二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總,推薦文檔

1、二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一： 二次根式的概念形如 （）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以 是 為二次根式的前提條件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng) a0 時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng) a0 時(shí)， 沒(méi)有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性 （）表示 a 的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)， （）是一個(gè)非負(fù)數(shù)， 即

2、0（）。注：因?yàn)槎胃?（）表示 a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是 0，所以非負(fù)數(shù)（ ）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則 a=0,b=0；a=0,b=0若 ， 則 a=0,b=0； 若 ， 則。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（） 的性質(zhì)（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：與 的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù) a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù) a 的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a 可以是

3、正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)， 即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)， 無(wú)意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1） 因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么， 就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面（2） 二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式baba（3） 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除）， 所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最

4、簡(jiǎn)二次根式abab=（a0，b0）；=（b0，a0）（4） 有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算【例題精選】二次根式有意義的條件：例 1：求下列各式有意義的所有 x 的取值范圍。x - 2（1） 3 - 2x（；2）3 x + 1；（3） x +1解：（1）要使有意義，必須3 - 2x 0 ，由3 - 2x 0 得x 3 ， 23 - 2x當(dāng) x 3 時(shí)，式子23 - 2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。（2） 要使 3 x + 1 有意義， x + 1 為任意實(shí)數(shù)均可，當(dāng) x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)均有意義。3 x + 1x + 1 0x

5、+ 1x - 2（3） 要使有意義，必須 x - 2 0x -1且x 2，但x = -2不在x -1的范圍內(nèi)。當(dāng) x -1且x 2 時(shí)，式子3x -1小練習(xí)：（1）當(dāng) x 是多少時(shí)，x + 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。x - 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2x +3（2） 當(dāng) x 是多少時(shí)，+1x +1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2x +3（3） 當(dāng) x 是多少時(shí)，+x2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？xx + 2-(x - 5)21- 2x（4） 當(dāng)時(shí)，+有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù) x 有（）個(gè)a0b1c2d無(wú)數(shù)，求3. 已 知 y=2 - x +x - 2 +5x 的值y3 - xx - 3x-24若+有意義，則

6、=-m5. 若+最簡(jiǎn)二次根式1m +1有意義，則m 的取值范圍是。例 2：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式：（1） 96a 3b(a 0，b 0) 2 47（2）50（3）25a2b3 (a 0，b 0)121c4分析：依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行化簡(jiǎn)，（1） 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2） 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。解 ： （1） 96a 3b =16a 2 6ab = 4a 6ab(a 0，b 0)1475049 325 2735273 2 = 752 2106（2）2 47 =25a 2b 2b121c 450（3）25a 2b3 =121c 4= 5abb (a 0，b

7、 0) 11c 2同類根式：例 3：判斷下列各組根式是否是同類根式：（1）- 175；-315；285 3416 3分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根式。解： （1） q - 175 = - 25 7 = -5 7；16234334-315 = -1663 = -9 716= - 37； 4285 3 =34= 77249 7343- 175，-315，285 3是同類二次根式16 34分母有理化：例 4：把下列各式的分母有理化：（1 135）22；（2）2 3 -2分

8、析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因225 +3 與 5 -3子，如與，均為有理化因式。（1） 12222 243 = 13 2 = 16（2） 5 2 3 -2= 5(2 3 + 2 ) (2 3 -2 )(2 3 +2 )=2 15 + 1010解：求值：例 5：計(jì)算：1213（1） 18 - 4（2）15 12 + 3 +2 3+ 1 3 分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟， 得到正確的運(yùn)算結(jié)果。22

9、3解： （1）原式= （3- 2+-2） 3 3=3 3= 33 +2 3 +21515（2）原式 = = 2 3 6= ( 6331510( 3 -2 ) + 2= 3 30 - 6 53 +2 )(3 -2 )化簡(jiǎn)：例 6：化簡(jiǎn)：（1） a - 4ba - 2 b (a+ 4+ 4b)ab分析：應(yīng)注意（1）式 a 0，b 0 ，（2） a 0 ，所以a = ( a )2 ，b = ( b )2 ， a - 4b 可看作( a )2 - 4( b )2 可利用乘法公式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。解： （1）原式 =( a + 2 b )( a - 2 b )2()a + 2 ba - 2 b

