第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)教案-《分步原理與分類原理》

1、2010年第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評(píng)比活動(dòng)精品教案1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 教學(xué)設(shè)計(jì)河北省滄州市第一中學(xué)（061000） 趙壽鋒一、 本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是人類在大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本章中是奠基性的知識(shí)。返璞歸真的看兩個(gè)原理，它們實(shí)際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的推廣。從思想方法的角度看，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題是將一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干“類別”，然后分類解決，各個(gè)擊破；運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)

2、原理是將一個(gè)復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對(duì)每個(gè)步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個(gè)完整的過程。這樣做的目的是為了分解問題、簡(jiǎn)化問題?？梢姡斫夂驼莆諆蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理，是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。二、 教學(xué)目標(biāo)分析1、 知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生熟練掌握兩個(gè)原理的內(nèi)容、區(qū)別，能夠靈活的應(yīng)用兩個(gè)原理解決常見的計(jì)數(shù)問題。2、 能力目標(biāo)：在教學(xué)過程中，凸顯兩個(gè)原理發(fā)現(xiàn)的原始過程，使學(xué)生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維，在應(yīng)用原理解決問題時(shí)，體會(huì)一般到特殊的演繹推理思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實(shí)際問題時(shí)主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。3、 德育滲透目標(biāo)：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)研究的成

3、功和快樂，感悟數(shù)學(xué)樸實(shí)無華的內(nèi)在美，學(xué)會(huì)提出問題、分析問題、解決問題、推廣結(jié)論進(jìn)而完善結(jié)論的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。三、教學(xué)過程【引入】展示世界杯圖片：2010南非世界杯是今年全球的一大體育盛事。32支球隊(duì)齊聚南非，觀眾席上，人山人海，彩旗飄飄；綠茵場(chǎng)上，群雄逐鹿，球技高超，真是一場(chǎng)難得的視覺盛宴??！通過小組賽、十六強(qiáng)賽，八強(qiáng)賽、四強(qiáng)賽、季軍賽、決賽，最終決出冠亞季軍，大家知道總共進(jìn)行了多少場(chǎng)比賽嗎?生齊答：64場(chǎng)。正確！這個(gè)場(chǎng)數(shù)我們能否通過一一列舉出所有的場(chǎng)次，逐個(gè)數(shù)出呢？學(xué)生1：我覺得應(yīng)該可以，但是方法數(shù)較大，操作起來繁瑣。沒錯(cuò)。其實(shí)，在生活中，

4、我們還會(huì)遇到很多類似的方法數(shù)的計(jì)算問題，這種問題我們稱之為計(jì)數(shù)問題。(板書)一、計(jì)數(shù)問題：計(jì)算完成一件事的方法數(shù)的問題。 我們將通過本章的研究學(xué)習(xí)解決不通過逐個(gè)數(shù)來確定這種方法數(shù)的技巧方法?！拘抡n】今天我們先來研究解決計(jì)數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法：字幕：1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 首先，我們大家一起來研究問題1.（鏡頭指向幻燈片）【問題1】2010南非世界杯開賽前，中央電視臺(tái)某位記者通過網(wǎng)絡(luò)測(cè)試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊(duì)和美洲球隊(duì)如下： 歐洲球隊(duì) 美洲球隊(duì) 德國 巴西 英格蘭 阿根廷 西班牙 烏拉圭 意大利 法國他決定從這些球隊(duì)中選擇一個(gè)跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式？

