高二新授課1.5.3定積分的概念

1、1.5.3定積分的概念一、【教學目標】重點: 定積分的概念、定積分的幾何意義及簡單的應用難點：對定積分的概念的理解、求和取極限知識點：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景. 用定積分的定義來求解簡單函數(shù)定積分的求解步驟能力點：能用定積分的定義求簡單的定積分.教育點：使學生進一步提高對定積分的理解和應用自主探究點：圖形的面積與定積分之間的關系.考試點：了解定積分的幾何意義.易錯易混點：在橫軸下方部分圖形的面積與定積分關系.拓展點：函數(shù)定積分的性質(zhì)及其應用二、【引入新課】從求曲邊梯形的面積以及求變速直線運動路程的過程可以發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”得到

2、解決，且都可以歸結(jié)為求一個特定形式和的極限. ；事實上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限.【設計意圖】回顧前面所學知識，做到溫故而知新，起到承上啟下的作用.三、【探究新知】1定積分的概念一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：，即其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限.說明：定積分是一個常數(shù). 用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：.曲邊圖形面積：；變速運動路程；變

3、力做功.2定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號 3定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （其中是不為的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)2 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 推廣： （1） （2）=+【設計意圖】通過學生自主探究，進一步理解和掌握定積分概念的內(nèi)涵和外延, 培養(yǎng)學生歸納、概括、拓展、提出問題和解決問題的能力，使學生對知識的掌握上升一

4、個更高的層次四、【理解新知】定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為,而其定積分為.五、【運用新知】例1（課本例題）利用定積分定義，計算的值解：令，如圖分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為近似代替、作和取，則取極限【設計意圖】由學生通過具體的問題進行自學、探究，分組討論、交流，進一步讓學生感受這種以直代曲、化曲為直的極限法求定積分.例2計算下列定積分（1）（2）（3）(棗莊市調(diào)研題)分析：所求定積分即為

5、如圖陰影部分面積即：思考：(1)若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負值如何解決呢？（后面解決的問題）【設計意圖】讓學生理解定積分的幾何意義,會用數(shù)形結(jié)合求定積分.六、【課堂小結(jié)】1. 利用定積分的定義求簡單函數(shù)的定積分；2. 利用定積分的幾何意義求曲邊圖形面積(數(shù)形結(jié)合)；3. 定積分性質(zhì)的總結(jié)和簡單應用.學習本節(jié)的目的就是增強學生對定積分概念相關知識的理解,及時查缺補漏,從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用 設計意圖 增強學生對定積分概念相關知識的理解，解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用七、【布置作業(yè)】 必做題：第1、3、4、5題選做題：計算下列定積分1； 解：.2. 解：.【設計意圖】引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.在牢固抓住基礎的前提下，讓學有余力的同學得到更長遠的發(fā)展.八、【教后反思】1. 本節(jié)課內(nèi)容主要是定積分的概念、幾何意義、性質(zhì)，讓學生逐步理解和接受在區(qū)間選取的任意性。2在教學中，鼓勵學生獨立思考探究，發(fā)現(xiàn)問題，尋求解決問題的方案滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想3.不足之處是用定義法求定積分時，