第八章第七節(jié)拋物線

1、A組考點能力演練1.若拋物線y= ax2的焦點坐標(biāo)是(0,1)，則a =()A. 1B.1C. 2解析：因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 X = 1y,所以其焦點坐標(biāo)為 0,右，則有4a= 1 , a=1 故選D.答案：D2. (2016襄陽調(diào)研)拋物線y2= 2px的焦點為F, M為拋物線上一點，若 OFM的外接 圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(O為坐標(biāo)原點)，且外接圓的面積為 9n,則p=()C. 6解析：/zOFM的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,FM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.外接圓的面積為9n, 圓的半徑為3又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|= P，號+-pp =3 ,.p= 4.答案：B3.

2、(2016新余模擬)從拋物線y2= 4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點為卩，則厶PMF的面積為()A . 5B . 10C. 20D.151 1解析：根據(jù)題意得點 P的坐標(biāo)為(4, 4)，所以Szpmf = 1|yp|PM| =寸X 4X 5= 10,故選B.答案：B4. (2016九江一模)已知拋物線的方程為y2= 2px(p0),過拋物線上一點M(p, , 2p)和拋物線的焦點F作直線I交拋物線于另一點 N，則|NF|：|FM|=()A. 1 ： . 2B. 1 : .3C. 1 : 2解析：由題意得，直線I：y= 2 2 x-2，聯(lián)立方程組r- 2y

3、 = 2px,y=P，4-令,p p 3p 3|NF|= 4 + 2= 4P,|MF匸 p+ 2 = 2P,-|NF：|FM|= 1 ：,故選 C.答案：c5.(2015銅川一模)已知拋物線y2= 2x的弦AB的中點的橫坐標(biāo)為33，則|AB|的最大值為C.解析：設(shè)A(x1, y” , B(X2, y2)，則X1 + X2= 3，利用拋物線的定義可知,|AF|+ |BF|= Xi + X2+ 1 = 4,由圖可知 RF|+ |BF| |AB|?AB|W 4，當(dāng)直線 AB過焦點F時，|AB|取得最大值4.答案：D6.拋物線y2= x的焦點到準(zhǔn)線的距離為解析：由拋物線y2 = x,得2p= 1 ,.

4、p= 1，拋物線y21=x的焦點到準(zhǔn)線的距離為p =-.7.頂點在原點，經(jīng)過圓C: x2+ y2- 2x+ 2 2y= 0的圓心且準(zhǔn)線與 x軸垂直的拋物線方程為.解析：圓的圓心坐標(biāo)為(1, - . 2).設(shè)拋物線方程為 y2= ax,將圓心坐標(biāo)代入得 a = 2,所以所求拋物線的方程為y2= 2x.答案：y2 = 2x&動圓過點(1,0)，且與直線x=- 1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為解析：設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x, y),則圓心到點(1,0)的距離與到直線 x=- 1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2 = 4x.答案：y2 = 4x9.已知直線 I: y= x+ m,

5、 m R.(1)若以點M(2, - 1)為圓心的圓與直線I相切于點P,且點在x軸上，求該圓的方程;2 1若直線l關(guān)于x軸對稱的直線與拋物線C: x= my相切，求直線l的方程和拋物 線C的方程.解：依題意得點P的坐標(biāo)為(m,0).以點M(2, 1)為圓心的圓與直線I相切于點P,MP 丄.kMPkl =1 = 1，解得 m= 1.m 2點P的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)所求圓的半徑為 r，貝U r = |PM| = 1 + 1 = 2,所求圓的方程為(x 2)2 + (y+ 1)2= 2.(2)將直線I的方程y = x+ m中的y換成-y,可得直線I的方程為 y= x m.由r 21x= my,2得 m

