四升五培優(yōu)數(shù)學(xué)暑假班講義

1、 四年級(jí)培優(yōu)數(shù)學(xué) 暑假班漢中睿智教育第1講 算式謎專題簡(jiǎn)析：解決算式謎題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)突破口，推理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達(dá)到快速而準(zhǔn)確的目的；4算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。例1：在下面的方框中填上合適的數(shù)字。 7 6 1 8 3 1 0分析：由積的末尾是0，可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5；由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5，并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3；由第一個(gè)因數(shù)為376與積為310，可推出第二

2、個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練 習(xí) 一在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1） 6 （2） 2 （3） 2 8 5 3 5 6 3 3 0 4 1 2 1 8 7 0 9 例2：在下面方框中填上適合的數(shù)字。 分析：由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個(gè)位是0，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個(gè)位就是1，也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6，正好除盡。 完整的豎式是： 練 習(xí) 二在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。 例3：下面算式中的a、b、

3、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字？ a b c d 9 d c b a分析：因?yàn)樗奈粩?shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個(gè)位是1，可知d只能是9；因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是0（1已經(jīng)用過(guò)）；再由b=0，可推知c=8。練 習(xí) 三求下列各題中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字。（1） 1 華 羅 庚 金 杯 3 華= 羅= 庚=華 羅 庚 金 杯 1 金= 杯=（2） 盼 望 祖 國(guó) 早 日 統(tǒng) 一 一 盼= 望= 祖= 國(guó)= 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼 盼 早= 日= 統(tǒng)= 一=例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“、”

4、兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100分析：先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。比如：123與100比較接近，所以把前三個(gè)數(shù)字組成123，后面的數(shù)字湊出23就行。因?yàn)?5與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123456789=100再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123456789=100練 習(xí) 四（1）一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100（2）添上適

5、當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100例5：在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。791232 = 23分析：采用逆推法，從最后一步運(yùn)算開(kāi)始考慮。假如最后一步是用前面計(jì)算的結(jié)果減2，那么前面式子的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)等25，又因?yàn)?53=75，而前面7912又正好等于75，所以，應(yīng)給前面兩步運(yùn)算加括號(hào)。（7912）32 = 23練 習(xí) 五在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。883311112 = 5第2講 變化規(guī)律例1：兩數(shù)相減，被減數(shù)減少8，要使差減少12，減數(shù)應(yīng)有什么變化？分析與解答：被減數(shù)減少8，假如減數(shù)不變，差也減少8；現(xiàn)在要使差減少12，減數(shù)應(yīng)增加128=4。練 習(xí)

6、 一1、兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加20，要使差減少12，減數(shù)應(yīng)有什么變化？2、兩數(shù)相減，減數(shù)減少9，要使差增加16，被減數(shù)應(yīng)有什么變化？例2：兩個(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？分析與解答：兩數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。所以商是8，余數(shù)是2010=200。練習(xí)二1、 兩個(gè)數(shù)相除，商是9，余數(shù)是3。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大120倍，商是多少？余數(shù)是多少？2、兩個(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是600。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小100倍，商是多少？余數(shù)是多少？例3：兩數(shù)相乘，積是48。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，另一個(gè)因數(shù)縮小3

7、倍，那么積是多少？分析與解答：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，積擴(kuò)大2倍；另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是4823=32。練 習(xí) 三1、 兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴(kuò)大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？2、兩數(shù)相除，商是27。如果被除數(shù)擴(kuò)大12倍，除數(shù)擴(kuò)大6倍，那么商是多少？例4：小華在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1錯(cuò)誤地寫(xiě)成7，把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)誤地寫(xiě)成8，所得的和是1996。原來(lái)兩個(gè)數(shù)相加的正確答案是多少？分析與解答：根據(jù)題意，一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1被寫(xiě)成了7，這樣錯(cuò)寫(xiě)一個(gè)加數(shù)比原來(lái)增加了6；另一個(gè)加數(shù)十位上的3寫(xiě)成8，增加了50。這樣，所得的結(jié)果就比原來(lái)增加了6+50=5

