2015屆理科數(shù)學(xué)測試題(2)

1、2015 屆理科數(shù)學(xué)測試題（2）學(xué)號 _姓名 _一選擇題：本大題共8 小題，每小題 5 分，滿分40 分1設(shè)全集 I x |3 x3, xZ, A1,2, B 2,1,2 ，則 A (C I B)( )A 1B l,2C0,1,2D 一 1,0,1,22復(fù)數(shù) z 滿足 (1i ) z(1 i) 2 , 其中 i為虛數(shù)單位 ,則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)z 對應(yīng)的點位（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是減函數(shù)的為（）.A y x 1B y1C yx3D y ln xx4.在 ABC 中，若A60 ,B 45 , BC3 2 ，則 AC（） .A

2、 4 3B 2 3CD 5.如圖右所示，該程序運行后輸出的結(jié)果為()A 14B 16C18D 646.設(shè) l 為直線，,是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若 l/， l /，則C若 l， l /，則/B若 l， l，則/D若， l /，則 l7現(xiàn)有 16 張不同卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各張，從中任取張，要求這張不能是同一顏色，且紅色卡片至多張，不同的取法為（）A 232 種B 252 種C 472 種D 484 種8.下列命題中假命題的個數(shù)是（）,R ,使 cos()cossin ；a0, 函數(shù) f (x)ln 2 xln xa有零點,使 ()(1)m24 m 3是冪函數(shù)

3、,且在 ( 0,)上遞減mRfxmxx若函數(shù)()21 ，則x , x0,1 且 xx，使得f ( x )f ( x )fx121212A 0B 1C 2D 3二、填空題：本大題共7 小題，考生作答6 小題，每小題5 分，滿分30 分（一）必做題（9 13 題）9.函數(shù) ylg(x22 x3) 的定義域是 _10.某工廠的某種型號的機器的使用年限x 和所支出的維修費用y (萬元 )有下表的統(tǒng)計資料如圖：根據(jù)上表可得回歸方程y1.23x a，則xa_.x,2 ,且y11. 已知向量 p2, 3 , qpq ，則 pq 的值為.234562.23.85.56.57.012. 已知 an 是等差數(shù)列，

4、 bn 是等比數(shù)列，其公比 q 1 ，若 a1 b1 a11b11 ，且 an 和 bn 各項都是正數(shù)，則a6 與 b6 的大小關(guān)系是 _. （填 “ ”或 “ ”或 “ ”）13 .已知拋物線 C : y22 px 與雙曲線 x2y21 的右焦點重合，則拋物線C 上的動點 M 到直線 l1 ：34x 3 y 60 和 l2 : x2 距離之和的最小值為 _.2015 屆理科數(shù)學(xué)測試題（2）第 1 頁. （二）選做題（1415 題）14（ 坐標系與參數(shù)方程選做題） 在極坐標中，已知直線 l 方程為cos sin1，點 Q 的坐標為 ( 2,) ，3則點 Q 到 l的距離 d 為 _15（幾何證

5、明選講選做題）如圖，平行四邊形ABCD 中， AE ： EB1： 2， AEF 的面積為 1cm2,則平行四邊形 ABCD 的面積為 _cm2.三、解答題：本大題共6 小題，滿分80 分16（12 分）已知函數(shù)f x2sin x cos xsin x( xR).（1）求 f5的值；（2）求 fx 在區(qū)間 0,上的最大值及相應(yīng)的x 值 .617（分） 為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識 ,某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500 名志愿中隨機抽取100名志愿者 ,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是 :20,25 , 25,30 , 30,35, 35,40 , 40,45.(1)求

6、圖中 x 的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500 名志愿者中年齡在35,40歲的人數(shù)；(2)在抽出的100 名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20 名參加中心廣場的宣傳活動,再從這 20 名中采用簡單隨機抽樣方法選取 3 名志愿者擔任主要負責人.記這 3 名志愿者中 “年齡低于35歲”的人數(shù)為 X , 求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.2015 屆理科數(shù)學(xué)測試題（2）第 2 頁18. （ 4 分） 如圖，在長方體ABCD A1B1C1 D1 中， AD = AA1=1， AB2 ，點 E 是線段 AB 中點.(1)求證： D1 ECE ;D1C(2)求二面角 D1ECD 的大小的余弦值；1A1(3

