高中數(shù)學(xué) 1.1基本計(jì)數(shù)原理 新人教B版選修2-3

1、成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教B版 選修2-3,計(jì)數(shù)原理,第一章,上海影城是國(guó)內(nèi)和東南亞最大的影城之一，共有幾座風(fēng)格各異的電影放映廳，SR立體聲音響效果撼人第一放映廳：紅色基調(diào)熱烈輝煌，銀幕寬22米，高10.5米上海影城建筑風(fēng)格獨(dú)特典雅，環(huán)境恢宏氣派，功能設(shè)施齊全，作為世界12大A類(lèi)電影節(jié)之一上海國(guó)際電影節(jié)的主會(huì)場(chǎng)，已成為上海標(biāo)志性的文化建筑 某次電影展，有12部參賽影片，影展組委會(huì)要在兩天內(nèi)在某一影院播映這12部電影，每天6部，其中有2部電影要求不在同一天放映，共有多少種不同的排片方案,1.1基本計(jì)數(shù)原理,第一章,隨意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，則

2、： (1)這3人的值班順序共有多少種不同的排列方法？ (2)這3人的值班順序中，甲在乙之前的排法有多少種？ 答案：(1)3個(gè)人值班的順序所有可能的情況如下圖所示 甲乙丙丙乙乙甲丙丙甲丙甲乙乙甲 由上圖知，所有不同的排列順序共有6種 (2)由上圖知，甲排在乙之前的排法有3種,一、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 做一件事，完成它有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法。 應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理要注意的問(wèn)題： (1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事

3、,2)完成這件事的n類(lèi)方法是相互獨(dú)立的，無(wú)論哪種方案中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他的方法 (3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對(duì)“這件事”進(jìn)行分類(lèi)，要求每一種方法必屬于某一類(lèi)方案，不同類(lèi)方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類(lèi)時(shí)必須既不重復(fù)也不遺漏,某班有男生26人，女生24人，從中選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表，則不同選法的種數(shù)是() A50B26 C24 D616 答案A 解析選一位同學(xué)或者選男生，或者選女生，用加法原理完成,二、分步乘法計(jì)數(shù)原理 做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同方法做第n個(gè)步驟有mn種不同方法，那么完成這

4、件事共有Nm1m2mn種不同的方法 應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要注意的問(wèn)題： (1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某一步驟的某種方法是不能完成這件事的，也就是說(shuō)必須要經(jīng)過(guò)幾步才能完成這件事,2)完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步驟，這件事都不可能完成 (3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏,某商場(chǎng)共有4個(gè)門(mén)，購(gòu)物者若從一個(gè)門(mén)進(jìn)，則必須從另一個(gè)門(mén)出，則不同走法的種數(shù)是() A8 B7 C11 D12 答案D 解析從一個(gè)門(mén)進(jìn)有4種選擇，從另一個(gè)門(mén)出有3種

5、選擇，共有4312(種)走法,三、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)系 (1)共同點(diǎn)：兩個(gè)原理都是把一個(gè)事件分解成若干個(gè)事件來(lái)完成 (2)不同點(diǎn)：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)有關(guān)，分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)具體講解如下如果完成一件事情有n類(lèi)方案，這些方案彼此之間相互獨(dú)立，無(wú)論哪一類(lèi)方案中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，如果完成一件事情需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事情，而完成每一個(gè)步驟有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理,應(yīng)用兩個(gè)計(jì)算數(shù)原解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題： 在解決簡(jiǎn)

6、單問(wèn)題時(shí)，首先要弄清是分類(lèi)還是“分步”判斷的主要方法是結(jié)合題目中的條件及結(jié)論，研究題中涉及的方法能否獨(dú)立完成任務(wù)，若能獨(dú)立完成，則用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解決，在此種方法中應(yīng)注意各類(lèi)方法不重不漏；若所涉及方法不能單獨(dú)完成任務(wù)，則用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決，在此種方法中要合理設(shè)計(jì)步驟、順序，各步互不干擾然后，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理的公式解決,某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂(lè)器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？ 解析由題意知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(稱為“多面手”)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人按“

7、多面手”的選法分為兩類(lèi)： (1)“多面手”入選，則有628(種)選法； (2)“多面手”不入選，則有6212(種)選法 因此選法共有81220(種,四、涂色問(wèn)題 涂色問(wèn)題是指用幾種不同顏色給已知圖形的區(qū)域涂色，共有幾種涂色法的問(wèn)題 圖形涂色問(wèn)題是利用兩個(gè)原理處理的一種對(duì)能力要求較高的問(wèn)題，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題意，找準(zhǔn)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) 關(guān)注圖形特征區(qū)域的個(gè)數(shù)、區(qū)域間的相鄰情況、圖形形狀，都有可能使分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)、分類(lèi)的過(guò)程不同,關(guān)注幾種顏色，題中要求什么條件若圖形不是很規(guī)則，往往從某一區(qū)域開(kāi)始進(jìn)行涂色，選用分步乘法計(jì)數(shù)原理；如果圖形具有一定的對(duì)稱性，那么先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)

