高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)人教B版用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問(wèn)題學(xué)案

1、名校名 推薦 考查角度 1用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問(wèn)題分類透析一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 1 已知函數(shù) f ( x) =ax3+x2( ar)在 x=- 處取得極值 .(1) 確定 a 的值 ;(2) 若 g( x) =f ( x)e x , 求函數(shù) g( x) 的單調(diào)減區(qū)間 .分析 (1) 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 然后把 x=- 代入可確定 a 的值 ;(2)先求出 g( x) 的函數(shù)解析式 , 再求導(dǎo)數(shù) , 最后利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法求出單調(diào)遞減區(qū)間 .解析 (1) 對(duì) f ( x) 求導(dǎo)得 f ( x) =3ax2+2x,因?yàn)?f ( x) 在 x=- 處取得極值 , f-0,=即 3

2、a +2 -= - =0, 解得 a= .(2) 由(1) 得 g( x) =ex ,故 g ( x) =ex+ex=ex= x( x+1)( x+4)e x.令 g ( x) 0, 得 x( x+1)( x+4) 0,解得 - 1x0 或 x0, h ( x) = -ax- 2.1名校名 推薦 若函數(shù) h( x) 在(0, +) 上存在單調(diào)遞減區(qū)間 , 則當(dāng) x0 時(shí), -ax- 2 - 有解 .設(shè) g( x) = - , x0, ag(x) min.又 g( x) = - 1, g(x) min=- 1.1 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (-1,).a- .+(2) h(x) =lnx-ax2-

3、2x 在1,4上單調(diào)遞減 ,當(dāng) x1,4時(shí), h ( x) = -ax- 20恒成立 ,則 a- 恒成立 .設(shè) g( x) = - , x1,4,ag( x) max.又 ( )=-1,x1,4,g xg(x) =-( 此時(shí) x=4),a- .max故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 -, .方法技巧 1 . 已知函數(shù)的單調(diào)性 , 求參數(shù)的取值范圍 , 應(yīng)用條件f ( x) 0( 或 f ( x) 0), x(a, b) 恒成立 , 求出參數(shù)的取值范圍 ( 一般可用不等式恒成立的理論求解 ), 應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍是 f ( x) 不恒等于 0 的參數(shù)的取值范圍 .2. 若函數(shù) y=f ( x) 在區(qū)間

4、 ( a, b) 上不是單調(diào)函數(shù) , 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f ( x) =0 在( a, b) 上有解 .分類透析三已知函數(shù)求極值 ( 點(diǎn))例 3 已知函數(shù) f ( x) =x- 1+( ar,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ) .(1) 若曲線 y=f ( x) 在點(diǎn) (1, f (1) 處的切線平行于 x 軸, 求 a 的值 ;(2) 求函數(shù) f ( x) 的極值 .分析 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)的值 , 求帶有參數(shù)的函數(shù)的極值時(shí) , 要注意分類討論 .解析 (1) 由 f ( x) =x- 1+, 得 f ( x) =1-.又曲線 y=f ( x) 在點(diǎn) (1, f (1) 處的切線平行于 x 軸,得

5、 f (1) =0, 即 1- =0, 解得 a=e.(2) f ( x) =1-,2名校名 推薦 當(dāng) a0時(shí), f ( x) 0, f ( x) 為( - , +) 上的增函數(shù) , 所以函數(shù)f ( x) 無(wú)極值 .當(dāng) a0 時(shí), 令 f ( x) =0, 得 ex=a, 即 x=lna,當(dāng) x(- ,ln a) 時(shí), f ( x) 0.所以 f ( x) 在( - ,lna) 上單調(diào)遞減 , 在(lna, +) 上單調(diào)遞增 .故 f ( x) 在 x=lna 處取得極小值且極小值為f (lna) =ln a, 無(wú)極大值 .綜上 , 當(dāng) a0時(shí), 函數(shù) f ( x) 無(wú)極值 ;當(dāng) a0 時(shí) ,

6、 f ( x) 在 x=ln a 處取得極小值 ln a, 無(wú)極大值 . 方法技巧 函數(shù)極值的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題(1) 由函數(shù)極值求參數(shù)的值或取值范圍 .已知函數(shù)極值 , 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值 , 利用極值點(diǎn)的定義求參數(shù)的取值范圍 .(2) 求函數(shù) f ( x) 的極值這類問(wèn)題的一般解題步驟 :確定函數(shù)的定義域 ; 求導(dǎo)數(shù) f ( x); 解方程 f ( x) =0, 求出在函數(shù)定義域內(nèi)方程的所有根 ; 列表檢驗(yàn) f ( x) 在 f ( x) =0 的根 x0 左右兩側(cè)值的符號(hào) , 如果左正右負(fù) , 那么 f ( x) 在 x0 處取極大值 , 如果左負(fù)右正 , 那么 f ( x) 在 x