7、)求 A 點到平面 CD1 E 的距離 .B1DCABE19（14分）在 已知等差數(shù)列 an中 a11, 公差 d0 且 a2 , a5 , a14 分別是等比數(shù)列 bn 的第二項、第三項、第四項 . （1）求數(shù)列 an，bn 的通項公式；2 cn 滿足對任意的n N *均（ ）設(shè)數(shù)列有 an1b1c1 b2 c2bn cn 成立，求證： c1 c2cn4 .2015 屆理科數(shù)學(xué)測試題（2）第 3 頁20. （14 分）已知橢圓x2y20的左、右焦點分別為F1 (1,0)、 F2 (1,0) ，且經(jīng)過定點C : a2b21 a bP (1,3) ， M ( x0 , y0 ) 為橢圓 C 上的

8、動點，以點 M 為圓心， MF2為半徑作圓 M .2（ 1）求橢圓 C 的方程；（ 2）若圓 M 與 y 軸有兩個不同交點，求點M 橫坐標 x0 的取值范圍；（ 3）是否存在定圓N ，使得圓 N 與圓 M 恒相切？若存在，求出定圓N 的方程；若不存在，請說明理由 .21. （ 14 分）已知函數(shù) f (x)axx2x ln a ， a1.(1)求證函數(shù)f ( x) 在(0 ， )上單調(diào)遞增；(2)若函數(shù) yf ( x) b13 有四個零點，求b 的取值范圍；b(3)若對于任意的 x 1,1時，都有f ( x)e21恒成立，求 a 的取值范圍2015 屆理科數(shù)學(xué)測試題（2）第 4 頁2015 屆

9、理科數(shù)學(xué)測試題（2）參考答案一、 :ADCB ABCB二、填空 :9 (3,1) 10.0.0811267.提示：法C1634C43C42 C121472. 提示：只有第是假，故 B1213 1414615. 2452法 .C40 C1233C 43C41C12247210. 提示： 本中心 (4,5)代入回 方程得 a=0.0812. 提示 : 考 等差等比的基本性 及均 不等式.a6a1 a11b1b11，由于 q1 所以 b1b11 ，所以 a6b6 .bb b622111y13. 提示：拋物 C : 與雙曲 x2 y2 1 的右焦點重合，3所以， p2 ， x1 是拋物 準 ，作 MA

10、 l 1 MBl 2 ，ABM由拋物 定 MBMF ，當 M , A, F 三點共 ，距離之和的最小，其 是 F 到 l 1 距離，由點到直 距離可得，其距離 14 .5三、解答 16. 解：（ 1）f x 2sin x cos xsin xxOF2 sin x cos x2sin 2 xsin 2x 1cos2x2 sin( 2 x)1 4 分452 sin25121137 分f62 sin34264（2）Q 0x2x7（分）從而當2x4 ，即 x3時 10 分44428 fx max21 12 分另解：（1）f ( 5 )2sin( 5)(cos 5sin 5 )21 (31)133 分6

11、6662222（ 2） fx2sin x cosxsin x2sin x cosx2 sin 2xsin 2x1cos2x 5 分2 sin(2x)1 （7 分）以下同上解（2）417. 解： (1)小矩形的面 等于 率,除35,40 外的 率和 0.70,（ 2 分）x10 .700.065估 500名志愿者中 ,年 在 35,40 的人數(shù) 0.065 500150(人 ). 4分(2) 用分 抽 的方法 ,從中 取 20 名, 其中年 “低于 35 歲 ”的人有 12 名 , “年 不低于 35 歲”的人有 8 名故 X 的可能取 0,1,2,3,6分314C1C22821C8C12C 8