8、6。所以，原來(lái)兩數(shù)相加的正確答案是：1996（656）=1940。練 習(xí) 四1、 小強(qiáng)在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位上的7錯(cuò)寫(xiě)成1，把個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成0，所得的和是285。正確的和是多少？2、小亮在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的5錯(cuò)寫(xiě)成3，把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成8，所得的和是650。正確的和是多少？例5：王霞在計(jì)算題時(shí)，由于粗心大意，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫(xiě)成5，把十位上的6錯(cuò)寫(xiě)成0，這樣算得差是189。正確的差是多少？分析與解答：根據(jù)題意，被減數(shù)個(gè)位上的3寫(xiě)成5，因此增加了2；十位上的6寫(xiě)成0，因此減少60。這樣錯(cuò)寫(xiě)的被減數(shù)比原來(lái)減少了602=58。因?yàn)闇p數(shù)不變，根據(jù)差的變化規(guī)律，正確的差

9、要比錯(cuò)誤的差多50。正確的差是：18958=247。練 習(xí) 五1、 小剛在做題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫(xiě)成6，把十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成8，這樣算得的差是268。正確的差是多少？2、小紅在做題時(shí)，把被減數(shù)十位上的0錯(cuò)寫(xiě)成8，把減數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成3，這樣算得的差是632。正確的差是多少？第3講 較復(fù)雜的和差倍問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：前面我們學(xué)習(xí)了和倍、差倍、和差三種應(yīng)用題，有的題目需要通過(guò)轉(zhuǎn)化而成為和倍、差倍、和差問(wèn)題，這類問(wèn)題叫做復(fù)雜的和差倍問(wèn)題。解答較復(fù)雜的和差倍問(wèn)題，需要我們從整體上把握住問(wèn)題的本質(zhì)，將題目進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，從而將較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般和倍、差倍、和差應(yīng)用題來(lái)解決。例1：兩箱茶葉共重96千克，

10、如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍。兩箱原來(lái)各有茶葉多少千克？分析與解答：由“兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍”可求出現(xiàn)在甲箱中有茶葉96（13）=24千克。由此可求出甲箱原來(lái)有茶葉2412=36千克，乙箱原來(lái)有茶葉9636=60千克。練 習(xí) 一1、甲、乙兩人共儲(chǔ)蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，這時(shí)甲儲(chǔ)蓄的錢(qián)數(shù)比乙的2倍少20元。甲、乙兩人原來(lái)各儲(chǔ)蓄多少元？2、某畜牧場(chǎng)共有綿羊和山羊3561只，后來(lái)賣了60只綿羊，又買(mǎi)來(lái)山羊100只，現(xiàn)在綿羊的只數(shù)比山羊的2倍多1只。原來(lái)綿羊和山羊各有多少只？例2：甲、

11、乙、丙三個(gè)同學(xué)做數(shù)學(xué)題，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他們一共做了多少道數(shù)學(xué)題？分析與解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，205=15道是丙的一半，也就是甲做的道數(shù)。丙做了152=30道，乙做了155=10道。他們共做了：（205）（12）（205）5=55道。練 習(xí) 二1、甲、乙、丙三個(gè)人合做一批零件，甲比乙多做12個(gè)，丙做的比甲的2倍少20個(gè)，比乙做的多38個(gè)。這批零件共有多少個(gè)？2、果園里的蘋(píng)果樹(shù)是桃樹(shù)的3倍，管理員每天能給25棵蘋(píng)果樹(shù)和15棵桃樹(shù)灑農(nóng)藥。幾天后，當(dāng)桃樹(shù)噴完農(nóng)藥時(shí)，蘋(píng)果樹(shù)還有140棵沒(méi)有噴藥。果園里共有多少棵樹(shù)？例3：某工廠

12、一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人。三個(gè)車間各有工人多少人？分析與解答：這是多量的和差問(wèn)題，解題的時(shí)候確定的標(biāo)準(zhǔn)不同，解法也就不同。如果以第二車間的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，第一車間減少10人，第三車間增加15人，那么2801015=285人是第二車間人數(shù)的3倍，由此可以求出第二車間有2853=95人，第一車間有9510=105人，第三車間有9515=80人。練 習(xí) 三1、一個(gè)三層柜臺(tái)共放皮鞋120雙，第一層比第二層多放4雙，第二層比第三層多7雙，三層各多皮鞋多少雙？2、四個(gè)數(shù)的和是152，第一個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)多16，比第三個(gè)數(shù)多20，比第四個(gè)數(shù)少12。第一