5、誰能解決這個(gè)問題？ ，你來試試！學(xué)生2：8種。很好，請(qǐng)問:這名記者要完成一件什么事？學(xué)生2：從這些球隊(duì)中選擇一個(gè)跟蹤采訪。他怎么完成這件事？學(xué)生2：從歐洲球隊(duì)或美洲球隊(duì)中選一個(gè)。怎么計(jì)算方法數(shù)？學(xué)生2：把兩類球隊(duì)數(shù)相加即可，5+3=8。分析的不錯(cuò)，請(qǐng)坐！其實(shí)，提出問題比解決問題更難能可貴，我們大家思考一下，能否舉一些生活中類似的例子嗎？【問題2】你能舉一些生活中類似的例子嗎？你能試著解決嗎？20秒學(xué)生3：暑假馬上到了，我想去看清華園，從滄州到北京有兩種交通工具供選擇：長(zhǎng)途汽車、旅客列車，已知當(dāng)天長(zhǎng)途汽車有5班，旅客列車有3班。問共有多少種不同的選擇？相當(dāng)不錯(cuò)！你能解決嗎？學(xué)生3：能，5+3=8

6、. 這個(gè)問題中，我們需要完成一件什么事？學(xué)生3：從滄州到北京。怎么完成這件事？學(xué)生3：坐汽車或火車都可以完成。怎么計(jì)算？學(xué)生3：把兩類方法數(shù)相加即可。嗯，分析透徹，還有同學(xué)能舉嗎？學(xué)生4：咱們班共有男生30名，女生20名，從班上選出1名同學(xué)當(dāng)班長(zhǎng)，有多少不同的選法？也不錯(cuò)，你能類似分析嗎？學(xué)生4：我需要完成一件事是：從班上選出1名同學(xué)當(dāng)班長(zhǎng)，只要從男生或女生中選出一人即可，所以，30+20=50.剛剛我們研究的這些問題雖然簡(jiǎn)單，但體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的一個(gè)原理，拋開其實(shí)際意義，我們能否尋求共性，抽象出一個(gè)命題呢？大家可以討論一下。誰能試著分析一下【問題3】這些例子有哪些共性？你能試著歸納出一個(gè)一般的命

7、題嗎？學(xué)生5：這些例子都是計(jì)數(shù)問題，即需要完成一件事，計(jì)算其方法數(shù)，都有兩類方案可以選擇，都用加法運(yùn)算。很好!你的抽象概括能力很強(qiáng)。你能把它敘述為一個(gè)命題嗎？學(xué)生5：做一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n+ m種不同的方法。相當(dāng)不錯(cuò)，你的語言表達(dá)能力也很強(qiáng)。好極了，我們把剛才那位同學(xué)敘述的內(nèi)容整理一下，得到分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1+ n2種不同的方法。（板書）二、分類 N=n1+ n2原理是指在大量的

8、觀察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出的具有普遍意義的基本規(guī)律，一般無須證明。我們看到:在這個(gè)原理中，大家要注意：“完成一件事”，“分類”，“加法”幾個(gè)關(guān)鍵詞。這個(gè)原理淺顯易懂，關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用。以后在用這個(gè)原理解決問題時(shí)，大家要能夠用原理表達(dá)，要清楚完成一件什么事？怎么完成？分哪幾類？接著看下一個(gè)問題?！締栴}1的變式】2010南非世界杯是今年體育界的一大盛事。開賽前，中央電視臺(tái)某位記者通過網(wǎng)絡(luò)測(cè)試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊(duì)、美洲球隊(duì)和亞洲球隊(duì)如下： 歐洲球隊(duì) 美洲球隊(duì) 亞洲球隊(duì) 德國 巴西 韓國 英格蘭 阿根廷 日本 西班牙 烏拉圭 意大利 法國他決定從這些球隊(duì)中選擇一個(gè)跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇

9、方式？這個(gè)問題你能解決嗎？學(xué)生8：能，5+3+2=10.不錯(cuò)，這個(gè)問題對(duì)你有什么啟發(fā)呢?學(xué)生8：我覺得原理中的方案的種類不一定是兩類，可以是三類。你能試著把原理推廣到三類嗎？【問題4】你能進(jìn)一步推廣到有3類方案的情況嗎？m類方案呢？學(xué)生8：當(dāng)然能，完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1+ n2+ n3種不同的方法。推廣1 完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n

