高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié)課件

1、一、函數(shù)極限的定義,二、函數(shù)極限的性質(zhì),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),一、函數(shù)極限的定義,在上一節(jié)我們討論了數(shù)列的極限,而數(shù)列 xn = f (n,可以看成是函數(shù) y = f (x) 當(dāng)自變量 x 取正整數(shù)的特殊情,形,所以，可以用研究數(shù)列極限完全相同的思想和方法,來(lái)研究函數(shù)在自變量的某一變化過(guò)程中,函數(shù)值的變化,情況,即函數(shù)的極限,自變量的變化過(guò)程主要有兩種,1) 自變量趨于有限值(xx0,2) 自變量趨于無(wú)窮大(x,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),1. 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,1.96,1.4,2.25,1.69,1.21,1.02,1,0.98,0.81,0.49,0.36,0.25

2、,y,1.5,1.3,1.1,1.01,1,0.99,0.9,0.7,0.6,0.5,x,引例 設(shè) y = f (x) = x2 , x0 = 1,觀察當(dāng) xx0 時(shí)，y 的變化趨勢(shì),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),由此可以看出,當(dāng) x 無(wú)限接近 x0 時(shí),函數(shù)值 f (x) 無(wú),限接近1,f (x) 無(wú)限接近1, f (x) 1 ,x 無(wú)限接近 x0, x x0 ,如果給定 f (x) 與1的接近程度,x0 的接近程度,例如 = 0.3,則可求出一個(gè) = 0.1,當(dāng)| x x0 | = 0.1時(shí),就有| f (x) 1 | = 0.3成立,比如 x = 0.91時(shí), f (0.91) 1 |

3、= 0.1719 = 0.3,則一定可求出 x 與,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),定義1 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定,義,如果存在常數(shù) A,對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它,多么小,總存在正數(shù),使得當(dāng) x 滿(mǎn)足不等式,0 | x x0 ,時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f (x) 都滿(mǎn)足不等式, f (x) A ,那么常數(shù) A 就叫做函數(shù) f (x) 當(dāng) x x0 時(shí)的極限,記作,或 f (x) A (當(dāng) x x0 ),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),注意,定義中的 0 | x x0 | 表示 x x0,也即 x x0 時(shí),函數(shù) f (x) 有沒(méi)有極限,與 f (x) 在點(diǎn) x0 是否有

4、定義沒(méi)有,關(guān)系,0， 0，當(dāng) 0 | x x0 | 時(shí)，有 | f (x) A ,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),的幾何解釋,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),例1,證明,例2,證明,c 為常數(shù),例3,證明,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),例4,證明,例5,證明：當(dāng) x0 0 時(shí),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),左極限與右極限,xx0,x,x,x x0 且 xx0 , 記作 xx0-,x x0 且 xx0 , 記作 xx0,0， 0，當(dāng) x0 x x0 時(shí)，有 | f (x) A ,左極限,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),0， 0，當(dāng) x0 x x0 + 時(shí)，有 | f (x) A ,右極限,可以證明,高

5、等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),例6,設(shè)函數(shù),討論 x 0 時(shí) f (x) 的極限是否存在,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),2. 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,定義2 設(shè)函數(shù) f (x) 當(dāng) | x | 大于某一正數(shù)時(shí)有定義,如果存在常數(shù) A,對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么,小,總存在正數(shù) X,使得當(dāng) x 滿(mǎn)足不等式 | x | X 時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f (x) 都滿(mǎn)足不等式, f (x) A ,那么常數(shù) A 就叫做函數(shù) f (x) 當(dāng) x 時(shí)的極限,記作,或 f (x) A (當(dāng) x ),高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),定義2可簡(jiǎn)單在表達(dá)為,0， X 0，當(dāng) | x | X 時(shí)，有 | f (x)

6、 A ,類(lèi)似地可定義,0， X 0，當(dāng) x X 時(shí)，有 | f (x) A ,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),0， X 0，當(dāng) x X 時(shí)，有 | f (x) A ,的幾何解釋,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),定義 若,則稱(chēng)直線(xiàn) y = A 是曲線(xiàn) y = f (x) 的水平漸近線(xiàn),或,或,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),例7,證明,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),二、函數(shù)極限的性質(zhì),定理1(函數(shù)極限的唯一性) 如果,存在,那么這極限唯一,定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果,那么存在常數(shù) M 0 和 0,使得當(dāng) 0 |x x0| 時(shí),有 | f (x) | M,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),定理3(函數(shù)極限的局部保號(hào)性) 如果,且 A 0 (或 A 0,0 |x x0| 時(shí),有 f (x) 0 (或 f (x) 0 ),那么存在常數(shù) 0,使得當(dāng),由定理3的證明，可得到如下更強(qiáng)的結(jié)論,定理3 如果,那么就存在著 x0,的某一去心鄰域,當(dāng),時(shí)，就有,高等數(shù)學(xué)同濟(jì)七版第一章第三節(jié),推論 如果在 x0 的某去心鄰域內(nèi) f (x) 0 (或f (x) 0,而且,那么 A 0 (或 A 0),定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果極限