13、個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)是多少？例4：兩個(gè)數(shù)相除，商是4，被除數(shù)、除數(shù)、商的和是124。被除數(shù)和除數(shù)各是多少？分析與解答：從124里去掉商，是1244=120，它是除數(shù)的14=5倍，除數(shù)是1205=24，被除數(shù)是244=94。練 習(xí) 四1、兩個(gè)數(shù)相除，商是5，余數(shù)是7，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是187，求被除數(shù)。2、 兩個(gè)數(shù)相除，商是17，余數(shù)是8，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是501，求被除數(shù)和除數(shù)是多少。例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原來(lái)各有存款多少元？分析與解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相當(dāng)于甲存款數(shù)的

14、3倍，取出1103=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相當(dāng)于乙原有存款的43=12倍，乙現(xiàn)在存入110元后相當(dāng)于甲原有的12倍，取1103=330元，所以，330110=440元，相當(dāng)于乙原有的121=11倍。所以，乙原有存款44011=40元，甲原有存款404=160元。練 習(xí) 五1、 劉叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。劉叔叔和李叔叔原來(lái)各有存款多少元？2、有大、中、小三筐菠蘿，小筐裝的是中筐的一半，中筐比大筐少裝16千克，大筐裝的是小筐的4倍。大、中、小三筐各裝菠蘿多少千克？第4講 錯(cuò)中求解專題簡(jiǎn)

15、析：在加、減、乘、除式的計(jì)算中，如果粗心大意將算式中的一些運(yùn)算數(shù)或符號(hào)抄錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。這一周，我們就來(lái)討論怎樣利用錯(cuò)誤的答案求出正確的結(jié)論。例1：小玲在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)65寫(xiě)成56，結(jié)果得到的商是13，還余52。正確的商是多少？分析與解答：要求出正確的商，必須先求出被除數(shù)是多少。我們可以先抓住錯(cuò)誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：135652=780。所以，正確的商是：78065=12。練 習(xí) 一1、 甜甜和蜜蜜在用同一個(gè)數(shù)做被除數(shù)。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是多少？2、小虎在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1250寫(xiě)成1205，結(jié)果得到的商是48，余

16、數(shù)是5。正確的商應(yīng)該是多少？例2：小芳在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)32錯(cuò)寫(xiě)成320，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？分析與解答：根據(jù)題意，把除數(shù)32改成320擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，又因?yàn)楸怀龜?shù)不變，根據(jù)商的變化規(guī)律，正確的商應(yīng)該是錯(cuò)誤商的10倍。所以正確的商應(yīng)該是4810=480。練 習(xí) 二1、 小馬在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1280誤寫(xiě)成12800，得到的商是32。正確的商應(yīng)該是多少？2、 小欣在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)420錯(cuò)寫(xiě)成240，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？例3：小冬在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫(xiě)成173，這樣商比原來(lái)多了3，而余數(shù)正好相同。正確的商和余數(shù)是多少？分析與解答

17、：因?yàn)楸怀龜?shù)137被錯(cuò)寫(xiě)成了173，被除數(shù)比原來(lái)多了173137=36，又因?yàn)樯瘫仍瓉?lái)多了3，而且余數(shù)相同，所以除數(shù)是363=12。又由13712=115，所以余數(shù)是5。練 習(xí) 三1、 李明在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)171錯(cuò)寫(xiě)成117，結(jié)果商比原來(lái)少了3，而余數(shù)正好相同。求這道除法算式正確的商和余數(shù)。2、劉強(qiáng)在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫(xiě)成174，結(jié)果商比原來(lái)多3，余數(shù)比原來(lái)多1。求這道除法算式的除數(shù)和余數(shù)。例4：小龍?jiān)谧鰞晌粩?shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字4錯(cuò)當(dāng)作1，乘得的結(jié)果是525，實(shí)際應(yīng)為600。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？分析與解答：一個(gè)因數(shù)的個(gè)位4錯(cuò)當(dāng)作1，所得的結(jié)果

