數(shù)學(xué)必修2：直線的傾斜角與斜率

1、第三章直線與方程本章教材分析直線與方程是平面解析幾何初步的第一章，用坐標(biāo)法研究平面上最簡單的圖形直線.本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，介紹直線的傾斜角、斜率等概念 ;然后建立直線的方程:點斜式、斜截 式、兩點式、截距式等;通過直線的方程，研究直線間的位置關(guān)系:平行和垂直，以及兩條直線的交點坐標(biāo)、 點到直線的距離公式等.解析幾何研究問題的主要方法是坐標(biāo)法，它是解析幾何中最基本的研究方法.坐標(biāo)法的基本特點是，首 先用代數(shù)語言(坐標(biāo)及其方程)描述幾何元素及其關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化;解決代數(shù)問題，得到結(jié)果;分析代 數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題.本章自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想.在圖形的研究過程中，注意

2、代數(shù)方法的使用 ;在代數(shù)方法的使用過 程中，加強(qiáng)與圖形的聯(lián)系.直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好知識上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地 運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎(chǔ) .只有學(xué)好本章才能為第四章的圓與方程做好準(zhǔn)備和鋪墊 . 教學(xué)中一定要注重由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，多采用變式教學(xué)，同時滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分 類討論、類比、推廣、特殊化、化歸等），體現(xiàn)由特殊到一般的研究方法，化難為易、化抽象為具體，深 入淺出的引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽質(zhì)疑、積極思考、合作探究、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，教師合理誘導(dǎo) 并且及時鼓勵，使同學(xué)們能愉快的、輕松的學(xué)習(xí)，并且提高他們應(yīng)用所學(xué)知

3、識解決問題（尤其是實際問題） 的能力，真正體現(xiàn)出“在用中學(xué)，在學(xué)中用，為用而學(xué)，學(xué)而能用”，這一點也正符合新課標(biāo)的要求和精神.本章教學(xué)時間約 9 課時，具體分配如下（僅供參考）：3.1.13.1.23.2.13.2.23.2.33.3.13.3.23.3.3 及 3.3.4傾斜角與斜率兩直線平行與垂直的判定直線的點斜式方程直線的兩點式方程直線的一般式方程兩條直線的交點坐標(biāo)兩點間的距離點到直線的距離及兩條平行線間的距離本章復(fù)習(xí)約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時約 1 課時3.1 直線的傾斜角與斜率3.1.1 傾斜角與斜率一、教材分析直

4、線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地 運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎(chǔ).事實上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這 兩個基本概念，學(xué)生才能對直線及其位置進(jìn)行定量的研究.對直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們 的準(zhǔn)確涵義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧.本小節(jié)從一個具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的傾斜角概念，注重了由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律， 并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法 .引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到之所以引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率 概念，是進(jìn)一步研究直線方程的需要.二、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能（

5、1） 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.（2） 理解直線傾斜角的唯一性.（3） 理解直線斜率的存在性.（4） 斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.2過程與方法引導(dǎo)幫助學(xué)生將直線的位置問題（幾何問題）轉(zhuǎn)化為傾斜角問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為傾斜角的正切即斜率問 題（代數(shù)問題）進(jìn)行解決，使學(xué)生不斷體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.3情感、態(tài)度與價值觀（1） 通過直線傾斜角的概念的引入學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力， 運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力.（2） 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立 辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)

6、謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:直線的傾斜角和斜率概念以及過兩點的直線的斜率公式.教學(xué)難點:斜率公式的推導(dǎo).四、課時安排1 課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路 1.如圖 1 所示，在直角坐標(biāo)系中，過點p 的一條直線繞 p 點旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對 x 軸的 相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率.圖 1思路 2.我們知道，經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線.那么，經(jīng)過一點 p 的直線 l 的位置能確定嗎?這些 直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢?教師引入課題：傾斜角與斜率.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1 怎樣描述直線的傾斜程度呢？2 圖 2 中標(biāo)出的直線的傾

7、斜角 對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？圖 23 直線的傾斜角能不能是 0？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平角？能否 大于平角？4 日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？5 正切函數(shù)的定義域是什么？6 任何直線都有斜率么？7 我們知道兩點確定一條直線，那么已知直線上兩點坐標(biāo)，如何才能求出它的傾斜角和斜率呢？如： 已知 a(2，3)、b(1，4)，則直線 ab 的斜率是多少?活動:與交角有關(guān).當(dāng)直線 l 與 x 軸相交時，取 x 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的 角 叫做直線 l 的傾斜角.可見：平面上的任一直線都有唯一的一個傾斜角，并且傾斜角定了，

