微積分-8_3-平面方程

1、,第五節(jié),一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,平面及其方程,第八章,一、平面的點法式方程,設一平面通過已知點,且垂直于非零向,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1.求過三點,即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點法式得平面 的方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此平面的三點式方程也可寫成,一般情況 :,過三點,的平面方程為,說明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特別,當平面與三坐標軸的交點分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時,平面方程

2、為,分析:利用三點式,按第一行展開得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、平面的一般方程,設有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點法式方程等價,的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特殊情形, 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面;, 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0

3、 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通過 x 軸 ,設所求平面方程為,代入已知點,得,化簡,得所求平面方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、兩平面的夾角,設平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特別有

4、下列結論：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因此有,例4. 一平面通過兩點,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,和,則所求平面,故,方程為,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,外一點,求,例5. 設,解:設平面法向量為,在平面上取一點,是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點到平面的距離公式),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例6.,解: 設球心為,求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構成,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,四面體的球面方程.,從而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內(nèi)容小結,1.平面基本方程:,一般式,點法式,截距式,三點式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.平面與平面之間的關系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,求過點,且垂直