二次函數(shù)知識點總結(jié)和題型總結(jié),推薦文檔

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)和題型總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1. 二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a 何何b c 是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：a 0最高次數(shù)為 2代數(shù)式一定是整式2. 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a 何何b c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項 例題：例 1、已知函數(shù) y=(m1)xm2 +1+5x3 是二次函數(shù)，求 m 的值。練習、若函數(shù) y=(m2+2m7)x2+4x+5 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)

2、，則 m 的取值范圍為。二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y = ax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上(0 何 0)y 軸x 0 時， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時， y 隨 x 的增大而減??； x = 0 時， y 有最小值0 a 0 時， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(0 何 c)y 軸x 0 時， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時，y 隨 x 的增大而減?。?x = 0 時， y 有最小值c a 0 時， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(h 何 0)x=hx h 時， y 隨 x

3、 的增大而增大； x h 時， y 隨 x 的增大而減?。?x = h 時， y 有最小值0 a h 時， y 隨 x 的增大而減?。?x 0向上(h 何 k )x=hx h 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 隨 x 的增大而減??； x = h 時， y 有最小值k a h 時， y 隨 x 的增大而減?。?x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【(k0)【( h 0 時，拋物線開口向上，對稱軸為 x = - b2a，頂點坐標為 - b4ac - b2 2a 何 4a 當x - b2a時， y 隨 x 的增大而增大；當 x = - b 時， y 有最小值2a-

4、 2 4a2. 當a 0 時，拋物線開口向下，對稱軸為 x = - b2a，頂點坐標為 - b4ac - b2 當 xbb 2a 何 4a -時， y 隨 x 的增2a2a大而減??；當 x = - b 時， y 有最大值2a- 2 4a例題：函數(shù) y=a(xh)2 的圖象與性質(zhì)1. 填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y = -3(x - 2)2y = 1 (x + 3)2212. 試說明函數(shù) y=2(x3)2 的圖象特點及性質(zhì)（開口、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值）。3. 二次函數(shù) y=a(xh)2 的圖象如圖：已知 a =析式。12，oaoc，試求該拋物線的解二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)

5、y=3x26x+5，當 x1 時，y 隨 x 的增大而；當 x 2 時,y 隨 x 的增大而增大；當 x 2 時，y 隨 x 的增大而減少；則 x1 時,y 的值為。3. 已知二次函數(shù) y=x2(m+1)x+1，當 x1 時，y 隨x 的增大而增大，則 m 的取值范圍是.154. 已知二次函數(shù) y=2x2+3x+2的圖象上有三點 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)且3x1x2 0 時，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小， 開口越大； 當a 0 的前提下，當b 0 時， - b 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸左側(cè)；2a當b = 0 時， - b = 0

6、 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；2a當b 0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側(cè)2a 在a 0 時， - b 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)；2a當b = 0 時， - b = 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；2a當b 0 時， - b 0 ，在 y 軸的右側(cè)則ab 0 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為正； 當c = 0 時，拋物線與 y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為0 ； 當c 0,b0,c0b.a0,b0,c=0 c.a0,b0,b0,c 0bb -2aca-b+c 0dc0； a+b+c 0a-b+c 0 b2-

7、4ac0 abc 0；其中正確的為（）abcd4. 當 bbc，且 abc0，則它的圖象可能是圖所示的()6. 二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖 5 所示，那么 abc，b24ac， 2ab，abc 四個代數(shù)式中，值為正數(shù)的有()a.4 個b.3 個c.2 個d.1 個7. 在同一坐標系中，函數(shù) y= ax2+c 與y=cx(a0 時，y 隨 x 的增大而增大，則二次函數(shù)ykx2+2kx 的圖象大致為圖中的（）abcd二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情

8、況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式例題：函數(shù)解析式的求法一、已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)解析式為一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 a（0，3）、b（1，3）、c（1，1）三點，求該二次函數(shù)的解析式。2. 已知拋物線過 a（1，0）和 b（4，0）兩點，交 y 軸于 c 點且 bc5，求該二次函數(shù)的解析式。二、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同的兩點和拋物

9、線上另一點時，通常設(shè)解析式為頂點式 y=a(xh)2+k 求解。3. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，6），且經(jīng)過點（2，8），求該二次函數(shù)的解析式。4. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，3），且經(jīng)過點 p（2，0）點，求二次函數(shù)的解析式。三、已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設(shè)解析式為交點式 y=a(xx1) (xx2)。5. 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 a（1，0），b（3，0），函數(shù)有最小值8，求該二次函數(shù)的解析式。九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于 x 軸對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y