6、x + x + m= 0(m 0),= 1 4m2,尸x m,2 1直線i與拋物線c : x2=討相切,= 0，解得 m= g.1 1 當(dāng)m= 時，直線I的方程為y= x+ 2,拋物線C的方程為2x = 2y;1 1 2當(dāng)m= 1時，直線I的方程為y= x 1，拋物線C的方程為x2= 2y.10. (2016大連雙基)已知過點(2,0)的直線I1交拋物線C： y2= 2px(p0)于A, B兩點，直 線12： x= 2交x軸于點Q.(1)設(shè)直線QA, QB的斜率分別為ki, k2，求& + k2的值;(2)點P為拋物線C上異于A ,B的任意一點，直線PA ,PB交直線l2于M ,N兩點，OM

7、赤=2，求拋物線C的方程.解：(1)設(shè)直線h的方程為:x= my+ 2,點 A(x1, y) B(x2, y2).x= my+ 2,聯(lián)立方程f 2ly = 2px,2得 y 2pmy 4p = 0, y1 + y2 = 2pm, y1 y2= 4p.y1y2y1y22my1y2+ 4(% + y?) 8mp + 8mpk1 + k2=+=+x1 + 2 x2 + 2 my1+ 4 my2 + 4my1 + 4 my2 + 4 i imy1 + 4 my2 + 4=0.(2)設(shè)點 P(xo, yo),直線 PA: y yi=(x xi),當(dāng) x=- 2 時,yM =同理yN=4p + y2yoy

8、2+ yo因為 OM ON = 2,所以 4+ yNyM = 2,4p+ y2yo 4p + yiyo=2.y2+ yoyi + yo4p + yiyoyi + yo16p 4pyo y2+ yi + yoyi y2y2yi + yoy2+ yi +_ 2,i6p 8p myo 4py24p + 2pmyo+ y=2,i2p= 2，拋物線C的方程為y2= x.B組高考題型專練ii. (20i5高考全國卷I )已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為2，E的右焦點與拋物線C: y2= 8x的焦點重合，A, B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，貝U |AB|=()C. 9D . 12解析：因為拋物線C: y2

9、= 8x的焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線I的方程為x= 2，設(shè)橢圓Ex y1的方程為a +午=1(ab0),所以橢圓E的半焦距c= 2,又橢圓E的離心率為？，所以a= 4,b= 2 3，橢圓E的方程為16+占=1，聯(lián)立，解得 A( 2,3), B( 2, 3)，或A( 2,3), B( 2,3)，所以 |AB| = 6，選 B.答案：B2. (2015高考陜西卷)已知拋物線 y2= 2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(一1,1),則該拋物線焦點 坐標(biāo)為()A . ( 1,0)B . (1,0)C. (0, 1)D . (0,1)解析：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為x= 2= 1,2 = 1 ,焦點坐標(biāo)為(1,0)

10、，選B.答案：B3. (2015高考浙江卷)如圖，設(shè)拋物線y2= 4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不 同的點A, B, C,其中點A, B在拋物線上，與厶ACF的面積之比是()AIBF1AF| 12 D BF| 1B. |AF |2 1點C在y軸上，則厶BCFr0l/b、(:C|BF|+ 1C. |AF|+ 1|BF|2+ 1解析：由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為作AA2軸于點A2,過B作BB2y軸于點1A%(:x= 1.如圖所示，過 AB，則辻=翳鵝D. |AF|2+ 1|BF| 1 |AF| 1答案：A2x4. (2015咼考全國卷I )在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C: y=4與直線

11、l: y= kx+ a(a0)交于M , N兩點.(1)當(dāng)k= 0時，分別求C在點M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點 P,使得當(dāng)k變動時，總有/ OPM =Z OPN ?說明理由.解：(1)由題設(shè)可得 M(2 .a, a), N( 2 a, a),或 M( 2 a, a), N(2 a, a).2又y = 2,故y =在x= 2百處的導(dǎo)數(shù)值為 血 C在點(2血,a)處的切線方程為y a=a(x 2 a),即 ax y a = 0.2y= x在x= 2 a處的導(dǎo)數(shù)值為一.a, C在點(一2 , a, a)處的切線方程為y a= a(x+ 2 ,a)，即，ax+ y+ a= 0.故所求切線方程為,ax y a = 0和，ax+ y+ a = 0.存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0, b)為符合題意的點，M(X1, y1), N(X2, y2)，直線PM , PN的斜率分別為