一高等數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題一

1、一高等數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題一一、選擇題(每小題3分，本大題共15分)1) 設(shè)有直線2)L: X 3y 2Z 1 02x y 10z 3 03)及平面：4x 2y z 2 0，則直線L( C)4)A平行于平面B在平面上C、垂直于平面 D、與平面斜22 x, y 0,0, 5) 二兀函數(shù)f x,y x y在點(diǎn)0,0處(C)0x, y 0,06) A、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在7) C不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在 D不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在8) 設(shè)f X為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)t tjy t f x dx，則F 2(B)1 y9) A 2f 2 B、 f 2 C f 2 Dk 010) 分析：改變積分次序，可得t x

2、t11) F t dx f x dy x 1 f x dx F t t 1 f t / 1 1 J 113)設(shè)是平面212) F 2 f 2z 1由x 0 , y 0 , z 0所確定的二角形區(qū)3域，曲面積分3x 2y 6z dS (D)14) A 7B、C、14D 21215) 微分方程y y ex 1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(B)16 ) A aex b B、axex b C、aex bx D、axex bx、填空題（每小題3分，本大題共15分）1)設(shè)平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn) 6 , 3, 2，且與平面4x y 2z 8垂直,則此平面方程為2)2x 2y 3z 0。3)設(shè) Z arctan _y，則

3、dz1 xy11dx dy o244)設(shè)L為x2y2 1正向一周，貝S ?ex dyL2x2xe 0 dxdy 0 。x2 y2 15)設(shè)圓柱面x2 y2 3，與曲面z xy在點(diǎn)x0 , y。，q點(diǎn)相交，且他們的交角為6 則正數(shù)Z06)設(shè)一階線性非奇次方程y P x y Q x有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1, y2，若y1y2 (,為常數(shù)）也是該方程的解，則應(yīng)有三、（本題7分）設(shè)由方程組ux e cosv確定u ,v關(guān)于x , y的函數(shù)，求 uy e sin v-及丄和丄x解:利用全微分的不變性cosv 2 sinv 可得euducosvdx sinvdydusinv 2 cosv 可得eudvsin

4、vdx cosvdydvcosv i sinv i u dx - dy eesinv , cosv , dx 廠 dy eex所以 _u cosv v sinvv cosvuuue x e yeIn 3xy 2z3在點(diǎn)A處四、已知點(diǎn)A 1,1,1及點(diǎn)B 3,2, 1，求函數(shù)u沿AB方向的方向?qū)?shù)。x解:uuuuuuAB 21AB 2,1, 2Luu,-AB 33五、（本題8分）計(jì)算累次積分x2. x 1dx !eydy1 y4dx2e dy y解:改變積分次序x原式 dy J eydx1 y y六、（本題8分）計(jì)算Ixe?2ydyey dyzdxdydz，其中由柱面x2 y21及平面z 0 ,

5、 z 1圍成的區(qū)域。解：用切片法較好。1 2 1 原式 0 zdz 02o2七、（本題8分）計(jì)算z dS，其中是拋物面2zx2 y2 被平面z 2所截下的有限部分。解：在xoy面上的投影DXy為x2y2 4原式x3y2 - x2 y2. 1 x2Dxy2y2dxdy注：這里利用了對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算:八、（本題8分）計(jì)算 4xL2xy2xcosydx2cos dy， L 是點(diǎn) A , y y22到點(diǎn)B , 2在上半平面上任意逐段光滑曲線。解:因?yàn)?P 4x 2x cos y y2 2 xx2 cos yyc22xx2 cos yy小 322x . x sin - y y在上半平面成立，所以此曲線積分

6、在上x半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，22xx2x2x2原式4x cos dx cosdy2 2 yyyyx2 dxdy，其中為九、（本題8分）計(jì)算 x y2 dydz y z2 dzdxx2 y2的上側(cè)。解：利用高斯公式計(jì)算，設(shè)i為xoy面上區(qū)域x21,并取下側(cè)。2dxdy為，1圍成的立體區(qū)域。原式 3dxdydz x y2 dydz y z2 dzdx z x1十、（本題8分）設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)yf % X :適合24 y 02s解：.解微分方程x20可化為滬4 y 2xy 0 ,卜一、（本題4分）求方程yx竿ft3，則P y ,原方程化為4y cos2x的通解。解：解特征方程r2 4 0，得特征根r

7、 2i，對(duì)應(yīng)其次方程的通解為 又因?yàn)閜 0 , q 42，此方程有特解x原方程通解為y C1 cos2x C2sin2x -sin2x4十二、（本題4分）在球面x2 y2 z2 a2的第一卦限上求一點(diǎn)M，使 以M為一個(gè)頂點(diǎn)，各面平行于坐標(biāo)平面的球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積最 小。解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z，以M為一個(gè)頂點(diǎn)，各面平行于坐標(biāo)平面 的球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積S 8 xy xz zy ,因?yàn)閤2 y2 z2 a2?？紤]函數(shù)Fxyz2X0解方程組FyXz2y0FzXy2z0F222Xyza得X y z a，所求點(diǎn)為0有關(guān)級(jí)數(shù)的題目:1)判別級(jí)數(shù)i In 1 n-是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收n斂還是條件收斂?2)解：因?yàn)?-In 1 n n1 ，而發(fā)散，此級(jí)數(shù)不絕對(duì)收2n 1n 1 2n 13)1In 1 n n且limn1In 1 n0，此級(jí)數(shù)條件收斂。4) 求幕級(jí)數(shù)學(xué)xn的收斂區(qū)間及和函數(shù)。n o 2nn!2n 11n 125) 解：lim 2 2n 1 ! limn 22n 2 10,此幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為nn2 1 nn2 1 2 n 22nn!6)n21 Xnnn 1 1 x1Xnn 0 2nn! Xn 1n 1 ! 2n0 n!21nn17)X1XXn 2 n 2 !2n 1 n 1 !2n 0n!28)2 x1nx2x4 n 2n