三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到三邊距離的平方和的最小值是多少

1、三角形一動(dòng)點(diǎn)P到三邊距離的平方和的最小值是多少百度知直 教肓/利學(xué) 徑工學(xué)科 數(shù)學(xué)EJ三角形ABC三邊長(zhǎng)分別為4. 5, 6, P為三角形內(nèi)詔任査一點(diǎn)P到三邊更需 可可I 分別為xtyrz,求廠2+Q2+Q2的最小值提問(wèn)者:言芝丿5瀏蠱次數(shù)：1?40次2010-04-30 18:37三角形ABC三邊長(zhǎng)分別為血5. G. P為三縮彩內(nèi)幫任意一島P到三邊禽分別為汁乙求 的最小值滿(mǎn)意回答我宋幫他解答2010 04-30 19:09x+y+zsscz2)x=y=zB:t，等弓成立，此時(shí)冷屮乙為AABC內(nèi)切同的半徑即疋十尸十舉3產(chǎn)又厶ABC的面積S=1/2(a+b+cX.r=2S/(a+D4-C)設(shè)AA

2、BC辺長(zhǎng)為6朗邊上的高為h,高把6分為兩部分，一個(gè)設(shè)為：,貝IJ另一個(gè)為6護(hù)一疋=52(6：尸 解得x= 94則h=根號(hào)FS4月=5 7/4.ABC 的面禾頤=1/2xGx57/d= 157/4r= 2x157/4/(4+ 5+ 6)=7/2蟲(chóng)=7丿4.x2+y2+z221/4即x+y+z2的最小值為2”4三角形ABC三邊長(zhǎng)分別為心b, c, P為三角形內(nèi)部任意一點(diǎn),P到三邊距離分別為求xA2+yA2+zA2的最小值*解，設(shè)三角形的面積為S“由柯西不等式有，2(ctx-by+c二).(X2+y2+二彳)(/ 斗+ c *而er十加汁c二= 2S, “所以常宀宀土畔供匚a十方+c a十方+c當(dāng)且

3、僅當(dāng)-時(shí)等號(hào)成立。“Y V 二設(shè) x 二 kci y kb、z kc代入盃 + by+cz = 2S 十rlaS2bSZcS貝q X 271 2 / = 271、Z = 2_2aci +b +c ci +b +c ci +b +c至于最小值是多少，計(jì)算起來(lái)還真麻煩，雖然能夠計(jì)算出來(lái)。3那么如何作出P點(diǎn)呢？ 4按如下步驟進(jìn)行：“第一步：作出已知三角形的內(nèi)心I和重心G,如下圖，a第二步：連結(jié)AG, BG, CG；作AG關(guān)于AI的對(duì)稱(chēng)直線AD作BG 關(guān)于BI的對(duì)稱(chēng)直線BE,作CG關(guān)于CI的對(duì)稱(chēng)直線CF,則AD, BE, CF必交于一點(diǎn)，記這一點(diǎn)為G,在數(shù)學(xué)上稱(chēng)CT與G是三角形ABC 內(nèi)的一對(duì)等角共宛

4、點(diǎn)第三步，擦去輔助線和輔助點(diǎn)，留下I, G和則&點(diǎn)為所求的P點(diǎn)“下面證明&點(diǎn)為所求點(diǎn)p。PEd2S2bS2cS因?yàn)椤笆兴?廠市它-不喬曠* r 2aSabc2n2 esin A. / b + c同理=-aabc2 sin B、abcay易知同時(shí)滿(mǎn)足到三邊BC、AC、AB的距離分別為幵趴齊餐7血“片片廠in C的點(diǎn)只有一個(gè)故只 須證 ABC的重心的等角共純庸為此點(diǎn)和理設(shè)O為 ABC的薫心的尊角共 羽色點(diǎn) EF交AB.ACAO于E、F、H則AH為 AEF的一條中線的充分必要條件是附為 BC的逆平行線.注： ABC中t EF為BC的逆平行線的 充分必姜條件是NAEF = NG且AFE = ZB.弓|

5、理的證明: 如圖1 ,設(shè) Ai為厶ABC的 一條中線-(1)若 EF 為BC的逆平行 線則 AEFS ACB.因?yàn)镺為佔(zhàn)G重心的等角共範(fàn)點(diǎn)則 LDAC = LOAB = LHAE.所以ADCSA AHE .從而易知AH為必尸的一條中線.故 = fa3=77T?二齊(2)若AH為血:F的一條中線，假設(shè)命 題不成立，即EF不是BC的逆平行線.過(guò)H 作BC的逆平行線交ABAC于E，、穢,則 ET 工 EF.由(1)知?jiǎng)t EHEfZ FHF 故Z EE，H = N FFfH, EE, / FFf 所以9AB/AC,矛盾.因此，EF是BC的逆平行線. 綜上所述，引理得證.下面證明原命題.如圖2, O 為

6、ABC的重 心的等角共純 點(diǎn)，過(guò)O分別 作三邊的平行 線交三邊于 D、E、F、G.H. 八則有 FGO s EOD s4 OHl ARC 連結(jié)EF、GH連結(jié)OA交EF于八 則，4為他F的中線又是/A/V?C的重 心的箏角共軌點(diǎn)，由引超知 AEE S4 ABC.因?yàn)镺FE,所以, OFE s ABC 同理， HBG ABC. GOHABC aj =77z, jnyFO = A =詈,FG =壬 FO =,RH = 8 =罟巾=, BG = *BH=零.因?yàn)樨尸G+ GB = ABma1b所以gh = bh =mobabc因?yàn)榇臗OH9ZOCH=ZAr故0到BC的距離為萬(wàn)巴 2sinAQ L + b + Q同理，0到AC.AB的距離分別為 故0即為所求,丁卓2 血B、-a + 6 + Jaabc說(shuō)明：此證明