18、比原來(lái)少了（41）個(gè)另一個(gè)因數(shù)；實(shí)際的結(jié)果與錯(cuò)誤的結(jié)果相差600525=75，753=25，60025=24。所以一個(gè)因數(shù)是24，另一個(gè)因數(shù)是25。練 習(xí) 四1、 小菊做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字1誤寫(xiě)成7，結(jié)果得646，實(shí)際應(yīng)為418。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？2、李曉在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目時(shí)，把一個(gè)因數(shù)十位上的3誤當(dāng)作8，結(jié)果得2150，這道題的正確積應(yīng)是900。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？例5：方方和圓圓做一道乘法式題，方方誤將一個(gè)因數(shù)增加14，計(jì)算的積增加了84，圓圓誤將另一個(gè)因數(shù)增加14，積增加了168。那么，正確的積應(yīng)是多少？分析與解答：由“方方將一個(gè)因數(shù)增加14，計(jì)算

19、結(jié)果增加了84”可知另一個(gè)因數(shù)是8414=6；又由“圓圓誤將另一個(gè)因數(shù)增加14，積增加了168”可知，這個(gè)因數(shù)是16814=12。所以正確的積應(yīng)是126=72。練 習(xí) 五1、 兩個(gè)數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)增加3，另一個(gè)因數(shù)不變，那么積增加18；如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)減少4，那么積減少200。原來(lái)的積是多少？2、小敏在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字5誤寫(xiě)成3，得出的乘積是552；另一個(gè)學(xué)生卻把這個(gè)5寫(xiě)成8，得出的乘積是672。正確的乘積是多少？第5講 圖形問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：解答有關(guān)“圖形面積”問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、細(xì)心觀察，把握?qǐng)D形特點(diǎn)，合理地進(jìn)行切拼，從而使問(wèn)題得以順利地解決

20、；2、從整體上觀察圖形特征，掌握?qǐng)D形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計(jì)算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。例1：人民路小學(xué)操場(chǎng)長(zhǎng)90米，寬45米。改造后，長(zhǎng)增加10米，寬增加5米?，F(xiàn)在操場(chǎng)面積比原來(lái)增加了多少平方米？分析與解答：用操場(chǎng)現(xiàn)在的面積減去操場(chǎng)原來(lái)的面積，就得到增加的面積。操場(chǎng)現(xiàn)在的面積是（90+10）（45+5）=5000平方米，操場(chǎng)原來(lái)的面積是9045=4050平方米。所以，現(xiàn)在的面積比原來(lái)增加50004050=950平方米。練 習(xí) 一1、一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)18分米，寬13分米。如果長(zhǎng)和寬各減少2分米，面積比原來(lái)減少多少平方分米？2、 一塊長(zhǎng)方形地，長(zhǎng)是80米，寬是45米。如果把寬增加5米，要使

21、面積不變，長(zhǎng)應(yīng)減少多少米？例2：一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長(zhǎng)不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米。這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是多少平方米？分析與解答：由“寬不變，長(zhǎng)增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為546=9米；由“長(zhǎng)不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長(zhǎng)為363=12米。所以，這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是129=108平方米。練習(xí)二1、一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長(zhǎng)不變，寬增加3米，那么它的面積增加48平方米。這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是多少平方米？2、一個(gè)長(zhǎng)方形，如果它的長(zhǎng)減少3米，或它的寬減少2

22、米，那么它的面積都減少36平方米。求這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積。例3：下圖是一個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米的籬笆圍成的一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，求它的占地面積。 分析與解答：根據(jù)題意，因?yàn)橐幻胬弥鴫?，所以兩條長(zhǎng)加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長(zhǎng)是（164）2=6米，占地面積是64=24平方米。練 習(xí) 三1、 用56米長(zhǎng)的木欄圍成長(zhǎng)或?qū)捠?0米的長(zhǎng)方形，其中一邊利用圍墻，怎樣才能使圍成的面積最大？2、 用15米長(zhǎng)的柵欄沿著圍墻圍一個(gè)種植花草的長(zhǎng)方形苗圃，其中一面利用著墻。如果每邊的長(zhǎng)度都是整數(shù)，怎樣才能使圍成的面積最大？例4：街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中

23、間花壇的面積是多少平方米？分析與解答：把水泥路分成四個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形（如下圖）。因此，一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是124=3平方米。因?yàn)樗嗦穼?米，所以小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是31=3米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的差，所以小正方形的邊長(zhǎng)是31=2米。中間花壇的面積是22=4平方米。 練習(xí)一 1、 四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成了一個(gè)大正方形（如上圖），大正方形的面積是64平方米，小正方形的面積是4平方米，長(zhǎng)方形的短邊是多少米？2、已知大正方形比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，大正方形的面積比小正方形面積大96平方厘米（如下圖）。問(wèn)大小正方形的面積各是多少？ 例5：一塊正方形的鋼板，先截去