12、44,P X 0C203P X 1128P X 2285C20395C20395P X 3C12311 10 分X0123C20357故 X 的分布列 P142844112859595572015 屆理科數(shù)學(xué) （2）第 5 頁所以 EX0141282443 111719.12分28595955795518.解：( ) 明： Q DD1面 ABCD ， CE面 ABCD DD 1 CE 1 分Rt DAE 中， AD1， AE1DEAD 2AE 22同理： CE2 ，又CD2， CD 2CE 2DE 2 DECE3分又 DE I CEE所以， CE面 D1DE4 分又 D1 E面 D1 EC所以

13、， D1ECE5分( )解法一由（） 可知D1ED 是所求二面角D1ECD 的平面角 6 分在RT D 1ED 中，DD 11，DE2 ；故 tanD1ED128 分22即二面角 D1ECD 的大小的余弦 6 9 分3解法二：利用向量法z 平面 CD1 E 的法向量 m( x, y,1)，D1C1由( )得 D1 E (1,1, 1)， CE(1,1,0)A 1m D1E x y 1 0 且 m CE x y 0B 1解得： xy1 ,即 m( 1 , 1,1) ； 7 分222D又平面 CDE 的法向量 DD1(0,0,1) ，Cycos m, DD1m DD116xAEB| DD 1 |1

14、13| m |1 144所以，二面角 D1ECD 的余弦 6 .9 分3（） ) 解法一：BC1， AE1， A EBC ，S ACE111 10 分122又D1 E3， CE2， D1ECE ，S CDE1326 11 分22設(shè) A 點到平面 CD1E 的距離 d ， VD111VA CD 1 E16，A CE313d22解得 d6，即 A 點到平面 CD1 E 的距離 6 . 14分66解法二：利用向量法由() ( )知 AE( 0,1,0)，平面 CD1 E 的法向量 11m (, ,1)22故 A 點到平面 CD1E 的距離 1d| mAE |26| m |66219. 解 :（1）a

15、2 , a5 , a14 分別是等比數(shù)列 bn 的第二 、第三 、第四 .(14d ) 2(1d )(113d ) .1分d2(舍去 d0) .3分an2n13n14分又 b2a23,b3a59公比 q3，bn7 分（2） 明：當 n=1 ， a2b1c1c1348 分2015 屆理科數(shù)學(xué) （2）第 6 頁當 n2時 ,anb1 c1b2 c2bn 1 cn 1an 1b1 c1b2c2bn cnan1anbn cncnan 1a n211分bn3n121c1c2cn33(13n 1 )14 13分1143n 13所以， 于任意的nN *, 均有 c1c2cn4. 14 分20. （1）由 定

16、 得PF1PF22a ，1分32323即 2a121254，2 分121222 a2，又 c1， b2a 2c23. 分3故 C 的方程 x2y 214分43（2） 心 M ( x0 , y0 ) 到 y 距離 dx0 ， M 的半徑 rx012y02，若 M 與 y 有兩個不同交點， 有rd ，即x012x0y02，化 得 y022x010 .分6Q 點 M 在 C 上， y0233x02，代入以上不等式得：443x028x0160 ，解得：4x0.8分43 2, 4) .又Q2x02，2x0，即點 M 橫坐 的取 范 是9分33（3）存在定 N : x 12y 216與 M 恒相切，其中定

17、 N 的 心 的左焦點F1 ，半徑 C 的 4.12分由 定 知，MF1MF22a4 ，即 MF14MF2， N 與 M 恒內(nèi)切 .14分2015 屆理科數(shù)學(xué) （2）第 7 頁21. 解： (1) 明 f( x) axx2 xln a，f (x)axln a 2x ln a(ax 1)ln a2x.2分 a1， x0， ax10 ，ln a0,2x0，當 x (0， ) ， f(x)0，即函數(shù) f(x)在區(qū) (0， )上 增4分(2)解：由 (1) 知當 x ( ， 0) ， f(x)4，即b2 4b15或 2 5b0，解得 b2b故 b 的取 范 是 (25，0) (2 5， )8分(3)解：由 (1) 知 f(x)在 ( ， 0)上 減，在 (0， )上 增，11 ln a， f(1) a1ln a， f(1)f( 1) a 12ln af