8、直線的方向也就定了.2 考慮正方向.3 動手在坐標(biāo)系中作多條直線，可知傾斜角的取值范圍是 0180.在此范圍內(nèi)，坐標(biāo)平面上的任何 一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角都能確定一條直線的方向.傾斜角直觀地表示了直線對 x 軸正 方向的傾斜程度.規(guī)定：當(dāng)直線和 x 軸平行或重合時，直線傾斜角為 0，所以傾斜角的范圍是 0180.聯(lián)想小時候玩的滑梯，結(jié)合坡度比給出斜率定義，直線斜率的概念.傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用 k 表示，即 k=tan.5 教師介紹正切函數(shù)的相關(guān)知識.6 說明：直線與斜率之間的對應(yīng)不是映射，因為垂直于 x 軸的直線沒有斜率.（傾斜角是

9、90的直線沒有斜率）已知直線 l 上的兩點 p (x ，y )，p (x ，y )，且直線 l 與 x 軸不垂直，如何求直線 l 的斜率？教學(xué)時1 1 1 2 2 2可與教材上的方法一樣推出.討論結(jié)果:用傾斜角.2 都不對.與定義中的 x 軸正方向、直線向上方向相違背.3 直線的傾斜角能是 0，能是銳角，能是直角，能是鈍角，不能是平角，不能大于平角.4 有，常用的有坡度比.5 90的正切值不存在.6 傾斜角是 90的直線沒有斜率.過兩點 p (x ，y )、p (x ，y )的直線的斜率公式 k= 1 1 1 2 2 2（三）應(yīng)用示例思路 1y -y2 1x -x2 1.例 1 已知 a(3，

10、2)，b(-4，1)，c(0，-1)，求直線 ab，bc，ca 的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是 銳角.活動:引導(dǎo)學(xué)生明確已知兩點坐標(biāo)，由斜率公式代入即可求得 k 的值;而當(dāng) k=tan0 時，傾斜角 是鈍角;而當(dāng) k=tan0 時，傾斜角 是銳角;而當(dāng) k=tan=0 時，傾斜角 是 0.解:直線 ab 的斜率 k =1170，所以它的傾斜角 是銳角;直線 bc 的斜率 k =-0.50，所以它的傾斜角 是鈍角;2直線 ca 的斜率 k =10，所以它的傾斜角 是銳角.3變式訓(xùn)練已知 a(1，3 3 )，b(0，2 3 )，求直線 ab 的斜率及傾斜角.解:k =ab3 3 -2 3 1

11、 -0= 3，直線傾斜角的取值范圍是 0180，直線 ab 的傾斜角為 60.例 2 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點且斜率分別為 1，-1，2 及-3 的直線 a，b，c，l.活動:要畫出經(jīng)過原點的直線 a，只要再找出 a 上的另外一點 m.而 m 的坐標(biāo)可以根據(jù)直線 a 的斜率確 定.解:設(shè)直線 a 上的另外一點 m 的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)斜率公式有：1=y -0x -0，所以 x=y.可令 x=1，則 y=1，于是點 m 的坐標(biāo)為(1，1).此時過原點和點 m(1，1)，可作直線 a. 同理，可作直線 b，c，l.變式訓(xùn)練1.已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1)=0；（2）=60；(

12、3)=90.活動:指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義直接求解.解：(1)tan0=0，傾斜角為 0的直線斜率為 0.(2)tan60=3，傾斜角為 60的直線斜率為3.(3)tan90不存在，傾斜角為 90的直線斜率不存在.點評：通過此題訓(xùn)練，意在使學(xué)生熟悉特殊角的斜率.2.關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的( )a. 任一條直線都有傾斜角，也都有斜率b. 直線的傾斜角越大，它的斜率就越大c. 平行于 x 軸的直線的傾斜角是 0 或 ；兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等 d.直線斜率的范圍是(，)答案：d思路 2例 1 求經(jīng)過點 a(-2，0)，b(-5，3)的直線的斜率和傾斜角.解：k =ab3

13、-0 -5 -( -2)=1，即 tan=-1，又0180，=135.該直線的斜率是-1，傾斜角是 135.abacab ac點評：此題要求學(xué)生會通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角.變式訓(xùn)練求過下列兩點的直線的斜率 k 及傾斜角 .（1）p (-2，3)，p (-2，8)；1 2（2）p (5，-2)，p (-2，-2).1 2解：（1）p p 與 x 軸垂直，直線斜率不存在，傾斜角 =90.1 2-2 -( -2)（2）k=tan= =0，直線斜率為 0，傾斜角 =0.-2 -5例 2 已知三點 a、b、c，且直線 ab、ac 的斜率相同，求證:這三點在同一條直線上.證明：由直線的

14、斜率相同，可知直線 ab 的傾斜角與 ac 的傾斜角相等，而兩直線過公共點 a， 所以直線 ab 與 ac 重合，因此 a、b、c 三點共線.點評：此題反映了斜率公式的應(yīng)用，即若有共同點的兩直線斜率相同，則可以判斷三點共線. 變式訓(xùn)練11.若三點 a(2，3)，b(3，2)，c( ，m)共線，求實數(shù) m 的值.22 -3 m -3解：k = =-1，k = ，3 -2 1-22m -3 9a、b、c 三點共線，k =k . =-1.m= .1 2-222.若三點 a(2，2)，b(a，0)，c(0，b)(ab0)共線，則1 1+ 的值等于_. a b答案：12例 3 已知三角形的頂點 a(0，