24、寬5分米的長(zhǎng)方形，又截去寬8分米的長(zhǎng)方形（如圖），面積比原來(lái)的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 分析與解答：把陰影部分剪下來(lái)，并把剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼起來(lái)（如圖），再被上長(zhǎng)、寬分別是8分米、5分米的小長(zhǎng)方形，這個(gè)拼合成的長(zhǎng)方形的面積是181+85=221平方分米，長(zhǎng)是原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)，寬是8+5=13分米。所以，原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)是22113=17分米。練習(xí)五1、一個(gè)長(zhǎng)方形的木板，如果長(zhǎng)減少5分米，寬減少2分米，那么它的面積就減少66平方分米，這時(shí)剩下的部分恰好是一個(gè)正方形。求原來(lái)長(zhǎng)方形的面積。2、一塊正方形的的玻璃，長(zhǎng)、寬都截去8厘米后，剩下的正方形比原來(lái)少448平方厘米，這塊

25、正方形玻璃原來(lái)的面積是多大？第6講 巧妙求和專題簡(jiǎn)析：某些問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)數(shù)的和，在解決這些問(wèn)題時(shí)，同樣要先判斷是否求某個(gè)等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。在解決自然數(shù)的數(shù)字問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時(shí)可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對(duì)，使問(wèn)題得以順利解決。例1：劉俊讀一本長(zhǎng)篇小說(shuō)，他第一天讀30頁(yè)，從第二天起，他每天讀的頁(yè)數(shù)都前一天多3頁(yè)，第11天讀了60頁(yè)，正好讀完。這本書(shū)共有多少頁(yè)？分析與解答：根據(jù)條件“他每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè)”可以知道他每天讀的頁(yè)數(shù)是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36、57、60。要求這本書(shū)共多少頁(yè)也就是求

26、出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)=30，末項(xiàng)=60，項(xiàng)數(shù)=11，因此可以很快得解：（3060）112=495（頁(yè)）想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？練習(xí)一1、胡茜讀一本故事書(shū)，她第一天讀了20頁(yè)，從第二天起，每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多5頁(yè)。最后一天讀了50頁(yè)恰好讀完，這本書(shū)共有多少頁(yè)？2、麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中學(xué)會(huì)了多少個(gè)英語(yǔ)單詞？例2：30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試幾次？分析與解答：開(kāi)第一把鎖時(shí)，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開(kāi)，即

27、開(kāi)第一把鎖至多需要試29次；同理，開(kāi)第二把鎖至多需試28次，開(kāi)第三把鎖至多需試27次等打開(kāi)第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開(kāi)。所以，至多需試29282721=（291）292=435（次）。練習(xí)二1、有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？2、有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？例3：某班有51個(gè)同學(xué)，畢業(yè)時(shí)每人都和其他的每個(gè)人握一次手。那么共握了多少次手？分析與解答：假設(shè)51個(gè)同學(xué)排成一排，第一個(gè)人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個(gè)依次和剩下的人握手，共握了49

28、次，第三個(gè)人握了48次。依次類推，第50個(gè)人和剩下的一人握了1次手，這樣，他們握手的次數(shù)和為：50494821=（501）502=1275（次）練習(xí)三1、在一次同學(xué)聚會(huì)中，一共到43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？2、假期里有一些同學(xué)相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問(wèn)有多少位同學(xué)相約互通電話？例4：求1 99 這99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。分析與解答：首先應(yīng)該弄清楚這題是求99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求這99個(gè)數(shù)之和。為了能方便地解決問(wèn)題，我們不妨把0算進(jìn)來(lái)（它不影響我們計(jì)算數(shù)字之和）計(jì)算099這100個(gè)數(shù)的數(shù)字之和。這1

29、00個(gè)數(shù)頭尾兩配對(duì)后每?jī)蓚€(gè)數(shù)的數(shù)字之和都相等，是9+9=18，一共有1002=50對(duì)，所以，199這99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是1850=900。練習(xí)四1、求1999這999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。2、求13000這3000個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。第7講 還原問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：已知某個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算后所得的結(jié)果，要求原數(shù)，這類問(wèn)題叫做還原問(wèn)題，還原問(wèn)題又叫逆運(yùn)算問(wèn)題。解決這類問(wèn)題通常運(yùn)用倒推法。遇到比較復(fù)雜的還原問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表來(lái)解決這些問(wèn)題。例1： 小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴(kuò)大10倍，恰好是100歲。小剛的奶奶今年多少歲？分析與解答：從最

