淺談?dòng)脭?shù)學(xué)思想來解決經(jīng)濟(jì)生活中利潤類問題

1、.淺談?dòng)脭?shù)學(xué)思想來解決經(jīng)濟(jì)生活中利潤類問題崔 園 寧波經(jīng)貿(mào)學(xué)校摘要：本文探討了如何用數(shù)學(xué)思想來解決經(jīng)濟(jì)生活中碰到的求利潤，最大利潤這樣的一類應(yīng)用題。用方程思想可解決售價(jià)進(jìn)價(jià)是不變的一類問題，而當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí)，我們則往往用函數(shù)思想來解決，且這兩類問題中的銷售量是常量或只是一般變量；而當(dāng)問題進(jìn)一步復(fù)雜化時(shí)，問題中的利潤或銷售量不是一般變量而是隨機(jī)變量時(shí)，我們往往會(huì)用數(shù)學(xué)期望等相關(guān)知識(shí)來解決。關(guān)鍵詞：方程思想、函數(shù)思想、數(shù)學(xué)期望、（最大）利潤利潤類應(yīng)用題是生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，是一個(gè)社會(huì)人尤其是商業(yè)人需要去關(guān)注的問題。作為職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師，我覺得我有責(zé)任將數(shù)學(xué)與專業(yè)有機(jī)地結(jié)合起來，讓數(shù)學(xué)為專

2、業(yè)服務(wù)，所以我覺得有必要將利潤類應(yīng)用題滲透到我們的數(shù)學(xué)課堂中，甚至有必要將它作為一個(gè)模塊編入校本教材中。下面我淺談一下如何用數(shù)學(xué)思想來解決經(jīng)濟(jì)生活中的利潤類問題。一、 用方程思想解決利潤類問題用方程思想解決的是最簡(jiǎn)單的一類利潤、折扣問題，這是小學(xué)初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的應(yīng)用題。解決這一類問題關(guān)鍵在于看清題意，列出方程，當(dāng)然也可以是不等式，但其本質(zhì)不變都是簡(jiǎn)單的套用公式類的題目。核心公式：利潤收入成本。下面我們來看幾個(gè)例子：1、一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價(jià)，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價(jià)是多少元？解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)為元，可列方程，解得，故甲店定價(jià)為

3、1000（112%）（1+20%）=1056元。2、某公司經(jīng)營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進(jìn)價(jià)12萬元，售價(jià)14.5萬元，每件乙種商品進(jìn)價(jià)8萬元，售價(jià)10萬元，且進(jìn)價(jià)售價(jià)不變，現(xiàn)準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品共20件，所用資金不低于190萬元，不高于200萬元。求（1）該公司有哪幾種進(jìn)貨方案？（2）該公司采用哪種進(jìn)貨方案可獲得最大利潤？最大利潤多少？解析：設(shè)購進(jìn)甲種商品件，乙種商品件，由題意解得，且必須是整數(shù)，所以，所以有3種進(jìn)貨方案。設(shè)利潤為，則，所以當(dāng)選擇方案3，即當(dāng)時(shí)，可獲最大利潤，最大利潤為45萬元。對(duì)于上述2題關(guān)鍵在于學(xué)生能根據(jù)利潤、成本、收入的核心公式列出方程。第1題是小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題，

4、比較簡(jiǎn)單這里就不贅述了。而第2題則是初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題，涉及到不等式和方程組的一些知識(shí)，尤其是在求第（2）問時(shí)，利潤，對(duì)于此題初中常用的方法可能是3種方案（8,12），（9,11），（10,10）羅列出來后，用分類討論的思想將3種方案的利潤都求出來比較利潤大小求得最后答案為選方案3。其實(shí)此題也可用函數(shù)的思想來解決，因?yàn)槔麧?，此函?shù)為一次函數(shù)，單調(diào)遞增，則意味著越大值越大，所以當(dāng)時(shí)，即選方案3時(shí)，獲取最大利潤。解決這一類應(yīng)用題，其核心思想都是方程，本質(zhì)是對(duì)成本、收入、利潤這些基本概念的理解，并列出相關(guān)式子。二、用函數(shù)思想解決利潤類問題所有商人追求的都是利潤最大化，而最大利潤的獲得往往只有兩種途徑