10、 = -ax2 - bx - c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 - k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = a (x + h)2 + k ；3. 關(guān)于原點對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 y = -a

11、(x + h)2 - k ；4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn) 180）b2 ；y = ax2 + bx + c 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c - 2ay = a (x - h)2 + k 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 + k 5. 關(guān)于點(m 何 n)對稱y = a (x - h)2 + k 關(guān)于點(m 何y = -a (x + h - 2m)2 + 2n - kn)對稱后，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 a 永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)

12、題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 x 軸交點情況）：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 是二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 當函數(shù)值 y = 0 時的特殊情況.圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當d = b2 - 4ac 0 時，圖象與 x 軸交于兩點 a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中1212的 x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx +

13、 c = 0(a 0)的兩根這兩點間的距離b2 - 4ac aab = x2 - x1 =. 當d = 0 時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當d 0 時，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有 y 0 ；2 當a 0 時，圖象落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實數(shù)，都有 y 0 時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：d 0拋物線與 x 軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根d = 0拋物線與 x 軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根d 0拋物線與 x 軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實

14、數(shù)根.例題：二次函數(shù)與 x 軸、y 軸的交點（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）1. 如果二次函數(shù) yx24xc 圖象與 x 軸沒有交點，其中 c 為整數(shù)，則 c （寫一個即可）2. 二次函數(shù) yx2-2x-3 圖象與 x 軸交點之間的距離為 3. 拋物線 y3x22x1 的圖象與 x 軸交點的個數(shù)是()a.沒有交點b.只有一個交點c.有兩個交點d.有三個交點4. 如圖所示，二次函數(shù) yx24x3 的圖象交 x 軸于 a、b 兩點， 交 y 軸于點 c， 則abc 的面積為()a.6b.4c.3d.15. 已知拋物線 y5x2(m1)xm 與x 軸的兩個交點在 y 軸同側(cè)，它們的距49離平方等于為

15、 25，則 m 的值為()a.2b.12c.24d.486. 已知拋物線 yx2-2x-8，（1） 求證：該拋物線與 x 軸一定有兩個交點；（2） 若該拋物線與 x 軸的兩個交點為 a、b，且它的頂點為 p，求abp 的面積。十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由 a 斷,c 與 y 軸來相見,b 的符號較特別，符號與 a 相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，y 軸作為參考線，左同右異中為 0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標即為對稱軸,縱標函 數(shù)最值見。

16、若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a 的正負開口判，c 的大小 y 軸看，的符號最簡便，x 軸上數(shù)交點，a、b 同號軸左邊拋物線平移 a 不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。例題：二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟策略性1. 某商店購進一批單價為 16 元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，若按每件 20 元的價格銷售時，每月能賣 360 件若按每件 25 元的價格銷售時，每月能賣 210 件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價格 x 的一次函數(shù).(1) 試求 y 與x 的之間的關(guān)系式.(2

17、) 在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才 能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入總成本）2. 有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以 延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基 本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活蟹 1000 千克放養(yǎng)在塘內(nèi)， 此時市場價為每千克 30 元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升 1 元， 但是放養(yǎng)一天需各種費用支出 400 元，且平均每天還有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克 20 元。（1） 設(shè) x 天后每千克活蟹的

18、市場價為 p 元，寫出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式。（2） 如果放養(yǎng) x 天后將活蟹一次性出售，并記 1000 千克蟹的銷售額為 q 元， 寫出 q 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式。（2）該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額 收購成本費用），最大利潤是多少？3. 某商場批單價為 25 元的旅游鞋。為確定 一個最佳的銷售價格，在試銷期采用多種價格進性銷售，經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)：按每雙 30 元的價格銷售時，每天能賣出60 雙； 按每雙 32 元的價格銷售時，每天能賣出 52 雙，假定每天售出鞋的數(shù)量y（雙） 是銷售單位 x 的一次函數(shù)。(1) 求 y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 在鞋不積壓，且不考慮其它因素的情況下，求出每天的銷售利潤 w（元） 與銷售單價 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 銷售價格定為多少元時，每天獲得的銷售利潤最多？是多少？“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to lear