高考數(shù)學(xué)知識考點精析16平面向量與空間向量

1、第十六講平面向量與空間向量1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，有向線段的長度叫向量的模，注意不能說向量就是有向線段。長度為 0 的向量叫零向量， 記作：0 ，注意零向量的方向是任意的。長度為一個單位長度的向量叫做單位向量，常用e 表示。ab 表示與 ab同向的單位向量abac表示 bac的角平分線。0,ababac上的向量， 共線向量 （也叫平行向量） ：方向相同或相反的非零向量，a 平行于 b ，記作： a b ，規(guī)定零向量和任何向量平行。注意： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等。表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移。共

2、線向量的方向不一定相同或相反，因為零向量的方程是任意的。相反向量；長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。2、向量加法： 設(shè) aba, bcb, 那么向量 ac叫做 a與b的和，即 ababbcac作向量的加法有“三角形法則”和“平行四邊形法則” ，其中“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量。作向量減法有“三角形法則”：設(shè) aba, acb, 那么ababacca 由減向量和終點指向被減向量和終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。3、向量共線定理：b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得 b a（ a0），4、平面向量的基本定理：如果e1 ， e2 是

3、同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a 存在唯一的一對有序?qū)崝?shù)1 ,2使 a1 e12 e2 成立，不共線向量e1 ， e2 表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5 、 向 量 平 行 的 坐 標(biāo) 表 示 ： a / bx1 y2x2 y10 ， 對 空 間 向 量ax1, y1 , z1 ,bx2 , y2 , z2 ,a b abx1x2 , y1y2 , z1z2 ,6、空間直線的向量參數(shù)方程如圖： a， b， p 三點共線 abapba1oop oa t a b = 1t oa t ob 特別當(dāng) t=1 時op1 oaob此時 p 為22ab的中點。 o為空間任一點。

4、即p、 a、 b 三點共線opxoayob xy17、兩個向量的夾角：對于非零向量a ， b ，作 oaa,ob b,aob0稱為向量 a ， b 的夾角，當(dāng) 0 時， a ， b 同向，當(dāng)時， a ， b 反向，當(dāng)時，2a ， b 垂直。向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 a b cos叫做 a與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積） ，記作： a b ，即 ab a b cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量 a ， b 。1 e a ae a cos a,e, 2 aba b 0222

5、3 a b a b a b , a a a a , aaab4 cosa b（5）當(dāng) a ， b 同向時， ab a b ，當(dāng) a 與 b 反向時， ab a b ，當(dāng) 為銳角時，a b為正且， 不同向，a ba b，當(dāng)為鈍角時，a b為負(fù)且， 不反向，a ba ba b a b 。當(dāng) 為銳角時， ab 0，且 a、b 不同向， a b0是為銳角的必要非充分條件 ；當(dāng)為鈍角時， ab 0，且 a、b 不反向， a b0 是為鈍角的必要非充分條件 ； | a b | a |b | 。如（ 1）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則 的取值范圍是 _（答：4或0

6、 且1）；332數(shù)量積的的運算律：已知向量a, b, c和 實數(shù)，下面（ 1）（ 2）（ 3）分別叫做交換律，數(shù)乘結(jié)合律，分配律。a, b2 baa,b3ab注意下列式子是錯誤的：1 ab cabc2abbca caba b 022330 ，3b4 a b a a b ba b , 5 a b 0 a 0或b平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ax1, y1 ,bx2 , y2 那么 abx1x2y1 y2 ，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ax1, y1 , z1 , bx2, y2 , z2, 那么abx1 x2y1 y2z1 z28、向量的長度和兩點間的距離公式：1 ax, y , 那么 a2y2 ,

7、ax2yx222 若 a x1, y1 , b x2 , y2,那么 abx22y22x1y13 a2x2y2z2 , ax2y 2z2x, y, z , 那么 a4 若 a x1, y1 , z1 , b x2 , y2 , z2, 那么 abx2x12y22z22y1z19、 兩向量垂直的充要條件：非零 向量 ax , y ,bx , y2那么 a b x x2y y 0a b112112非零向量 ax1 , y1, z1 , bx2 , y2 , z2 那么 ab x1x2y1 y2z1z2 0a b10、 b cos叫 b 在 a 上的投影。 ab 的幾何意義是它等于a 的模 a 與