5、：一是薄利多銷，二是提高售價(jià)。薄利未必多銷，因?yàn)樾枨笥邢?；而提高售價(jià)又往往會(huì)使銷量減少。所以如何定好價(jià)，是經(jīng)營決策中一個(gè)非常重要的問題。所以問題較第一類復(fù)雜了些，第一類問題中的售價(jià)進(jìn)價(jià)往往是不變的，那么當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí)我們又該如何來解決呢？下面我們來具體看幾例。1、某商店購進(jìn)一批單價(jià)為40元的商品，如果以60元的價(jià)格銷售則每個(gè)月能賣出300件。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每提高1元，則銷售量減少10件，每降低1元，則銷售量提高20件，問如何定價(jià)才能獲得最大利潤？解析： ，即提高5元時(shí)，獲最大利潤6250。 而由得降低2.5元，獲最大利潤6125元。所以兩者比較后，應(yīng)提高5元，這樣才能獲最大利潤625

6、0元。2、一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都會(huì)客滿，旅社欲提高檔次，并提高租金，如果每增加2元，房客出租數(shù)會(huì)減少10間，不考慮其他因素時(shí)，旅社將房間租金提高到多少時(shí)，每天房客的租金收入最高？解析：設(shè)提高個(gè)2元，則將有間空房空出，每天客房租金總收入為，則當(dāng)時(shí)，。即每間租金為元時(shí)，每天租金總收入最高，為8000元。我們可以把客房看成是商品，則租金就是售價(jià)，租出的客房間數(shù)就是銷量，所以其本質(zhì)是和第一題一樣的題目，區(qū)別在于第二題售價(jià)只提高不減少，而第一題售價(jià)即可提高又可降低，且銷量隨售價(jià)的提高和降低是不同的關(guān)系式，所以我在這里舉了兩例。總之上述兩例的售價(jià)都不是固定的，銷量隨售價(jià)的變化而變化

7、，所以可得出利潤關(guān)于售價(jià)的變化量之間的函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式往往是二次的，所以用二次函數(shù)求最值的知識(shí)就可解決。但是我們也可以發(fā)現(xiàn)這兩例中成本是不變的，且銷量關(guān)于售價(jià)的函數(shù)是一次的，那么如果成本也跟著變化或者銷量關(guān)于售價(jià)的函數(shù)不是一次的，那么這樣的例子我們又該如何解決呢？下面我們?cè)賮砜磧衫?、霓虹化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年度進(jìn)行一系列的促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足與成反比例。如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元。每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元。當(dāng)將每件化妝品的售價(jià)定為“

8、年平均成本的150%”與“年平均每件所點(diǎn)促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等。求當(dāng)該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤最大？解析：由題意，代入得，則年銷量，售價(jià)為，則由均值不等式得當(dāng)時(shí)，萬元。4、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格（元/噸）之間的關(guān)系式為：，且生產(chǎn)噸的成本為（元），問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸時(shí)能獲取最大利潤，最大利潤多少？解析：設(shè)每月生產(chǎn)噸的利潤為元，則，由得舍去），此時(shí)，則每月生產(chǎn)200噸時(shí)獲最大利潤315萬元。第3題的成本是變化的，既涉及促銷費(fèi)用又涉及固定投資和追加投資，而第4題是售價(jià)關(guān)于銷量是二次的且成本也變化的題目，所以在解這2

9、題時(shí)肯定比前2題要復(fù)雜些。對(duì)于第3題其列出來的函數(shù)經(jīng)過整理后為，對(duì)于這一問題求最值，用均值不等式最為簡(jiǎn)單。而對(duì)于第4題的求解，因?yàn)槠浜瘮?shù)列出來經(jīng)過整理后為，是三次的函數(shù)求最值，那么我們當(dāng)然可以使用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決此問題。上述例題雖然使用了不同的方法來求最大利潤，但其本質(zhì)是一致的，都是列出利潤關(guān)于銷量或售價(jià)的函數(shù)后，求函數(shù)最值的問題，所以用函數(shù)思想來解決求利潤最大的問題是極有效的一種思想。三、用數(shù)學(xué)期望解決利潤類問題數(shù)學(xué)課堂中的實(shí)際應(yīng)用問題都是簡(jiǎn)化了的有很多假設(shè)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)際問題則更加復(fù)雜化，多元化。經(jīng)濟(jì)生活中我們追求利潤、利益的最大化，供不應(yīng)求和供過于求都不利于利潤的最大化，但需求量（銷售量