8、再進(jìn)行分步 注意前后分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)一致，不重不漏，分步要仔細(xì)，考慮全面 涂色問(wèn)題大致有兩種方案： 1選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算,2首先根據(jù)涂色時(shí)所用色數(shù)的多少，進(jìn)行分類(lèi)處理，然后在每一類(lèi)的涂色方案的計(jì)算上需要用到分步乘法計(jì)數(shù)原理最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理對(duì)每一類(lèi)的涂色方法數(shù)求和即得到最終涂色方法數(shù),如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個(gè)區(qū)域里種1種花，且相鄰的2個(gè)區(qū)域種不同的花，則不同的種法種數(shù)為() A96 B84 C60 D48 答案B,解析A有4種不同種法； B有3種不同種法； 對(duì)于C可分為兩類(lèi)，若C與A種相同的花，

9、則D有3種不同種法；若C與A種不同的花，則C有3種不同種法，D也有2種不同種法 所以共有43(322)84(種)不同的種法故選B,在填寫(xiě)高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，具體情況如下表所示，那么，這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇有多少種,分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,分析由于這名同學(xué)在A，B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專(zhuān)業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，因此符合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的條件 解析這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)的一所，在A大學(xué)中有5種專(zhuān)業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專(zhuān)業(yè)選擇方法，又由于沒(méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這名同

10、學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇共有549(種) 方法總結(jié)使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),高三一班有學(xué)生50人，男30人，女20人；高三二班有學(xué)生60人，男30人，女30人；高三三班有學(xué)生55人，男35人，女20人 (1)從一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？ (2)從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？ 解析(1)506055165(種)，即所求選法有165種 (2)30302080(種)，即所求選法有80種,某商店現(xiàn)有甲種型號(hào)電視機(jī)10臺(tái)，乙種型號(hào)電視機(jī)8臺(tái)，丙種型號(hào)電視機(jī)12臺(tái)，從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選

11、一臺(tái)檢驗(yàn)，有多少種不同的選法？ 分析解答本題可按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每一步從不同型號(hào)電視機(jī)中選擇一點(diǎn)，各步執(zhí)行完成后，各步的方法數(shù)相乘即可,分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,解析完成從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選一臺(tái)檢驗(yàn)可分三步完成： 第一步：從甲種型號(hào)中選一臺(tái)，有10種不同的方法； 第二步：從乙種型號(hào)中選一臺(tái)，有8種不同的方法； 第三步：從丙種型號(hào)中選一臺(tái)，有12種不同的方法； 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得10812960(種) 因此共有960種不同的方法 方法總結(jié)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)，首先要確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)，其次，還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算圓滿完成,設(shè)某班有男

12、生30名，女生24名現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？ 解析第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同的選法； 第二步，從24名女生中選出1人，有24種不同的選法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3024720種不同的選法,現(xiàn)有高一四個(gè)班學(xué)生34個(gè)，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組 (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？ (3)推選二人作中心發(fā)言，這二人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？ 分析(1)是從四個(gè)班的34人中選一人，應(yīng)分類(lèi)求解，(2)是從各班中選一人，共選4人，

13、應(yīng)分步求解，(3)是先根據(jù)不同班級(jí)分類(lèi)，再分步從兩個(gè)班級(jí)中各選1人,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,解析(1)分四類(lèi)，第一類(lèi)，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類(lèi)，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類(lèi)，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類(lèi)，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法，所以，共有不同的選法 N7891034種 (2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng)，所以共有不同的選法N789105 040種,3)分六類(lèi)，每類(lèi)又分兩步；從一班、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；

14、從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、 四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法，所以共有不同的選法N787971089810910431種 方法總結(jié)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，不能只用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決時(shí)，可以綜合應(yīng)用兩個(gè)原理，可以先分類(lèi)，在某一類(lèi)中再分步，也可先分步，在某一步中再分類(lèi),4名同學(xué)去爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，不允許并列，共有多少種不同的情況？ 錯(cuò)解錯(cuò)解1：第一步，第1位同學(xué)去奪這3項(xiàng)冠軍，有可能1項(xiàng)都不奪或奪1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)，因此有4種不同的情況； 第二步，第2位同學(xué)去奪這3項(xiàng)冠軍也有4種不同的情況； 第二步，第2位同學(xué)去奪這3項(xiàng)冠軍也有4種不同的情況； 同理第3位、第4位同學(xué)也各有4種不同的情況 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有444444256種不同的情況,錯(cuò)解2：第一步，第1位同學(xué)去爭(zhēng)冠軍，有3種不同的情況； 第二步，第2位同學(xué)去爭(zhēng)冠軍，也有3種不同的情況； 同理第3位、第4位同學(xué)也各有3種不同的情況 由分