、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理

1、.CDOBAEP圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理證明：如右圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD，圓心為O，延長(zhǎng)BC至E，AC、BD交于P，則：1、 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)：ABC+ADC=180，BCD+BAD=1802、 圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角：DCE=BAD3、 圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似：BCPADP4、 相交弦定理：APCP=BPDP5、 托勒密定理：ABCD+ADCB=ACBD一、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的證明（三種方法）；.【證明】方法一：利用一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。CABDO如圖，連接OB、OD則A=，C=+=360A+C=360=180同理得B+D=180（也可利用四邊

2、形內(nèi)角和等于360）【證明】方法二：利用直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角。設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD證明：A+C=180，B+D=180連接BO并延長(zhǎng)，交O于E。連接AE、CE。則BE為O的直徑BAE=BCE=90BAE+BCE=180BAE+BCE-DAE+DAE=180即BAE-DAE+BCE+DAE=180DAE=DCE（同弧所對(duì)的圓周角相等）BAE-DAE+BCE+DCE=180即BAD+BCD=180A+C=180B+D=360-（A+C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）【證明】方法三：AOBCD12435678利用四邊形內(nèi)角和為360及同弧所對(duì)的圓周角均相等連接AC、BD，將A、B、C、D分

3、為八個(gè)角1、2、3、4、5、6、7、81+2+3+4+5+6+7+8=360（四邊形內(nèi)角和為360） 4=1，7=2，8=5，3=6（同弧所對(duì)的圓周角相等）1+2+5+6=360=1801+2=A 5+6=CA+C=180B+D=360-（A+C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）2、 圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角證明CDOBAEP如圖，求證：DCE=BADBCD+DCE=180（平角為180）BCD+BAD=180（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）DCE=BAD3、 圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似如上圖，求證：BCPADP，ABPDCP證明：CBP=DAP，BCP=ADP（一條弧所對(duì)圓周角等

4、于它所對(duì)圓心角的一半。）又APD=BPC（對(duì)頂角相等）BCPADPBAP=CDP，ABP=DCP（一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。）又APB=DPC（對(duì)頂角相等）ABPDCP4、 相交弦定理仍用上圖，求證：APCP=BPDP證明：BCPADP（圓內(nèi)接四邊形對(duì)應(yīng)三角形相似）（相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例）APCP=BPDPCDOBAEP5、 托勒密定理求證：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，那么ABCD+ADBC=ACBD【證明】方法一：作輔助線(xiàn)AE，使BAE=CAD，交BD于點(diǎn)EABE=ACD（同弧AD所對(duì)的圓周角相等）BACEOD又BAE=CADABEACD，即ABCD=ACBE (1)

5、BAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=EAD又ACB=ADE（同弧AB所對(duì)的圓周角相等）ABCAED，即BCAD=ACDE (2)(1)+(2),得ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC（BE+DE）=ACBD【證明】方法二：利用西姆松定理證明托勒密定理。（提示：本題要使用正弦定理），初三現(xiàn)有知識(shí)還不能求證。廣義托勒密定理廣義托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積，其推論是任意凸四邊形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，而且當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。內(nèi)容：凸四邊形對(duì)邊乘積和對(duì)角線(xiàn)的積托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABC

6、D，必有ACBDABCD+ADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。證明如下：在四邊形ABCD中,連接AC、BD,作ABE=ACD,BAE=CAD，則ABEACD BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/ADBE*AC=AB*CD ,AB/AE=AC/ADBAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=DAE又AB/AE=AC/AD,ABCAEDBC/ED=AC/ADED*AC=AD*BC+,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又BE+EDBDAC*BDAB*CD+AD*BC從而命題得證，且僅當(dāng)E點(diǎn)落在線(xiàn)段BD上時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)ABD=ACDABCD四點(diǎn)共圓托勒密定理逆定理

7、同樣成立:一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積,則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接圓。遇到失意傷心事，多想有一個(gè)懂你的人來(lái)指點(diǎn)迷津，因他懂你，會(huì)以我心，換你心，站在你的位置上思慮，為你排優(yōu)解難。一個(gè)人，來(lái)這世間，必須懂得一些人情事理，才能不斷成長(zhǎng)。就像躬耕于隴畝的農(nóng)人，必須懂得土地與種子的情懷，才能有所收獲。一個(gè)女子，一生所求，莫過(guò)于找到一個(gè)懂她的人，執(zhí)手白頭，相伴終老。即使蘆花暖鞋，菊花枕頭，也覺(jué)溫暖；即使粗食布衣，陋室簡(jiǎn)靜，也覺(jué)舒適，一句“懂你”,叫人無(wú)怨無(wú)悔，愿以自己的一生來(lái)交付。懂得是彼此的欣賞，是靈魂的輕喚，是惺惺相惜，是愛(ài)，是暖，是彼此的融化；是走一段很遠(yuǎn)的路，驀然回首卻發(fā)現(xiàn)，我依然在你的視線(xiàn)里；是回眸相視一笑的無(wú)言；是一條偏僻幽靜的小路，不顯山，不露水，路邊長(zhǎng)滿(mǎn)你喜愛(ài)的花草，靜默無(wú)語(yǔ)卻馨香盈懷，而路的盡頭，便是通達(dá)你心靈的小屋瑟瑟嚴(yán)冬，窗外雪飄，絮絮自語(yǔ)說(shuō)了這多，你可懂我了嗎？若你