10、b= ( a + 2)( a + 2 b )2a + 2 b=1=a - 2 b a - 4b例 7：化簡(jiǎn)練習(xí)：（1） - st 3 (s 0)（2） 6 - 2 -( 6 - 3)2解： （1） q -st 3 0 st 3 0，而s 0 t 3 0，即t 0原式 =-stt 2 =|t| -st = -t -st (qt 0)（2） q 2 6 0，而 6 - 3 06 - 2 -6 - 36 - 2 - -( 6 - 3)6 - 2 +6 - 3 = 2 6 -5化簡(jiǎn)求值：例 8：已知： a =，b =3 +22求： ab3 + a 3b 的值。3 -22分析：如果把 a，b 的值直接代

11、入計(jì)算 a 3，b3 的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊3 +2 與 3 -2徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算a + b，ab ，然后將求值式子化為a + b與ab 的形式。解： a + b =3 +2 +23 -2 =3，ab =3 +2 23 -2 = 124 ab3 + a 3b = ab(b2 + a 2 )= ab(a + b)2 - 2ab將a + b與ab的值代入，得：4 1( )3- 2=214 11 154 3 -24= =528小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過(guò)程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。例 9：

12、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：22x24；【提示】先提取 2，再用平方差公式【答案】2（x）2（x）x42x23【提示】先將 x2 看成整體，利用 x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq 分解再用平方差公式分解 x23【答案】（x21）33（x）（x）例 10、綜合應(yīng)用：如圖所示的 rtabc 中，b=90，點(diǎn) p 從點(diǎn) b 開始沿 ba 邊以 1 厘米/秒的速度向點(diǎn) a 移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn) q 也從點(diǎn) b 開始沿 bc 邊以 2 厘米/秒的速度向點(diǎn) c 移動(dòng)問(wèn)：幾秒后pbq 的面積為 35 平方厘米？pq 的距離是多少厘米？cqapb（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出

13、的四個(gè)選擇中，只有一個(gè)是正確的。1、( a - 1)2 = a - 1 成立的條件是：a 1a 1a 1a 1a. b.c.d.2272、把化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為：3 32263999abcdx43、下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式為：x 2 - 4( x + 4) 24xabcd4、已知 t1，化簡(jiǎn)1 - t -t 2 - 2t + 1 得：2t2 - 2ta.b.c2d05、下列各式中，正確的是：a (-c (-7 )2 = -77 )2 = 72b(-0.7)2 = 0.7d ( -0.7 )2 = 0.76、下列命題中假命題是：x 2x 0，則( x 2 )2 = x 2a.設(shè) x 0，則

14、(- x)2 = - xb.設(shè) x 0，則 x= -1c.設(shè) x 2c.x 2d x 2 ；3 一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a ，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是（）；aa2 +1a. a +1b. a2 +1cd+14、在電路中，已知一個(gè)電阻的阻值 r 和它消耗的電功率 p.由電功率計(jì)算公式p = u 2prprr可得它兩端的電壓 u 為（）；rpu =u =u =u = pr5、使代數(shù)式x - 3 有意義的 x 的取值范圍是（）x - 4a、 x 3；b 、 x ；c3、x 4 ；d 、 x 3 且 x 4 ；x + 26 函數(shù) y =1的自變量 x 的取值范圍是（）a. x 0c x -2

15、 b. x -2 1d x -2函數(shù) y =2 - x x - 3 中自變量 x 的取值范圍是（）a x 2；bx = 3；cx 0 時(shí)，m 的取值范圍是（a、0 m 1；b、m 2 ；c、m 2 ；d、 m 2 ；15、（09 嘉興市）當(dāng) x = -2 時(shí)，代數(shù)式 5x 2 - 3x -1 的值是216、（09 嘉興市）計(jì)算： 8 + (-1)2009 - -17、(09 臺(tái)州市)計(jì)算： - 3 +(5 - 1)0 - ( 6)2 四、二次根式與整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：18、（09 廣州市）先化簡(jiǎn)，再求值： (a-3)(a +3) - a(a - 6) ，其中5a =+ 1 219、（09 孝感