8、b 在 a 上的投影的積。注意：投影也叫射影，是一個數(shù)，可正可負(fù)也可為0，不再是一個向量。有兩種計算方式：a在 b上的投影acosa,babb11、向量與平面平行：如果向量所在直線在平面內(nèi)或與平面平行，則稱向量與平面平行。注意與直線與平面平行的區(qū)別。共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空間任意兩個向量都共面 ( 包括兩條異面直線上的向量 ) 。空間三個向量不一定共面。不共面的三個向量可構(gòu)成空間的一個基底。共面向量定理：如果兩個向量a ， b 不共線，則向量p 與向量 a ， b 共面的充要條件是存在實數(shù)對 x,y ，使得p x a +y b .共面向量定理的推論：空間一點p 位于平面m

9、ab 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y,使3mpxmaymb 或?qū)臻g任一點o，有 opomxmay mb momnoakob （ m n+k=1） . 這也是證四點共面的方法。12、空間向量基本定理：如果三個向量a ， b ， c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個唯一的有序組 x,y,z, 使 p x a +y b +z c . 其中 a ， b ， c 叫做空間的一個基底，a ，b ， c 都叫做基向量。13、空間直角坐標(biāo)系：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長度都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用i,j,k表示，而空間坐標(biāo)系的建立是：在空間選定一點o和一個單位正交基

10、底 i,j,k ，以 o為原點，分別以 i,j,k的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x 軸， y 軸， z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸，o xyz 為空間坐標(biāo)系，向量i,j,k 為坐標(biāo)向量，通過每兩條數(shù)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別叫做 xoy 平面，yoz 平面 ,xoz 平面 , 作空間坐標(biāo)系時，一般使 xoy=135( 或 45) ， yoz=90. 在空間坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x 軸的正方向，食指指向y 軸的正方向， 如果中指指向z 軸的正方向， 則稱此坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。14、向量與平面垂直：如果表示向量a 的有向線段所在的直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，此時向量a 叫做平面的法向量。1

11、5、線段的定比分點： 設(shè)點 p 是直線 p1 p 2 上異于 p1 、p2的任意一點， 若存在一個實數(shù)，使 p1 p pp ，叫做點 p 分有向線段1 2所成的比， p點叫做有向線段1 2 的以定比為2pppp的定比分點。當(dāng)p 點在線段 p 1 p 2上時，0，當(dāng) p 點在線段 p 1 p 2 的延長線上時，1，當(dāng) p點在線段 p 2 p1 的延長線上時 10。若點 p 分有向線段 pp 所成的比為，則點 p 分有向線段 p p所成的比為11221定比分點的坐標(biāo)公式：x1x2x設(shè) p1 x1, y1 , p2 x2 , y2 , p x, y , pp1pp2 ,1y1y2y1在使用定比分點的

12、坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確（x,y） ,（x 1 ,y1 ） ,（ x 2 ,y 2 ）的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)。一般在計算中應(yīng)根據(jù)題設(shè)，自行確定起點，分點和終點并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比。4xx1x22 1 時，就得到 p1 p 2 的中點公式：當(dāng)y1yy2216 、 在abc 中 ， 若 a x , y , bx , y2, c x, y3， 則 其 重 心 的 坐 標(biāo) 為1123gx1x2x3 , y1y2y3。33pg1( papb pc)g為abc的重 心 ， 特 別 地3papbpc0p 為abc 的重心；pa pbpb pcpc pap 為abc 的垂心；向量( abac

13、)(0)所在直線過abc 的內(nèi)心 ( 是bac 的角平分線所在| ab | ac |直線 ) ； | ab | pc | bc | pa| ca | pb 0pabc 的內(nèi)心； s 1xb yaxa y b aob2如：（ 1）若 o 是 abc 所在平面內(nèi)一點，且滿足ob ocob oc2oa ，則abc 的形狀為 _（答：直角三角形） ；（ 2）若 d 為abc 的邊 bc 的中點，abc 所在平面內(nèi)有一點p ，滿足 apbpcp0 ，設(shè) | ap |，則的值為 _（答： 2）；（ 3）| pd |若點 o 是 abc 的外心，且 oaobco0 ，則 abc 的內(nèi)角 c 為 _（答： 120 ）；17、平移公式：將點p（ x,y ）, 按 ah,k平