7、0 處取極小值 .分類透析四利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例 4 已知函數(shù) f ( x) =ln x-ax ( ar).(1) 求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 ;(2) 當(dāng) a0 時(shí), 求函數(shù) f ( x) 在1,2 上的最小值 .分析 (1) 已知函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間 , 實(shí)質(zhì)上是求導(dǎo)數(shù)f ( x) 0, f ( x) 0),當(dāng) a0時(shí), f ( x) = -a0, 即函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +) .當(dāng) a0 時(shí), 令 f ( x) = -a=0, 可得 x= ;當(dāng) 0x0;當(dāng) x 時(shí), f ( x) = - 0 時(shí) , 函數(shù) f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞減區(qū)間為,

8、 .(2) 當(dāng) 1, 即 a1時(shí), 函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 1,2 上是減函數(shù) , 所以 f ( x) 的最小值是 f (2) =ln 2 - 2a.當(dāng) 2, 即 0a 時(shí), 函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 1,2 上是增函數(shù) , 所以f ( x) 的最小值是 f (1) =-a.當(dāng) 1 2, 即 a1 時(shí), 函數(shù) f ( x) 在,上是增函數(shù) , 在,上是減函數(shù) .又 f (2) -f (1) =ln 2 -a ,所以當(dāng) aln 2 時(shí), 最小值是 f (1) =-a;當(dāng) ln 2 a1 時(shí), 最小值為 f (2) =ln 2 - 2a.綜上可知當(dāng) 0ax, 求 a 的取值范圍 .解析 (1

9、) 當(dāng) a=1 時(shí), f ( x) =x2- lnx-x ,則 f ( x) =()(-) .當(dāng) x(0,1) 時(shí) , f ( x) 0.所以 f ( x) 的最小值為 f (1) =0.(2) 由 f ( x) x, 得 f ( x) -x=x 2- lnx- ( a+1) x0.由于 x0, 所以 f ( x) x 等價(jià)于 x-a+1.4名校名 推薦 令 g( x) =x-, 則 g ( x) =-.當(dāng) x(0,1) 時(shí) , g ( x) 0.故 g( x) 的最小值為 g(1) =1.故 a+11, 解得 a0 時(shí), 解不等式 f ( x) 0;(2) 當(dāng) a=0 時(shí), 求整數(shù) t 的所

10、有值 , 使方程 f ( x) =x+2 在 t , t+ 1 上有解 .解析 (1) 因?yàn)?ex0,( ax2+x)e x0, 所以 ax2+x0.又因?yàn)?a0,所以不等式化為x0.所以不等式 f ( x) 0的解集為 -,.(2) 當(dāng) a=0 時(shí), 方程為 xex=x+2,由于 ex0, 所以 x=0 不是方程的解 ,所以原方程等價(jià)于ex- - 1=0.令 h( x) =ex- - 1,則 h ( x) =ex+ .因?yàn)?h ( x) 0 對(duì)于 x(- ,0) (0, +) 恒成立 , 所以 h( x) 在( - ,0) 和(0, +) 內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù) .又 h(1) =e- 30, h

11、( - 3) =e- 3- 0,所以方程 f ( x) =x+2 有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根且實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間1,2 和 - 3, - 2 上, 所以整數(shù) t 的所有值為 - 3,1 .3. (2016 年天津卷 , 文 20改編 ) 已知函數(shù) f ( x) =x3+ax2-x+c , 且 a=f.(1) 求 a 的值 ;(2) 求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 ;(3) 設(shè)函數(shù) g( x) = f ( x) -x 3e x, 若函數(shù) g( x) 在 - 3,2 上單調(diào)遞增 , 求實(shí)數(shù) c 的取值范圍 .解析 (1) 由 f ( x) =x3+ax2-x+c , 得 f ( x) =3x2+2ax-

