二次函數(shù)恒成立問題

1、.二次函數(shù)恒成立問題2016年8月東莞莞美學(xué)校一、恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：二、恒成立問題常見的解題策略：策略一：利用二次函數(shù)的判別式 對于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例1.若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時，不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。策略二:利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意

2、x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例2.已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為. 策略三：利用零點(diǎn)分布例3.已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.Oxyx-

3、1變式：設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。策略四：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立例4.函數(shù)，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 變式：已知函數(shù)時恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問題

4、轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個變量看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。例5.若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是總結(jié)：利用了一次函數(shù)有：變式：對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不

5、等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當(dāng)時，可得，不合題意。當(dāng)時，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。策略六：消元轉(zhuǎn)化例6.已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解析 本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要， 點(diǎn)評 對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題,可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為

6、只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問題得以順利解決。3、 鞏固練習(xí)1.（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）設(shè).則關(guān)于的不等式的解集為在上恒成立,即解得（2）設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2. 若函數(shù)在R上恒成立，求m的取值范圍。分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且

7、注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 時， 成立 時，由，可知，3. 已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求t的取值范圍.解：依定義在區(qū)間上是增函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立;而在區(qū)間上恒成立又等價于在區(qū)間上恒成立;設(shè)進(jìn)而在區(qū)間上恒成立等價于考慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則. 于是, t的取值范圍是.4. 已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).對滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解法1.由題意，這一問表面上是一個給出參數(shù)的范圍，解不等式的問題，實(shí)際上，把以為變量的函數(shù)，改為以為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即 令，則對，恒有，即，從而轉(zhuǎn)化為對，恒成立，又由是的一次函

8、數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此只需 即解得.故時，對滿足的一切的值，都有.解法2.考慮不等式.由知,于是,不等式的解為 .但是,這個結(jié)果是不正確的,因?yàn)闆]有考慮的條件,還應(yīng)進(jìn)一步完善.為此,設(shè).不等式化為恒成立,即.由于在上是增函數(shù),則,在上是減函數(shù),則所以, .故時，對滿足的一切的值，都有.5. 若對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求的取值范圍。解法一：原不等式化為令，則，即在上恒大于0。若，要使，即， 不存在若，若使，即 若，要使，即，由，可知，。解法二：，在上恒成立。由，可知，。6. 已知函數(shù)對于一切成立，求a的取值范圍。7. 已知函數(shù)對于恒成立，求m的取值范圍。8. 若不等式在內(nèi)恒成立，求a的取值范圍。9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。