三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式

1、3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解定理3、定理4，會(huì)用兩個(gè)定理解決函數(shù)的最值或值域問(wèn)題.2.能運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)鏈接1應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，求最值應(yīng)注意什么？答案三個(gè)正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)正數(shù)相等時(shí)取得2設(shè)a，b，c為正數(shù)，如何證明a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)答案a3b3c33abca3b3c33abc0(abc)(a2b2c2abbcac)0(abc)(ab)2(bc)2(ca)20.由于abc0且(ab)2(bc)2(ca)20，因而(abc)(ab)2(bc)2(ca)2

2、0成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立預(yù)習(xí)導(dǎo)引1三個(gè)正數(shù)算術(shù)幾何平均不等式當(dāng)a、b、cR時(shí)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立，稱(chēng)為正數(shù)a，b，c的算術(shù)平均，為正數(shù)a，b，c的幾何平均2基本不等式的推廣情形如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立要點(diǎn)一利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式證明不等式例1設(shè)a、b、cR，求證：(1)(abc)227；(2)(abc).證明(1)a，b，cR，abc30，從而(abc)290，又30，(abc)23927，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立(2)a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立規(guī)律方法認(rèn)真觀察要

3、證的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式的式子跟蹤演練1已知a，b，c都是正數(shù)，求證：32.證明32abcab32c32c3330，原不等式成立要點(diǎn)二利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式求最值例2已知x，yR且x2y4，試求xy的最小值及達(dá)到最小值時(shí)x、y的值解 x，yR且x2y4，xyxxy333，當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立又x2y4.當(dāng)x2，y1時(shí)，xy取最小值3.規(guī)律方法利用注意三個(gè)正數(shù)的基本不等式應(yīng)用的條件是“一正二定三相等”，在求最值時(shí)，一定要求出等號(hào)成立時(shí)未知數(shù)的值，如果不存在使等號(hào)成立的未知數(shù)的值，則最值不存在跟蹤演練2求ysin xcos2x，x的最大值解x，sin

4、 x0，y0.y2sin2 xcos4 x33.故y，此時(shí)，2sin2 xcos2 x，tan2 x，y有最大值.要點(diǎn)三三個(gè)正數(shù)的基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例3已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積解設(shè)圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得，r(Hh)V圓柱r2h(Hh)2h(0hH)根據(jù)三個(gè)正數(shù)的基本不等式可得V圓柱h3R2H.當(dāng)且僅當(dāng)h，即hH時(shí)，V圓柱最大R2H.規(guī)律方法利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟理解題意，設(shè)變量設(shè)變量時(shí)一般要把所求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為

5、求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；驗(yàn)證相等條件，得出結(jié)論跟蹤演練3設(shè)長(zhǎng)方體的體積為1 000 cm3，則它的表面積的最小值為_(kāi) cm2.答案600解析設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則abc1 000，且a0，b0，c0.它的表面積S2(abbcca)23600.當(dāng)且僅當(dāng)abc10(cm)時(shí)取“”號(hào)它的表面積S的最小值為600 cm2.1已知x為正數(shù)，下列求最值的過(guò)程正確的是()Ayx22x36，ymin6By2x33，ymin3Cy2x4，ymin4Dyx(1x)(12x)3，ymax答案C2函數(shù)yx2(15x)的最大值為()A. B. C. D.答案A

6、解析yx2(15x)xx(15x)3，當(dāng)且僅當(dāng)x15x，即x時(shí)，等號(hào)成立3已知a，b，c為正數(shù)，則有()A最小值3 B最大值3C最小值2 D最大值2答案A解析33，當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)4函數(shù)yx(x0)的最小值為_(kāi)答案解析yx3.當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)等號(hào)成立(1)求實(shí)際問(wèn)題的最值一定要注意變量應(yīng)在實(shí)際允許的范圍內(nèi)取值，在使用三個(gè)正數(shù)的基本不等式定理求最值時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)等號(hào)是否成立(2)求形如yax2(x0，a0，b0)的函數(shù)的最小值，關(guān)鍵是拆為，則yax2ax23.求形如yax(x0，a0，bc0)的函數(shù)的最小值，關(guān)鍵是拆ax為，則yax3.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1已知x為正數(shù)，下列各題求

7、得的最值正確的是()Ayx22x36，ymin6.By2x33，ymin3.Cy2x4，ymin4.Dyx(1x)(12x)3，ymax.解析：選CA、B、D在使用不等式abc3(a，b，cR)和abc3(a，b，cR)都不能保證等號(hào)成立，最值取不到C中，x0，y2x2224，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)，等號(hào)成立2已知a，b，c為正數(shù)，則有()A最小值3 B最大值3 C最小值2 D最大值2解析：選A33，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時(shí)，等號(hào)成立3若logxy2，則xy的最小值是()A. B. C. D.解析：選A由logxy2，得y.而xyx33，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，等號(hào)成立4已知圓柱的軸截面周長(zhǎng)為6，體積為V

8、，則下列不等式總成立的是()AV BV CV DV解析：選B設(shè)圓柱底面半徑為r，則圓柱的高h(yuǎn)，所以圓柱的體積為Vr2hr2r2(32r)3.當(dāng)且僅當(dāng)r32r，即r1時(shí)，等號(hào)成立5若a2，b3，則ab的最小值為_(kāi)解析：a2，b3，a20，b30，則ab(a2)(b3)5358.當(dāng)且僅當(dāng)a2b3，即a3，b4時(shí)，等號(hào)成立答案：86設(shè)0x1，則x(1x)2的最大值為 _.解析：0x0.故x(1x)22x(1x)(1x)3(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，等號(hào)成立)答案：7已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)解析：2x(xa)(xa)2a.xa0，2x32a32a，當(dāng)且僅當(dāng)xa即xa1時(shí)，

9、等號(hào)成立2x的最小值為32a.由題意可得32a7，得a2.答案：28設(shè)a，b，cR，求證：(abc).證明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.30，(abc).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立9已知正數(shù)a，b，c滿足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值解：因?yàn)?a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以(a2)(b2)(c2)的最小值為27.10已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c226，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立證明：法一：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式，得a2b2c2，所以2.故a2b2c22.又26，所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，式和式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，式等號(hào)成立即當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，原式等號(hào)成立法二：因?yàn)閍，b