩陣) 一個(gè)稱為對(duì)策論或競(jìng)賽論的數(shù)學(xué)分支，是研究社會(huì)現(xiàn)象的一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)分支我國(guó)古代“齊王賽馬”的故事，就是一個(gè)對(duì)策問(wèn)題，故事說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代齊王與其大將田忌賽馬，雙方約定各出上、中、下3個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，這樣共賽馬3次，每次比賽的敗者付給勝者一百金已知在同一等級(jí)馬的比賽中，齊王之馬可穩(wěn)操勝券，但田忌的上、中等級(jí)的馬分別可勝齊王中、下等級(jí)的馬齊王及田忌在排列賽馬出場(chǎng)順序時(shí)，各可取下列6種策略（方案）之一： （上，中，下），（中，上，下），（下，中，上）， （上，下，中），（中，下，上），（下，上，中） 若將這6種策略依次從1到6編號(hào)，則可寫(xiě)出齊王的贏得矩陣 田略 忌 策31111?1?齊?111?311?王1131?11 P?1311?11策?1311?11略?3?11111? 例如，這里，即以下、中、上順序3，意即齊王采用策略1p?32名師精編 優(yōu)秀教案 出馬，而田忌采用策略2，即以中、上、下順序出馬，則比賽結(jié)束時(shí)齊王的凈贏得數(shù)為100金 綜上，一般地，設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，由F上的mn個(gè)數(shù)組成的m行、n列矩形元素表 aaa?n11112?aaa?n22221 (1) ?A?aaa?mnm2m1叫做F上的一個(gè)mn矩陣，其中，i=1，2，m，j=1，2，F(xiàn)?aija是A的第i，j是列下標(biāo)，因而也稱An，叫做的元素；i是行下