10、1+ n2+ n3種不同的方法。我們當(dāng)然還能進(jìn)一步推廣到4類、5類、甚至m類。學(xué)生 ，你試試！推廣2 完成一件事有m類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第m類方案中有nm種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1+ n2+nm種不同的方法。讓我們繼續(xù)我們的世界杯之旅。【問題5】世界杯開賽前，新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)在網(wǎng)上分別進(jìn)行了“本屆世界杯你最支持的球隊(duì)”的評(píng)選活動(dòng)，位于前五位的結(jié)果如下： 新浪網(wǎng) 搜狐網(wǎng) 德國 巴西 巴西 阿根廷 西班牙 烏拉圭 意大利 西班牙 法國 荷蘭試問：如果你從這兩個(gè)網(wǎng)站的評(píng)選結(jié)果中挑選一支你最支持的球隊(duì)，有多少種選法？誰能試著

11、分析一下你的思路。學(xué)生9：因?yàn)槲乙瓿傻氖率翘暨x一支最支持的球隊(duì)，所以我從新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)中選，但是巴西、西班牙兩個(gè)網(wǎng)的結(jié)果都有，所以有種選擇。很好，我們能否直接用分類加法計(jì)數(shù)原理解答呢？學(xué)生9：不能！去掉重復(fù)的隊(duì)即可?！締栴}6】由此你能試著總結(jié)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理需要注意的問題嗎？學(xué)生9：分類需要注意“不能重復(fù)”?？偨Y(jié)的很好，當(dāng)然我們?cè)诜诸悤r(shí)除了不能重復(fù)之外，還不能遺漏，即“不重不漏”，這也是分類討論的數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵點(diǎn)。再來研究下一個(gè)問題?！締栴}7】2010年南非世界杯小組賽中， A小組成員有：南非、墨西哥、法國、烏拉圭，在小組賽前，你能計(jì)算前兩名的可能情況有多少種嗎？ 學(xué)生10：12種。談?wù)?/p>

12、你的想法。學(xué)生10：如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法國或?yàn)趵?，共三種方法；當(dāng)然第一名還可能是墨西哥或法國或?yàn)趵?，所以方法?shù)為43=12.分析很精彩。我們可以用圖來展示這位同學(xué)的思想，這種圖示你能形象的給它命個(gè)名嗎？學(xué)生10：嗯，我覺得它形狀象樹，叫做“樹形圖”，可以嗎？ 很好，這種圖示我們?cè)诮鉀Q計(jì)數(shù)問題時(shí)十分常用，我們通常就稱之為“樹形圖”。學(xué)生11：我覺得還可以這樣考慮：我們要完成一件事是排出第一、第二名，那么我先選第一名，有4種方法，再選第二名有3種方法，所以共有43=12.這位同學(xué)的分析也很好。我們也能舉出生活中一些類似的例子。大家可以討論一下?！締栴}8】你能舉一些生活中類似

13、的例子嗎？學(xué)生3：老師，我想改編一下剛才的例子，暑假來了，我要從滄州到北京旅游，若想中途參觀南開大學(xué)，已知從滄州到天津有3種乘車方式，從天津到北京有2種乘車方式，試問：要從滄州到北京共有多少種不同的方法？ 你能解答嗎？學(xué)生3：種。這個(gè)問題中，要完成一件什么事？學(xué)生3：從滄州到北京。不太確切。學(xué)生3：從滄州先到天津，再到北京。你能指出所有的路線嗎？學(xué)生3：1A、1B、2A、2B、3A、3B。1是否是完成這件事的一種方法？學(xué)生3：不是。為什么？學(xué)生3：1不能完成這件事。學(xué)生4：老師，我也能改編我的例子，咱們班共有男生20名，女生10名，從班上選出1名男生和一名女生擔(dān)任節(jié)目主持人，有多少不同的選法？

