第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型課件

1、第八講 二叉樹(shù)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.1 單步二叉樹(shù)圖 8.1.1 二叉樹(shù)圖的構(gòu)造 問(wèn)題 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20，三個(gè)月后的價(jià)格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。有效期為3個(gè)月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為$21。如何對(duì)該期權(quán)進(jìn)行估值,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,思路 根據(jù)期權(quán)的特性，顯然可以用圖8-1所示的二叉樹(shù)圖來(lái)描述股票和期權(quán)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)。 如果能夠用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個(gè)組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（無(wú)套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價(jià)格是已知的，于是可以得出期權(quán)的價(jià)格。 構(gòu)造一

2、個(gè)證券組合，該組合包含一個(gè)股股票多頭頭寸和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。是否可有多種構(gòu)造方法,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,由圖8-1可知，當(dāng)股票價(jià)格從$20上升到$22時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為22-1；當(dāng)股票價(jià)格從$20下降到$18時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為18。 完全可以選取某個(gè)值，使得該組合的終值對(duì)在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。 由 221=18 得 =0.25 是否一定為正? 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合由0.25股股票和一個(gè)期權(quán)空頭構(gòu)成。通過(guò)計(jì)算可知，無(wú)論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價(jià)值總是$4.5,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型

3、,在無(wú)套利假設(shè)下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.120.25=4.3674 股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為$20。用f表示期權(quán)的價(jià)格。因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633 如果期權(quán)價(jià)格偏離0.633，則將存在套利機(jī)會(huì),第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.1.2 一般結(jié)論 考慮一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，股票價(jià)格為S?；谠摴善钡哪硞€(gè)衍生證券的當(dāng)前價(jià)格為f。假設(shè)當(dāng)前時(shí)間為零時(shí)刻，衍生證券給出了在T時(shí)刻的盈虧狀況 。 一個(gè)證券組合由股的股票多頭和一個(gè)衍生證券空頭構(gòu)成。 如果股票價(jià)格上升,在有效期末該組合的價(jià)值為： 如果股票價(jià)格

4、下降，在有效期末該組合的價(jià)值為,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,當(dāng)兩個(gè)價(jià)值相等時(shí) 即 （9.1） 該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，收益必得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。在T時(shí)刻的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，是衍生證券價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之比,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,用r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 而構(gòu)造該組合的成本是： 因此,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,將式（9.1）代入上式，得到 其中 （9.3）風(fēng)險(xiǎn)中性概率 運(yùn)用單步二叉樹(shù)圖方法，式（9.2）和（9.3）就可為衍生證券估值,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.1.3 股票預(yù)期收益的無(wú)關(guān)性 衍生證券定價(jià)公式（9.2）并沒(méi)有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符

5、合人們的直覺(jué)，因?yàn)槿藗兒茏匀坏丶僭O(shè)假設(shè)如果股票價(jià)格上升的概率增加，基于該股票的看漲期權(quán)價(jià)值也增加，看跌期權(quán)的價(jià)值則減少。 之所以如此，原因在于，我們并不是在完全的條件下為期權(quán)估值，而只是根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)格估計(jì)期權(quán)的價(jià)值。未來(lái)上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià)格中。它說(shuō)明，當(dāng)根據(jù)股票價(jià)格為期權(quán)估值時(shí)，我們不需要股票價(jià)格上漲下降的概率,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值 8.2.1 風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理 式（9.2）中的變量p可以解釋為股票價(jià)格上升的概率，于是變量1p就是股票價(jià)格下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍生證券的預(yù)期收益。于是，式（9.2）可以表述為：衍生證券的價(jià)值

6、是其未來(lái)預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,同樣，按照上式對(duì)p的解釋?zhuān)赥時(shí)刻預(yù)期的股票價(jià)格 即 將式（9.2）中的p代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4） 這表明，平均來(lái)說(shuō)，股票價(jià)格以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)。因此，設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率等于p就是等價(jià)于假設(shè)股票收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,我們把每一個(gè)人是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性世界（ risk-neutral world ）。在這樣的世界中，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ)償，所有證券的預(yù)期收高效益是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 式（9.4）說(shuō)明，當(dāng)設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率為p時(shí)，我們就在假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界 。 式（9.2）說(shuō)明，衍生證券的

7、價(jià)值是其預(yù)期收益在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 以上過(guò)程表明，當(dāng)為期權(quán)和其它衍生證券估值時(shí)，完全可以假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的。這就是所謂風(fēng)險(xiǎn)中性（risk-neutral valuation）原理。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的價(jià)格，在現(xiàn)實(shí)世界中也是正確的,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.2.2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值舉例 我們將風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理運(yùn)用于圖8-1的例子。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票的預(yù)期收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率12。則有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個(gè)月末尾:看漲期權(quán)價(jià)值為$1的概率為0.6523，價(jià)值為零的概率為