30、后一個(gè)條件恰好是100歲向前推算，擴(kuò)大10倍后是100歲，沒(méi)有擴(kuò)大10倍之前應(yīng)是10010=10歲；加上2之后是10歲，沒(méi)有加2之前應(yīng)是102=8歲；沒(méi)有縮小9倍之前應(yīng)是89=72歲；減去7之后是72歲，沒(méi)有減去7前應(yīng)是727=79歲。所以，小剛的奶奶今年是79歲。練 習(xí) 一1、在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。20816=262、一個(gè)數(shù)的3倍加上6，再減去9，最后乘上2，結(jié)果得60。這個(gè)數(shù)是多少？例2： 某商場(chǎng)出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10臺(tái)，下午售出剩下的一半多20臺(tái)，還剩95臺(tái)。這個(gè)商場(chǎng)原來(lái)有洗衣機(jī)多少臺(tái)？分析與解答：從“下午售出剩下的一半還多20臺(tái)”和“還剩95臺(tái)”向前倒推，剩下的95臺(tái)和下午多

31、賣的20臺(tái)合起來(lái)，即9520=115臺(tái)正好是上午售后剩下的一半，那么1152=230臺(tái)就是上午售出后剩下的臺(tái)數(shù)。而230臺(tái)和10臺(tái)合起來(lái)，即23010=240臺(tái)又正好是總數(shù)的一半。那么，2402=480臺(tái)就是原有洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)。練 習(xí) 二1、爸爸買(mǎi)了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個(gè)，第二天吃了剩下的一半多1個(gè)，第三天又吃掉了剩下的一半多1個(gè)，還剩下1個(gè)。爸爸買(mǎi)了多少個(gè)橘子？2、某水果店賣菠蘿，第一次賣掉總數(shù)的一半多2個(gè)，第二次賣掉了剩下的一半多1個(gè)，第三次賣掉第二次賣后剩下的一半多1個(gè)，這時(shí)只剩下一個(gè)菠蘿。三次共賣得48元，求每個(gè)菠蘿多少元？例3： 小明、小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書(shū)

32、60本。如果小強(qiáng)向小明借3本后，又借給小勇5本，結(jié)果三個(gè)人有的故事書(shū)的本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來(lái)各有故事書(shū)多少本？分析與解答：不管這三個(gè)人如何借來(lái)借去，故事書(shū)的總本數(shù)是60本，根據(jù)結(jié)果三個(gè)人故事書(shū)本數(shù)相同，可以求最后三個(gè)人每人都有故事書(shū)603=20本。如果小強(qiáng)不借給小勇5本，那么小強(qiáng)有205=25本，小勇有205=15本；如果小強(qiáng)不向小明借3本，那么小強(qiáng)有253=22本，小明有203=23本。練 習(xí) 三1、甲、乙、丙三個(gè)小朋友共有賀年卡90張。如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三個(gè)人的賀年卡張數(shù)剛好相同。問(wèn)三人原來(lái)各有賀年卡多少?gòu)垼?、小紅、小麗、小敏三個(gè)人各有年歷若干張。如果小紅給小麗1

33、3張，小麗給小敏23張，小敏給小紅3張，那么他們每人各有40張。原來(lái)三個(gè)人各有年歷多少?gòu)?？?： 甲、乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝暗钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄埃@時(shí)兩桶油恰好都是36千克。問(wèn)兩桶油原來(lái)各有多少千克？分析與解答：如果后來(lái)乙桶不倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，甲桶內(nèi)應(yīng)有油362=18千克，乙桶應(yīng)有油3618=54千克；如果開(kāi)始不從甲桶倒出和乙桶同樣多的油倒入乙桶，乙桶原有油應(yīng)為542=27千克，甲桶原有油1827=45千克。練 習(xí) 四1、甲、乙、丙三個(gè)小朋友各有玻璃球若干個(gè)，如果甲按乙現(xiàn)有的玻璃球個(gè)數(shù)給乙，再按丙現(xiàn)有的個(gè)數(shù)給丙之后，乙也按