12、1.當(dāng) x= 時(shí) , 得 a=f=3+2a - 1,解得 a=-1.(2) 由(1) 可知 f ( x) =x3-x 2-x+c ,則 f ( x) =3x2- 2x- 1=3( x- 1) .當(dāng) x 變化時(shí) , f ( x), f ( x) 的變化情況如下表 :5名校名 推薦 x ,-,1(1, +)f+-+( x00)極極f (大小x)值值所以 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是- ,-和(1, +), 單調(diào)遞減區(qū)間是 - , .(3) 函數(shù) g( x) = f ( x) -x 3e x=( -x 2-x+c )e x,則 g ( x) =( - 2x- 1)e x+( -x 2-x+c )e

13、 x =( -x 2- 3x+c- 1)e x.因?yàn)楹瘮?shù) g( x) 在區(qū)間 - 3,2 上單調(diào)遞增 ,所以 h( x) =-x2 - 3x+c- 10在區(qū)間 - 3,2 上恒成立 .又 h( x) min =h(2),所以 h(2) 0, 解得 c11,所以 c 的取值范圍是 11, +) .1. ( 孝感市七校教學(xué)聯(lián)盟2017 屆高三上學(xué)期期末 ) 已知函數(shù)f ( x) =x3- 3ax- 1( a0) .(1) 求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 ;(2) 若 f ( x) 在 x=- 1 處取得極值 , 直線 y=m與曲線 y=f ( x) 有三個(gè)不同的交點(diǎn) , 求 m的取值范圍 .解析 (

14、1) f ( x) =3x2- 3a.當(dāng) a0, f(x) 在 r上單調(diào)遞增 .當(dāng) a0 時(shí) , f ( x) =3( x+ )( x-) .x( - ,( -(,-+), )f(+0-0+x)極極f (x大小)值值6名校名 推薦 f(x) 在 ( - , -) 和(, +) 上單調(diào)遞增 , 在 ( -,)上單調(diào)遞減 .(2) f ( x) 在 x=- 1 處取得極值 , f ( - 1) =0. 3- 3a=0, a=1, f ( x) =x3- 3x- 1, f(x) 極大值 =f ( - 1) =1, f ( x) 極小值=f (1) =- 3.直線 y=m與曲線 y=f ( x) 有三

15、個(gè)交點(diǎn) , f(x) 極小值 mf( x) 極大值 , - 3m1,m的取值范圍是 ( - 3,1) .2. ( 河北省廊坊市第八高級(jí)中學(xué)2018 屆高三模擬試題 ) 已知函數(shù)f ( x) =.-(1) 求函數(shù) f ( x) 的圖象在 x=2 處的切線方程 ;(2) 求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間 .解析 (1) 因?yàn)?x=2, 所以切點(diǎn)為 (2,2ln 2).因?yàn)?f ( x) = - -,( -)所以切線的斜率為f (2) =1- ln 2,所以所求的切線方程為y- 2ln 2 =(1 - ln 2)(x- 2),即 y=(1 - ln 2) x+4ln 2 - 2.(2) f ( x)

16、 的定義域?yàn)?(0,1) (1, +),由 (1) 知 f ( x) = - -.( -)記 g( x) =x- 1- ln x, 則 g ( x) =1- = - .當(dāng) 0x1 時(shí), g ( x) 1 時(shí) , g ( x) 0, g( x) 在(1, +) 上是增函數(shù) .所以 g( x) 在(0, +) 上的最小值為 g(1) =0, 所以 f ( x) 0 恒成立 , 所以 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1) 和(1, +), 無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間 .3. ( 天水市一中 2015 級(jí) 20172018 學(xué)年第二次模擬考試 ) 已知函數(shù)f ( x) =ex- x2+ax.(1) 當(dāng) a-

17、 1 時(shí) , 試判斷函數(shù) f ( x) 的單調(diào)性 ;(2) 若 a0 時(shí) , g ( x) 0, g( x) 在(0, +) 上單調(diào)遞增 ;當(dāng) x0 時(shí) , g ( x) -1, 所以 1+a0, 即 f ( x) 0,7名校名 推薦 所以函數(shù) f ( x) 在 r上單調(diào)遞増 .(2) 由(1) 知 f ( x) 在1, +) 上單調(diào)遞増 ,因?yàn)?a1- e, 所以 f (1) =e- 1+a1, 則 h ( x) =x(1 - ex) 0 恒成立 ,所以函數(shù) h( x) 在(1, +) 上單調(diào)遞減 , 所以 h( x) e(1 - 1) + 12= ,即當(dāng) x1, +) 時(shí), f ( x) min0;當(dāng) x(1, +) 時(shí), f ( x) 0.所以 f ( x)