備考2017年百日捷進專題03 數(shù)列的解答題

1、【背一背重點知識】1等差數(shù)列及等比數(shù)列的廣義通項公式：；2一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列必是非零常數(shù)列； 3等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和特征設法：【講一講提升技能】1. 必備技能：涉及特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）一般用待定系數(shù)法，注重研究首項及公差或公比；由原數(shù)列抽取或改變項的順序等生成新數(shù)列，一般注重研究生成數(shù)列在新數(shù)列及原數(shù)列的對應關系，通常用“算兩次”的思想解決問題2. 典型例題：例1 【江西撫州2017屆高三上學期七校聯(lián)考，18】在等差數(shù)列中，且（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和【答案】（I），；（II）【解析】當時，7分（II）若成等比數(shù)列，

2、則，8分，10分12分【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R點，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等例2【湖北孝感2017屆高三上學期第一次統(tǒng)考，17】（本小題滿分12分）設正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足，（）求數(shù)列的通項公式；（）設數(shù)列，求的前項和【答案】（）；（）【解析】 【練一練提升水平】1【河南中原名校2017屆高三上學期第三次質(zhì)檢，18】在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，前項之和等于（I）求數(shù)列的通項公式；（

3、II）設，記數(shù)列的前項和為，求使成立的的最大值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由題意知以及，從而求得；（II）由（I）得由裂項相消法得，解不等式得結果試題解析：（I）設等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，即，即，因為，上式可化為，又數(shù)列的前項之和等于，所以，即聯(lián)立解得，所以 2【湖北荊州2017屆高三上學期第1次質(zhì)檢，19】（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項公式； （II）設，求數(shù)列的前項和【答案】(1)或；(2)【解析】試題分析：(1)借助題設條件使用等差數(shù)列等比數(shù)列的相關知識求解；(2)依據(jù)題設使用裂項相消法分析探求試題解析：（I

4、）由等差數(shù)列性質(zhì)，設公差為，則，解得或或（II）當時，；當時，以求遞推數(shù)列的通項公式和求和的綜合題【背一背重點知識】1234求和方法：累加、累乘、裂項相消、錯位相減【講一講提升技能】1必備技能：會由與的關系求數(shù)列通項；會對原數(shù)列適當變形構成一個特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列），進而求出原數(shù)列通項；能根據(jù)數(shù)列通項特征，選用對應方法求數(shù)列前n項的和2典型例題：例1【重慶巴蜀中學2017屆高三上學期期中，17】已知公差不為0的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù)的值【答案】（I）；（II）【解析】 ，依題有解得【方法點睛】裂項相消法適用于形如（其中數(shù)列

5、各項均不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，一類是常見的有相鄰兩項的裂項求和，如本題；另一類是隔一項的裂項求和，如或例2【河南八市重點高中2017屆高三上學期第一次測評，18】（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（I）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（II）若是數(shù)列的前項和，求證：【答案】(1)證明見解析；(2)見解析【解析】試題解析： （I）當時，解得，當時，即，即，因為，故，所以是首項為-2，公比為2的等比數(shù)列，所以6分（II）由（I）知，所以，所以12分【方法點睛】本題考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、與的關系以及裂項相消法求和，屬中檔題；在求數(shù)列通項的問題中，如條件中有與關系的，

6、要利用求解；裂項相消法是每年高考的熱點，主要命題角度是直接考查裂項相消法求和或與不等式結合考查裂項相消法求和【練一練提升能力】1【河北滄州一中2017屆高三11月考，17】（本小題滿分12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（I）求的通項公式；（II）設，求數(shù)列的前項和【答案】(1)；(2)【解析】 2【河北滄州一中2017屆高三11月考，21】已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設，求數(shù)列的前項和【答案】(1)；(2)【解析】解答題（共10題）1【河南百校聯(lián)盟2017屆高三11月質(zhì)檢，17】已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有成立（）記，求數(shù)列的通

7、項公式；（）設，求數(shù)列的前項和【答案】（）（）【解析】試題解析：（）在中，令得 因為對任意正整數(shù)，都有成立，所以，兩式相減得，所以， 又，所以為等比數(shù)列，所以，所以（），所以2【河北武邑中學2017屆高三上學期第四次調(diào)研，18】 已知數(shù)列的前項和為，且，又數(shù)列滿足()求數(shù)列的通項公式；()當為何值時，數(shù)列是等比數(shù)列？并求此時數(shù)列的前項和的取值范圍【答案】（）；()【解析】試題分析：（）由，當時，；當時，即可得出； ()由有則數(shù)列為等比數(shù)列，則首項為滿足的情況，故，則，而是單調(diào)遞增的，故3【遼寧葫蘆島普通高中作協(xié)體2017屆高三上學期第二次考試，18】（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，公差，且，

8、成等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式及其前項和；若，求數(shù)列的前項和【答案】，；【解析】試題分析：由成等比數(shù)列；由可得試題解析：成等比數(shù)列，又，7分由可得，12分4【河南八市重點高中2017屆高三上學期第一次測評，21】（本小題滿分12分）設公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列滿足（I）求數(shù)列和的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求證：對任意【答案】(1) ；（II）見解析【解析】試題解析： （I）設的公比為，則有，解得，則即數(shù)列和的通項公式為 （II）證明：，易知當時，有成立，令 則 -得，從而，即5【甘肅天水一中2017屆上學期第3次考試，19】已知正項數(shù)列的前項和為，且是1與的等差

9、中項（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）【解析】 6【湖南百所重點中學2017屆高三階段性診斷，21】（本小題滿分12分）已知正項數(shù)列的前項和為，且（I）求證：不論取何值，數(shù)列總是等差數(shù)列，并求此數(shù)列的公差；（II）設數(shù)列的前項和為，試比較與的大小【答案】（I）證明見解析，；（II）當時，當時，當時，【解析】（II）解：，7分，9分，當時，；10分當時，；11分當時，12分7【炎德英才大才大聯(lián)考湖南師大2017屆高三上學期第3次月考，19】（本小題滿分12分）設數(shù)列的前項和為，已知()求的值，并求數(shù)列的通項公式；()若數(shù)列為等差數(shù)列，且設，數(shù)列的前項和為，證明

10、：對任意是一個與無關的常數(shù)【答案】()；()證明見解析【解析】 ()因為，則又，則設的公差為，則，所以，所以由題設，則 8【浙江省紹興市柯橋區(qū)2016屆高三教學質(zhì)量調(diào)測（二模）數(shù)學（理）試題】（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足：.（1）若,求證數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若,求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.9【山東菏澤一中2017屆高三上學期第3聯(lián)考，19】（本小題滿分12分）各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知點在函數(shù)的圖象上，且（）求數(shù)列的通項公式；（）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和【答案】（）；（）【解析】試題解析：（）由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，1分設公比為，則，由，4分（），6分，9分，12分10【河南南陽一中2017屆高三上學期第4次月考，17】已知各項均不相等的等差