10、）、供應(yīng)量都是不是簡(jiǎn)單直觀的量，批量生產(chǎn)有助于降低成本但并非生產(chǎn)越多越好；而需求量更是不好預(yù)測(cè)的量，它可能隨定價(jià)的高低、經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的好壞、對(duì)手公司是否推出類似產(chǎn)品，市場(chǎng)上是否有其他替代品而有很明顯的變化，所以需求量（銷售量）往往是一個(gè)隨機(jī)變量。所以理性的決策者會(huì)想方設(shè)法建立更貼近現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型。在解決利潤效益類問題時(shí)，理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），利用數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。比如：1、某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，方案有兩種，一是購買股票，二是存銀行獲取利息。買股票的收益決定于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若形勢(shì)好可收益4萬元，若形勢(shì)中可收益1萬，若形勢(shì)差則虧本2萬。如果存銀行，

11、假設(shè)年利率為10%，可得利息1萬元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率為0.3、0.5、0.2，試問選擇哪種方案能使投資回報(bào)率最大？解析：此題為投資收益類題目，其實(shí)質(zhì)仍可歸結(jié)為求利潤最大的問題。存銀行獲取利息的收益是不變的，而投資股票則收益高但同時(shí)也伴隨著風(fēng)險(xiǎn)，經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好時(shí)收益好，而經(jīng)濟(jì)形勢(shì)差時(shí)則要虧損，事先不知道哪種形勢(shì)會(huì)出現(xiàn)，所以要比較兩種投資方案獲利的期望大小。購買股票的獲利期望為萬元，存銀行的獲利期望為萬元。因?yàn)?，所以選擇投資股票。2、某商場(chǎng)某產(chǎn)品每周的銷售量是一個(gè)隨機(jī)變量，分布列為 ，而商場(chǎng)每周的進(jìn)貨量為區(qū)間中的某一整數(shù)，每銷售一件可獲利5000，若供大于求，則每積壓一件產(chǎn)品虧損1000，

12、若供不應(yīng)求，則從其他商店調(diào)劑，僅獲利2000元，問此商場(chǎng)初進(jìn)貨（包括存貨）應(yīng)為多少才能使周平均利潤最大？解析：該題每周的銷售量是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，是等概率的分布列，則每周的利潤是銷售量的函數(shù)，也為隨機(jī)變量。設(shè)商場(chǎng)初進(jìn)貨（包括存貨）每周為，每周利潤為隨機(jī)變量，則 所以當(dāng)時(shí)，即周進(jìn)貨量為18件時(shí)，周平均利潤最大，為73800元。3、國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種出口產(chǎn)品的需求量在上服從均勻分布，每出口1噸可獲利3萬元，積壓1噸則虧損2萬元，問該公司應(yīng)準(zhǔn)備多少噸該種貨物，才能使所獲利潤最大？解析：該題的需求量是一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)變量，利潤是需求量的函數(shù)。設(shè)準(zhǔn)備噸，則利潤 又已知的概率密度函數(shù)為由于是隨機(jī)變

13、量的函數(shù)，故其數(shù)學(xué)期望為： 則是關(guān)于的一個(gè)二次函數(shù)，求最值由配方法可得當(dāng)時(shí)，最大。所以該公司應(yīng)準(zhǔn)備3200噸該種貨物，才能使所獲利潤最大。對(duì)于上述3例，題目則比前兩類例題要復(fù)雜得多，有更多不確定的因素而使可能出現(xiàn)的結(jié)果也是不確定的，在解決這類利潤效益類問題時(shí)，理性的商家往往可以根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），利用數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)來制定最佳生產(chǎn)和銷售策略。第1題是相對(duì)較簡(jiǎn)單的題目，因?yàn)槠涫找妫ɡ麧櫍┦且浑S機(jī)變量，求其數(shù)學(xué)期望值則只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算即可。而第2、第3題，因?yàn)槠湫枨罅浚ㄤN售量）是一個(gè)隨機(jī)變量，而利潤是關(guān)于需求量的函數(shù)，所以問題就復(fù)雜得多了，這兩題的區(qū)別在于第2題中銷售量是離散型的隨機(jī)變量，而第3題中的銷售量是連續(xù)型的隨機(jī)變量，所以第3題還用到了微積分的相關(guān)知識(shí)。綜上所述，解決利潤類的應(yīng)用題，我們可用方程思想、函數(shù)思想或用數(shù)學(xué)期望來解決。用方程思想可解決售價(jià)進(jìn)價(jià)是固定的一類問題，當(dāng)售價(jià)進(jìn)價(jià)變化時(shí)，我們則往往用函數(shù)思想來解決，且這兩