14、你能類似的分析一下嗎？學(xué)生4：我要我要完成從班上選出1名男生和一名女生的任務(wù)，先選男生，再選女生，共有種方法。還有同學(xué)能從別的情景下舉例并解決嗎？學(xué)生12： 我有5件上衣，4條褲子，選出一件上衣和一條褲子進(jìn)行搭配，有種選法？學(xué)生13： 食堂有米飯、饅頭、花卷3種主食，有6種炒菜，要選擇一種主食和一種炒菜，有種不同的選法？大家舉的例子漂亮極了！我相信大家一定能夠?qū)で蠊残?，仿照分類加法?jì)數(shù)原理抽象出一個(gè)一般命題？ 【問題9】這些例子有哪些共性？你能仿照分類加法計(jì)數(shù)原理試著歸納出一個(gè)一般的命題嗎？學(xué)生14：這些問題都需要完成一件事，計(jì)算其方法數(shù)，都有兩個(gè)步驟，用乘法計(jì)算。很好，你能把它敘述為一個(gè)命題

15、嗎？學(xué)生14：可以，完成一件事有兩個(gè)步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1n2種不同的方法。（板書）二、分步 N=n1n2 我們看到:在這個(gè)原理中，我們要注意：“完成一件事”，“分步”，“乘法”幾個(gè)關(guān)鍵詞。步與步之間要相互獨(dú)立，分步要做到“步驟完整”，從剛才的討論可以看出，只有每一步都完成了，這件事才宣告完成。這個(gè)原理依然淺顯易懂，關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用。以后在用這個(gè)原理解決問題時(shí)，要用原理表達(dá)，完成一件什么事？怎么完成？分哪幾步？【問題10】你能進(jìn)一步推廣到有3個(gè)步驟的情況嗎？m個(gè)步驟呢？學(xué)生15：完成一件事有三個(gè)步驟，做第1步有n1種不同的方法

16、，做第2步有n2種不同的方法，做第3步有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1n2n3種不同的方法。推廣2 完成一件事有m個(gè)步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，做第m步有nm種不同的方法，那么完成這件事共有 N=n1n2nm種不同的方法。好，我們共同來解決一個(gè)例題。【例1】書架的第一層有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第二層有3本不同的文藝書，第三層有2本不同的體育書。（1）從書架中任取1本書，有 9 種不同的取法；（2）從書架的第1，2，3層各取一本書，有 24 種不同的取法；（3）從書架中任取2本不同學(xué)科的書，有 26 種不同的取法。這個(gè)問題綜合應(yīng)用了兩個(gè)原理，體現(xiàn)了

17、“類中有步”、 “步中有類”思想。 學(xué)生16：（1）要完成從書架中取出1本書這件事，我分三類，即取出計(jì)算機(jī)書或文藝書或體育書，由分類加法計(jì)數(shù)原理，有4+3+2=9種不同的取法 (2) 要完成從書架中第1，2，3層各取一本書的這件事，我分三步：先取一本計(jì)算機(jī)書，再取一本文藝書，最后取一本體育書，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有種不同的取法學(xué)生17：要完成從書架中任取2本不同學(xué)科的書這件事，先分三類：一本計(jì)算機(jī)書和一本文藝書，一本文藝書和一本體育書，一本體育書和一本計(jì)算機(jī)書，第一類又分為兩步，先取一本計(jì)算機(jī)書，再取一本文藝書，這樣共有種不同的取法學(xué)生18：我覺得還可以分兩類，即按照兩本書中是否有體育書分類，每類再分步，即有種不同的取法學(xué)生討論填充表格?？偨Y(jié)歸納兩個(gè)原理的區(qū)別和聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系都需要完成一件事，并計(jì)算其方法數(shù)區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事情。只有每個(gè)步驟完成了，才能完成這件事情。區(qū)別三各類辦法相互獨(dú)立各個(gè)步驟相互依存課下大家可以分小組談?wù)?，探究如下問題?！咎骄刻骄繂栴}】（1）5名同學(xué)參加3個(gè)不同的體育項(xiàng)目，每人參加一項(xiàng)，不同的方法數(shù)有多少種？（2）