16、市）已知： x =33 +1，=-1 求下列各式的值（1） x2 + 2xy + y2 ；（2） x2 - y220、（09 威海市）先化簡(jiǎn)，再求值： (a + b)2 + (a - b)(2a + b) - 3a2 ，其中a = -2 -1、已知 x=3，b =- 232 - 32 + 32 + 32 - 3， y =，求： x2 - 3xy + y2 的值；52、已知： x = 1 - 5 , y = 1 +2222-7x2 - 32xy - 7 y2，計(jì)算：（1） -3x2 +12xy - 3y2；（2）五、二次根式與分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：21、（09 黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值： x- x

17、 2 + 2x + 1 x 2 - 1 ，其中x + 2x + 2x -13x =- 2 ；x2 - 2x2x - 4 222、(09 恩施)求代數(shù)式的值：x2 - 4 x - 2 - x + 2 ，其中 x = 2 +23、（09 泰安市）先化簡(jiǎn)、再求值： a - 3 (5- a - 2)，其中a =- 3 。32a - 4a - 224、（09 黔東南州）先化簡(jiǎn)，再求值： x- x 2 + 2x + 1 x 2 - 1 ，其中x + 2x + 2x -13x =- 2 ；六、二次根式的探究規(guī)律問(wèn)題：1 2 3 4 + 125、我們看幾個(gè)等式：=14+1=5;2 3 4 5 + 1 =25+

18、1=11;3 4 5 6 + 14 5 6 7 + 1=36+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：=.2006 2007 2008 2009 + 1=（ ）()+n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1=.()；2011 安徽，4，4 分）設(shè) a=（）191，a 在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，則這兩個(gè)整數(shù)是a1 和 2b2 和 3c3 和 4d4 和 5(2a -1)2（2011 山東煙臺(tái)，5,4 分）如果= 1 - 2a ，則（）a. a 12b. a 12c. a 12d. a 122820112012 -12

19、011 安徽蕪湖，14，5 分）已知a 、b 為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a b ，則a + b =2011 四川內(nèi)江，加試 1，6 分）若m =，則m5 - 2m4 - 2011m3 的值是2（2011 山東德州 12,4 分）當(dāng) x =時(shí)， x2 -1 -x2 - x1 = (m - 3)n22011 四川內(nèi)江，加試 3，6 分）已知 6 - 3m + (n - 5)2 = 3m - 6 -，則m - n =72011 四川涼山州，25，5 分）已知a、b 為有理數(shù)， m、n 分別表示5 -的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且 amn + bn2 = 1 ，則2a + b = 2011 湖北黃岡，3，3 分）

20、要使式子 a + 2 有意義，則 a 的取值范圍為a 下列運(yùn)算正確的是（）(黑龍江齊齊哈爾 09)1-13 -272a.= 3b ( - 3.14)0 = 1c = -29d= 3x -11 - x若-=(xy)2，則 xy 的值為() (09 湖北荊門)(a)1(b)1(c)2(d)313 +115 + 317 + 512n +1 +2n -1化簡(jiǎn)：+. +2 - 32 + 32 + 32 - 3已知 x =， y =，求： x2 - 3xy + y2 的值；1 2 3 4 + 1我們看幾個(gè)等式：=14+1=5;2 3 4 5 + 1 =25+1=11;3 4 5 6 + 14 5 6 7

21、+ 1=36+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：=.2006 2007 2008 2009 + 1=（ ）()+n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1=.()；x - 55 - xy=+2009，則 x+y= 化簡(jiǎn)： a -1 + ( a - 3)2 的結(jié)果為（）a、42ab、0c、2a4d、4a2.已知 a0，那么2a可化簡(jiǎn)為（）aabac3ad3a (2009 年梅州市) 如果，則 =.將根號(hào)外的 a 移到根號(hào)內(nèi)，得 ()a. ；b. ；c. ；d. 例 10. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：.415（1） 按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想4的變形結(jié)果， 并進(jìn)行驗(yàn)證；（2） 針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用 n(n2，且 n 是整數(shù))表示的等式， 并給出驗(yàn)證過(guò)程.（1） ；驗(yàn)證略（2） (n2，且是整數(shù)