34、甲、丙現(xiàn)有的個(gè)數(shù)分別給甲、丙。最后，丙也按同樣的方法給甲、乙，這時(shí)，他們?nèi)齻€(gè)人都有32個(gè)玻璃球。原來(lái)每人各有多少個(gè)？2、書(shū)架上分上、中、下三層，共放192本書(shū)?，F(xiàn)從上層出與中層同樣多的書(shū)放到中層，再?gòu)闹袑尤〕雠c下層同樣多的書(shū)放到下層，最后從下層取出與上層剩下的同樣多的書(shū)放到上層，這時(shí)三書(shū)架所放的書(shū)本數(shù)相等。這個(gè)書(shū)架上、中、下各層原來(lái)各放多少本書(shū)？例5： 兩只猴子拿26個(gè)桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多5個(gè)。問(wèn)甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？分析與解答：先求出兩個(gè)猴現(xiàn)在各拿多少，根據(jù)“有26個(gè)桃”和“這時(shí)

35、乙猴比甲猴多2個(gè)”，可知乙猴現(xiàn)在拿（262）2=14個(gè)，甲猴現(xiàn)在拿2614=12個(gè)。甲猴從乙猴那兒搶走一半，又還給乙猴5個(gè)后有12個(gè)，如果甲猴不還給乙猴，那么甲猴有125=17個(gè)；如果甲猴不搶乙猴一半，那么乙猴現(xiàn)在有（2617）2=18個(gè)。乙猴看甲猴拿得太多，搶去甲猴的一半后有18個(gè)，如果不搶，那么甲猴最初準(zhǔn)備拿（2618）2=16個(gè)。練 習(xí) 五1、學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹(shù)苗，小強(qiáng)和小萍兩人爭(zhēng)著去栽。小強(qiáng)先拿了樹(shù)苗若干棵，小萍看到小強(qiáng)拿太多了就搶了10棵，小強(qiáng)不肯，又從小萍那里搶了6棵，這時(shí)小強(qiáng)拿的棵數(shù)是小萍的2倍。問(wèn)最初小強(qiáng)準(zhǔn)備拿多少棵？2、有甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，從甲數(shù)中拿出15加到乙數(shù)，再?gòu)囊覕?shù)中拿

36、出18加到丙數(shù)，最后從丙數(shù)拿出12加到甲數(shù)，這時(shí)三個(gè)數(shù)都是180。問(wèn)甲、乙、丙三個(gè)數(shù)原來(lái)各是多少？例5：求1209這209個(gè)連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。分析與解答：不妨先求0199的所有數(shù)字之和，再求200209的所有數(shù)字之和，然后把它們合起來(lái)。0199的所有數(shù)字之和為（1+92）（2002）=1900，200209的所有數(shù)字之和為210+1+2+9=65。所以，1209這209個(gè)連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和為1900+65=1965。練習(xí)五1、求1308連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。2、求12009連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。3、求連續(xù)自然數(shù)20005000的全部數(shù)字之和。第8講 盈虧問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：在日

37、常生活中常有這樣的問(wèn)題：一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。盈虧問(wèn)題就是在已知盈虧的情況下來(lái)確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。解答盈虧問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關(guān)系。盈虧問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：（1）（盈虧）兩次分配差=份數(shù) （大盈小盈）兩次分配差=份數(shù) （大虧小虧）兩次分配差=份數(shù)（2）每次分得的數(shù)量份數(shù)盈=總數(shù)量 每次分得的數(shù)量份數(shù)虧=總數(shù)量例1：一個(gè)植樹(shù)小組植樹(shù)。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個(gè)植樹(shù)小組有多少人？一共有多少棵樹(shù)？由題意可知，植樹(shù)的人數(shù)和樹(shù)的棵數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，結(jié)果相差144=18棵，即第一種方案的結(jié)果比第二種多18棵。這是因?yàn)閮煞N分配方案每人植樹(shù)的棵數(shù)相差75=2棵。所以植樹(shù)小組有182=9人，一共有5914=59棵樹(shù)。練 習(xí) 一1、某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒(méi)有床位；如果每間8人，則多出10個(gè)床位。問(wèn)宿舍多少間？學(xué)生多少人？2、有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問(wèn)：這個(gè)班共有多少學(xué)生？例2：學(xué)校將一批鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。如果每人獎(jiǎng)9支，則缺45支；如果每人獎(jiǎng)7支，則缺7支。三