8、0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.3 兩步二叉樹(shù)圖 8.3.1 兩步二叉樹(shù)圖的構(gòu)造 假設(shè)一種股票開(kāi)始的價(jià)格為$20，并在圖8-3所示的兩步二叉樹(shù)圖的每個(gè)單步二叉樹(shù)圖中，股票價(jià)格可以上升10或者下降10。 假設(shè)在每個(gè)單步二叉樹(shù)的步長(zhǎng)是三個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是年率12?？紤]一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為$21的期權(quán)。 在圖8-3中，很容易得到，在節(jié)點(diǎn)D，期權(quán)價(jià)格為$3.2；在節(jié)點(diǎn)E和F，期權(quán)價(jià)格為零。 在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格計(jì)算如下,第八講期權(quán)二叉樹(shù)

9、定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 在節(jié)點(diǎn)C，期權(quán)價(jià)格為0。 在節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)格為： e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 在構(gòu)造這個(gè)例子時(shí)，u和d(股票價(jià)格上升和下降的比率)在樹(shù)圖的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上是相同的，每個(gè)單步二叉樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是相等的。由式（9.3）可得風(fēng)險(xiǎn)中性的概率p，它在每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是相同的,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.3.2 一般結(jié)論 如圖8-4所示，初始股票價(jià)格為S。在每個(gè)單

10、步二叉樹(shù)中，股票價(jià)格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是r。每個(gè)單步二又樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是t年。 重復(fù)式（9.2）的計(jì)算，給出： （9.5） （9.6） （9.7,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,將式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到： 式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是達(dá)到最后上、中、下三個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率。衍生證券的價(jià)格等于它在它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 如果在樹(shù)圖中加入更多的步(step)以推廣應(yīng)用二叉樹(shù)圖方法，風(fēng)險(xiǎn)中性估值的原理一直是成立的。衍生證券的價(jià)格總是等于它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值,

11、第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.3.3 看跌期權(quán)的例子 考慮一個(gè)兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價(jià)格為$52，當(dāng)前價(jià)格為$50。 假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年。在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)格或者按比率上升20，或者按比率下降20。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5。 構(gòu)造如圖8-5所示的兩步二叉樹(shù)圖。風(fēng)險(xiǎn)中性概率P的值為,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,最后股票的可能價(jià)格為$72、$48和$32。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式（9.8），得到看跌期權(quán)的價(jià)格 f=e-20.051(0.628220+ 20.62820.37184+0.3718220)=4.1

12、923 利用每個(gè)單步二步二叉樹(shù)向回倒推算，也可以得到這個(gè)結(jié)果。 實(shí)際上，如果股票價(jià)格的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運(yùn)用二叉樹(shù)模型進(jìn)行估值,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,84 美式期權(quán)估值 8.4.1 方法 二叉樹(shù)模型可以用于為美式期權(quán)估值。方法是：從樹(shù)圖的最后末端向開(kāi)始的起點(diǎn)倒推計(jì)算。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值相同。在較早的一些節(jié)點(diǎn)，期杈的價(jià)值是取如下兩者之中較大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前執(zhí)行所得的收益,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,9.4.2 舉例 考慮一個(gè)兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價(jià)格為$52，當(dāng)前價(jià)

13、格為$50。假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年，在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)格或者按比率上升20，或者按比率下降20。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5。 如圖8-6所示，在節(jié)點(diǎn)B，期權(quán)的價(jià)值為$1.4147，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-$8)。在節(jié)點(diǎn)B提前執(zhí)行不是明智的，此時(shí)期權(quán)價(jià)值為1.4147。在節(jié)點(diǎn)C，期權(quán)的價(jià)值為$9.4636，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是最佳的，因此期權(quán)的價(jià)值為$12.0,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,在初始節(jié)點(diǎn)A，求出的期權(quán)價(jià)值為: f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0) =5.0894 而提前執(zhí)行的

14、價(jià)值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價(jià)值為$5.0894,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.5 Delta 8.5.1 Delta的含義 股票期權(quán)的Delta是股票期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的股票價(jià)格的變化之比，是為了構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣(mài)空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。 構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱(chēng)之為Delta對(duì)沖(delta hedging)。 看漲期權(quán)的Delta是正值，而看跌期權(quán)的Delta是負(fù)值,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,8.5.2 Delta的計(jì)算 以圖8-2所示的看漲期權(quán)估值為例，該看漲期權(quán)的Delta計(jì)算如下： 這是因?yàn)楫?dāng)股票價(jià)格從18變化到22時(shí)，期權(quán)價(jià)格從0變化到1。 在圖8-3中，對(duì)于第一個(gè)時(shí)間步，股票價(jià)格變動(dòng)的Delta為,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,如果在第一個(gè)時(shí)間步之后，還有一個(gè)向上的運(yùn)動(dòng)，則在第二個(gè)時(shí)間步股票價(jià)格變動(dòng)的Delta為： 如果在第一個(gè)時(shí)間步之后，還有一個(gè)向下的運(yùn)動(dòng)，則在第二個(gè)時(shí)間步股票價(jià)格變動(dòng)的Delta為,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,在圖8-5中，第一個(gè)時(shí)間步的Delta為： 在第二個(gè)時(shí)間步，有兩個(gè)Delta： 或者,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,上面的兩個(gè)例子說(shuō)明，Delta值隨時(shí)間而變化。這意味著利用期權(quán)和標(biāo)的股票來(lái)保持一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，我們需要定期調(diào)整我們所持有的股票數(shù)量,第八講期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)模型,9.6