第五屆卡西歐杯全國(guó)高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)教案-《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

1、2010年第五屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評(píng)比活動(dòng)精品教案2010年第五屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)選活動(dòng)交流材料人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）第二冊(cè)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)云南省玉溪市第一中學(xué) 姚艷萍2010年第五屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評(píng)比活動(dòng)精品教案橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：掌握橢圓的定義，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2能力目標(biāo)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手嘗試畫(huà)橢圓，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過(guò)程進(jìn)而歸納出橢圓的定義 , 培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、合作學(xué)習(xí)能力以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力3情感目標(biāo)（1）通過(guò)橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.（2）通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推

2、導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡(jiǎn)意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”.（3）通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)三教學(xué)方法：探究式教學(xué)法，即教師通過(guò)問(wèn)題誘導(dǎo)啟發(fā)討論探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察歸納抽象總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，能夠掌握方法、提升能力四教具準(zhǔn)備：多媒體課件和自制教具：呼啦圈，繪圖板、圖釘、細(xì)繩五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識(shí)橢圓材料1：對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí).通過(guò)演示課前準(zhǔn)備的生活中有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓.材料2：“嫦娥一號(hào)”模擬軌道圖2

3、007年10月24日，我國(guó)第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”發(fā)射成功 , 開(kāi)始了舉世矚目的太空之旅，流傳了幾千年的飛天神話(huà)，變成了現(xiàn)實(shí) ，這標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階，這是中國(guó)人的驕傲請(qǐng)問(wèn)： “嫦娥一號(hào)” 繞地球飛行的運(yùn)行軌道是什么？（課件演示軌道圖）引入課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（設(shè)計(jì)意圖：利用多媒體，展示學(xué)生常見(jiàn)的橢圓形狀的物品，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓：通過(guò)“嫦娥一號(hào)”的軌道錄像，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)思想.）（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)1教師演示，引出研究思路教師將一圓形的呼啦圈朝一方向用力壓或拉，變成一橢圓形狀的呼啦圈，以說(shuō)明圓和橢圓的密切關(guān)系，點(diǎn)明可以像學(xué)習(xí)圓一樣來(lái)學(xué)習(xí)

4、橢圓思考：在上一章圓的學(xué)習(xí)中我們知道：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.那么，到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于生活中、數(shù)學(xué)中的圓，學(xué)生已經(jīng)有一定的認(rèn)識(shí)和研究，但對(duì)橢圓，學(xué)生只停留在直觀感受，基于它倆的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用上一章所學(xué)，來(lái)研究橢圓）2學(xué)生分組試驗(yàn)(1)取一條細(xì)繩；(2)把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點(diǎn)、；(3)用鉛筆尖（）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)觀察畫(huà)出的圖形是什么？（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）3.分析實(shí)驗(yàn)，得出規(guī)律(1)在畫(huà)出一個(gè)橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？(2)在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？(3)

5、在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？(4)改變繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離的大小，軌跡又是什么？學(xué)生總結(jié)規(guī)律： 軌跡為橢圓； 軌跡為線(xiàn)段 ； 軌跡不存在（設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來(lái)是為了給學(xué)生一個(gè)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是通過(guò)實(shí)踐思考，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備）（三）總結(jié)歸納，形成概念定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（在歸納橢圓定義的過(guò)程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.）問(wèn)：

6、橢圓定義還可以用集合語(yǔ)言如何表示？.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念的探究過(guò)程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力.）（四）合理建系，推導(dǎo)方程1.復(fù)習(xí)求曲線(xiàn)的方程的基本步驟：建系；設(shè)點(diǎn)；列式；化簡(jiǎn)；（5）證明（可省略）（由學(xué)生回答，不正確的教師給予糾正）2.如何選取坐標(biāo)系？【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能會(huì)建系如下幾種情況：方案一：把F1、F2建在x軸上，以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)；方案二：把F1、F2建在x軸上，以F1為原點(diǎn)；方案三：把F1、F2建在x軸上，以F1F2與x軸的左交點(diǎn)為原點(diǎn)；方案四：把F1、F2建在y軸上，以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)；教師折橢圓，學(xué)

7、生觀察橢圓的幾何特征（對(duì)稱(chēng)性），如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔？學(xué)生討論，經(jīng)過(guò)比較確定方案一.（設(shè)計(jì)意圖：積極鼓勵(lì)學(xué)生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通過(guò)比較，得出最簡(jiǎn)潔的方案，而不是被動(dòng)地接受教材或老師強(qiáng)加給的方法）3推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程選取建系方案,讓學(xué)生動(dòng)手，嘗試推導(dǎo).按方案一：以過(guò)、的直線(xiàn)為軸，線(xiàn)段的垂直平分或線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則 （稱(chēng)此式為幾何條件）， 得（實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化），（想一想：下面怎樣化簡(jiǎn)？）（）教師為突破難點(diǎn)，進(jìn)行引導(dǎo)設(shè)問(wèn)：我們?cè)趺椿?jiǎn)帶根式的式子？對(duì)于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？化簡(jiǎn)，得 （2）的引入由橢圓的定義可知，,讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸正

8、半軸上（如圖2），由學(xué)生觀察圖形直觀獲得，的幾何意義，進(jìn)而自然引進(jìn)，此時(shí)設(shè)，于是得， 兩邊同時(shí)除以，得到方程：（稱(chēng)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）（3）建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 要建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡(jiǎn)過(guò)程，如何做？方法1：按步驟列出方程，利用兩方程結(jié)構(gòu)的異同（結(jié)構(gòu)相同，只是字母，交換了位置），直接得到方程方法2：（視情況決定講與否(預(yù)設(shè))）借助于化歸思想，抓住圖1（前面方程推導(dǎo)時(shí)用過(guò)）與圖3的聯(lián)系(關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng))即可化未知為已知，將已知的焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需將圖1沿直線(xiàn)翻折即可轉(zhuǎn)化成圖3； 圖1 圖3 (4)教師應(yīng)用多媒體，

9、把其它建系得出的方程展示給學(xué)生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不夠簡(jiǎn)潔.（設(shè)計(jì)意圖：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的導(dǎo)出，先放手給學(xué)生嘗試，教師協(xié)從指導(dǎo)再展示學(xué)生結(jié)果；教師對(duì)照?qǐng)D形，加以引導(dǎo)，讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對(duì)方程的理解有很大的作用；利用類(lèi)比對(duì)稱(chēng)，化歸的思想得出焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免重復(fù)的繁雜計(jì)算）4歸納概括，掌握特征（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：它們都是二元二次方程，左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1；（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù) , , 的關(guān)系：；（3）橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定.（五）嘗試應(yīng)用，范例教學(xué)例1 下列哪些是橢圓的方程，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？并指明

10、、，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)注意：分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，反之亦然（設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式的掌握.）例2寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10.變式一：將上題焦點(diǎn)改為、，結(jié)果如何？變式二：將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8 ，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10 ，結(jié)果如何？（學(xué)生直接搶答）例3 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（先和學(xué)生一起簡(jiǎn)單分析條件中蘊(yùn)涵的信息，再由學(xué)生自己動(dòng)手完成教師巡視，投影學(xué)生答案學(xué)生討論總結(jié)）解題思路1：先根據(jù)已知條件設(shè)出焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程，并結(jié)合、間的關(guān)系求出、的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法球橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.)解題思路2：利用橢圓定義（橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)2）求出值