變力做功學案

1、變力做功問題的解法授課人 高海波高中物理教材利用恒力對物體做功的物理模型推導出功的計算式。如果力的大小是變化的，那么公式中的F就無法取值；如果力的方向是變化的，公式中角就無法取值。因此其公式僅適用于恒力做功過程，而對于變力做功問題又經常出現(xiàn)，那我們該如何求解呢？本文現(xiàn)就計算變力所做功的方法及到底采用哪種方法進行求解作如下闡述。一、化變力為恒力在某些情況下，通過等效變換可以將變力做功轉換成恒力做功，于是可以用求解。例1. 如圖1所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面上的物體。開始時與物體相連的輕繩和水平面間的夾角為，當拉力F作用一段時間后，繩與水平面間的夾角為。已知圖1中的高度是h，繩與滑

2、輪間的摩擦不計，求繩的拉力FT對物體所做的功。分析：拉力FT在對物體做功的過程中大小不變，但方向時刻改變，所以這是個變力做功問題。由題意可知，人對繩做的功等于拉力FT對物體做的功，且人對繩的拉力F是恒力，于是問題轉化為求恒力做功。由圖1可知，在繩與水平面的夾角由變到的過程中，拉力F的作用點的位移為：所以繩對物體做功：圖1 練1. 如圖所示，質量為m的滑塊可以在光滑水平面上滑動，滑塊與一不可伸長的輕繩相連，繩跨過一光滑的定滑輪（滑輪大小不計），另一端被人拉著，人的拉力大小、方向均不變，大小為，已知滑輪到水平面的高度為，AB的長度，求滑塊從A被拉到B的過程中，外力對它所做的功。二.微元法對于變力做

3、功，不能直接用進行計算，但是我們可以把運動過程分成很多小段，每一小段內可認為F是恒力，用求出每一小段內力F所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方法具有普通的適用性。在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運動方向相同或相反的變力做功問題。例1如圖1所示，有一臺小型石磨，某人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設施力點到固定轉軸的距離為L，在使磨轉動一周的過程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不斷變化，因此是一個變力做功問題，如果將推力作點的軌跡分成無限多小段，每一段曲線近似為直線，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看

4、作恒力做功過程。運用恒力作功的計算式求出各小段推力做的功：則轉動一周過程中推力做的功：。例2.用水平拉力拉著滑塊沿半徑為的水平圓軌道勻速運動一周，如圖5141。已知物塊的質量為，物塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為。求此過程中摩擦力所做的功。三、力的平均值法通過求力的平均值，然后求變力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小與位移成一維線性關系的直線運動中。例1. 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內1cm，問擊第二次時，能擊入多深？（設鐵錘每次做功都相等）分析與解：鐵錘每次做功都是克服鐵釘阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成

5、正比。，可用平均阻力來代替。如圖所示，第一次擊入深度為，平均阻力為，做功為： 第二次擊入深度為到，平均阻力為：位移為做功為：兩次做功相等：解后有：例2、如圖2所示，勁度系數(shù)為的輕質彈簧一端固定在墻上，另一端連接一質量為的滑塊，靜止在光滑水平面上O點處，現(xiàn)將滑塊從位置O拉到最大位移處由靜止釋放，滑塊向左運動了s米（）求釋放滑塊后彈簧彈力所做的功。例3 要把長為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問此釘子全部進入木板需要打擊幾次？四、圖象法表示力隨位移變化規(guī)律的圖象叫做示功圖。其縱坐標軸表示作用在物體上的力F，橫坐標軸表示力

6、的作用點在力的方向上的位移s。圖象、力軸、位移和由位移決定的與力軸平行的直線所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。例1. 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內1cm，問擊第二次時，能擊入多深？（設鐵錘每次做功都相等）分析與解：因為阻力，以F為縱坐標，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標，作出圖象，如圖4所示，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功。由于兩次做功相等，故有：（面積）即例2. 放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)的輕彈簧相連?，F(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點移動時，木塊開始運動，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動了的位移，求上述過

7、程中拉力所做的功。例3如圖5所示，一個勁度系數(shù)為的輕彈簧，一端固定在墻壁上，在另一端沿彈簧的軸線施一水平力將彈簧拉長，求在彈簧由原長開始到伸長量為x1過程中拉力所做的功。如果繼續(xù)拉彈簧，在彈簧的伸長量由x1增大到x2的過程中，拉力又做了多少功？五、運用求解當機車以恒定功率工作時，在時間內，牽引力做的功。例1. 質量為5t的汽車以恒定的輸出功率75kW在一條平直的公路上由靜止開始行駛，在10s內速度達到10m/s，求摩擦阻力在這段時間內所做的功。分析：汽車的功率不變，根據(jù)知，隨著速度v的增大，牽引力將變小，不能用求功，但已知汽車的功率恒定，所以牽引力在這段時間內所做的功再由動能定理得：所以例2電

8、動機通過一繩吊起一質量為8kg的物體，繩的拉力不能超過120N，電動機的功率不能超過1200W，要將此物體由靜止起，用最快的方式吊高90m所需時間為多少（已知此物體在被吊高達90m時開始以最大速度勻速上升）？例3. 質量為m的機車，以恒定功率從靜止開始起動，所受阻力是車重的k倍，機車經過時間t速度達到最大值v，求機車的功率和機車所受阻力在這段時間內所做的功。六、動能定理法動能定理求變力的功是非常方便的，但是必須知道始末兩個狀態(tài)的物體的速度，以及在中間過程中分別有那些力對物體做功，各做了多少功。例1. 如圖1所示，質量為m的物體從A點沿半徑為R的粗糙半球內表面以的速度開始下滑，到達B點時的速度變