15、5)，b(1，-2)，c(-6，m)，bc 的中點為 d，當(dāng) ad 斜率為 1 時，求 m 的值 及|ad|的長.分析：應(yīng)用斜率公式、中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式.解：d 點的坐標(biāo)為(-5 m -2， )，2 2k =adm -2-525- -025 5=1.m=7.d 點坐標(biāo)為(- ， ).2 2|ad|=5( )225+(5 - )22=5 22.變式訓(xùn)練過點 p(1，1)的直線 l 與 x 軸和 y 軸分別交于 a、b 兩點，若 p 恰為線段 a 的中心，求直線 l 的斜 率和傾斜角.答案：k=-1，傾斜角為 （四）知能訓(xùn)練3 p4.課本本節(jié)練習(xí) 1、.（五）拓展提升已知點 a(-2，3

16、)，b(3，2)，過點 p(0，-2)的直線 l 與線段 ab 有公共點，求直線 l 的斜率 k 的取值范圍. 分析：利用數(shù)形結(jié)合同時注意直線斜率不存在的特殊情形.答案：(-，（六）課堂小結(jié)4 5)(- ，+). 3 2通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：（1） 掌握已知直線的傾斜角求斜率;（2） 直線傾斜角的概念及直線傾斜角的范圍；（3） 直線斜率的概念；（4） 已知直線的傾斜角（或斜率），求直線的斜率（或傾斜角）的方法. （七）作業(yè)習(xí)題 3.1 a 組 3、4、5.3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定一、教材分析直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系，它們的判定，又都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來確定

17、的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學(xué)時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯(lián) 系與區(qū)別.值得注意的是，當(dāng)兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值 得略加說明.二、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直.2過程與方法通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正確知識解決新問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合能力. 3情感、態(tài)度與價值觀通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，合作交流的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣.三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:掌握兩條直線平行、垂直的充要條件，并會判斷兩條直線

18、是否平行、垂直.教學(xué)難點:是斜率不存在時兩直線垂直情況的討論（公式適用的前提條件）.四、課時安排1 課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路 1.設(shè)問（1)平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？(2)兩條直線的傾斜角相等，這兩條直 線是否平行？反過來是否成立？(3)“=”是“tan=tan”的什么條件？根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，能否利用 斜率來判定兩條直線平行呢?思路 2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的是什么知識？想一想傾斜角具備什么條件時兩條直線會平行、垂直呢? 你認(rèn) 為能否用斜率來判斷.這節(jié)課我們就來專門來研究這個問題.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1 平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有幾種？2 兩條直

19、線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？3 “=”是“tan=tan”的什么條件？4 兩條直線的斜率相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？5 l l 時，k 與 k 滿足什么關(guān)系？1 2 1 2l l 時，k 與 k 滿足什么關(guān)系？1 2 1 2活動:教師引導(dǎo)得出平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. 數(shù)形結(jié)合容易得出結(jié)論.3 注意到傾斜角是 90的直線沒有斜率，即 tan90不存在.4 注意到傾斜角是 90的直線沒有斜率.5 必要性：如果 l l ，如圖 1 所示，它們的傾斜角相等，即 = ，tan =tan ，即 k =k .1 2 1 2 1

20、 2 1 2圖 12充分性：如果 k =k ，即 tan =tan ，1 2 1 20 180，0 180， = .于是 l l .1 2 1 2 1 2學(xué)生討論，采取類比方法得出兩條直線垂直的充要條件.討論結(jié)果：平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.2 兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線平行，反過來成立.3 “=”是“tan=tan”的充要條件.4 兩條直線的斜率相等，這兩條直線平行，反過來成立.5 l l k =k .1 2 1 2l l k k =-1.1 2 1 2（三）應(yīng)用示例例 1 已知 a（2，3），b（4，0），p（3，），q（1，2），判斷直線 b

21、a 與 p的位置關(guān)系，并證 明你的結(jié)論.解:直線 ba 的斜率 k =ba3 -0 2 -( -4)=0.5，直線 pq 的斜率 k =pq2 -1 -1 -( -3)=0.5，因為 k =k .所以直線 bapq.ba pq變式訓(xùn)練1若 a(-2，3)，b(3，-2)，c( ，m)三點共線，則 m 的值為( )2a.1 1b.-2 2c.-2 d.2分析：k =k ， ab bc答案：a-2 -3 m +2=3 +2 1-321，m= .2例 2 已知四邊形 abcd 的四個頂點分別為 a（0，0），b（2，-1），c(4，2)，d(2，3)，試判斷四邊形 abcd 的形狀，并給出證明.解：ab 邊所在直線的斜率 k =-ab12，cd 邊所在直線的斜率 k =-cd12，3bc 邊所在直線的斜率 k = ，bcda 邊所在直線的斜率 k =da32.因為 k =k ，k =k ，所以 abcd，bcda.ab cd bc da因此四邊形 abcd 是平