9、為，求物體從A運動到B的過程中，摩擦力所做的功是多少？分析與解：物體由A滑到B的過程中，受重力G、彈力和摩擦力三個力的作用，因而有，即，式中為動摩擦因數(shù)，v為物體在某點的速度，為物塊與球心的連線與豎直方向的夾角。分析上式可知，物體由A運動到B的過程中，摩擦力是變力，是變力做功問題，根據(jù)動能定理有，在物體由A運動到B的過程中，彈力不做功；重力在物體由A運動到C的過程中對物體所做的正功與物體從C運動到B的過程中對物體所做的負功相等，其代數(shù)和為零。因此，物體所受的三個力中摩擦力在物體由A運動到B的過程中對物體所做的功，就等于物體動能的變化量，則有：即例2質量為的物塊與轉臺之間能出現(xiàn)的最大靜摩擦力為物

10、塊重力的倍，它與轉軸相距R，物體隨轉臺由靜止開始轉動，當轉速增加到一定值時，物塊開始在轉臺上滑動，在物塊由靜止到開始滑動前的這一過程中，轉臺對物塊做的功為多少？例3. 如圖2所示，質量的物體從軌道上的A點由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點高出B點。物體到達B點時的速度為，求物體在該過程中克服摩擦力所做的功。圖2七. 機械能守恒法例1. 如圖所示，質量m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點以的初速度滑下，在D點與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點時的速度為零，已知從A到B的豎直高度，求彈簧的彈力對物體所做的功。分析與解：由于斜面光滑，故機械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對物體做負功，彈簧的彈性勢能增

11、加，且彈力做功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長處D點為彈性勢能的零參考點，則對狀態(tài)A：對狀態(tài)B：由機械能守恒定律得：小結：對于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機械能守恒定律求功。八. 能量守恒法例1. 如圖所示，一勁度系數(shù)k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著一個質量為m=12kg的物體。A、B豎立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使A開始向上做勻加速運動，經0.4s，B剛要離開地面。設整個過程彈簧都處于彈性限度內（g?。┣螅海?）此過程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過程中力F所做的功。分析與解：（1）設A上升前，彈簧的壓縮量

12、為，B剛要離開地面時彈簧的伸長量為，A上升的加速度為。A原來靜止時，因受力平衡，有：設施加向上的力，使A剛做勻加速運動時的最小拉力為，有：B恰好離開地面時，所需的拉力最大，設為，對A有：對B有：由位移公式，對A有：由式，得：由式，解得分別解得：（2）力作用的0.4s內，在末狀態(tài)有，彈性勢能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其他形式的能轉化為系統(tǒng)的重力勢能和動能，即：小結：當我們分析一個物理過程時，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉化情況。九、功能原理法如果除重力和彈力之外的其他力對物體也做功，系統(tǒng)的機械能將不再守恒，而且這些力做了多少功、系統(tǒng)就有多少機械能發(fā)生轉化，這就是功能原理。如果這些力

13、是變力或只有一個變力做功，而其他力對物體做的功和系統(tǒng)機械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問題。除系統(tǒng)內的重力和彈簧彈力之外，其它力做的功等于系統(tǒng)機械能的增量，即。例1如圖4所示，一質量均勻的不可伸長的繩索重為G，A、B兩端固定在天花板上，今在最低點C施加一豎直向下的力將繩拉至D點，在此過程中，繩索AB的重心位置將（ ）A逐漸升高 B逐漸降低C先降低后升高 D始終不變解析：在C點施加的豎直向下的力做了多少功，就有多少其它能轉化為繩的機械能。由于，而，所以，即繩的重力勢能增加，得知繩重心升高。例2. 將一個質量為m，長為a，寬為b的矩形物體豎立起來的過程中，人至少需要做多少功？十、

14、耗散力做功在曲線運動或往復運動中，滑動摩擦力或空氣阻力的大小不變但方向可變，在計算這些力做功時，可將其“視為”恒力做功，其功等于力和路程的乘積，而不是力和位移的乘積例1如圖，與為兩個斜面，分別與一個光滑的圓弧形軌道相切，圓弧的圓心角為，半徑為，質量為的物塊在距地面高為的處無初速滑下，若物塊與斜面的動摩擦因數(shù)為，求物塊在斜面上（除圓弧外）共能運動多長路程分析與解物塊在斜面和上往復運動，摩擦力的方向會發(fā)生變化，由于摩擦阻力做功，物塊每次上滑的高度都在降低當物塊在點或點速度為零時，便在光滑曲面上往復運動，高度不再變化設物塊在斜面上（除圓弧外）運動的總路程為，以為初位置，或為末位置，由動能定理，有0，

15、即（）（2）0，（1（2）（2）十一. 用W=PV一般用來求解液體或氣體做功的情況，P為壓強，V為液體或氣體推進體積，其實該公式來源于功的計算式，設壓強P的作用面積為S，推進的距離為L，則壓力PS作用距離L時的功為PSL即PV。例1、成年人正常心跳每分鐘約75次，一次血液循環(huán)中左心室的血壓（可看作心臟壓送血液的壓強）的平均值為1.37104pa ，左、右心室收縮時射出的血量約為70mL，右心室對肺動脈的壓力約為左心室的1/5，據(jù)此估算心臟工作的平均功率。分析：一次心跳左心室作功W1Pv1.37104701060.954J右心室一次心跳作功W2W10.1918J解得平均功率P十二. 利用W=qU在勻強電場中移動電荷的時候，可以直接根據(jù)恒力做功的公式求解。如果是在非勻強電場