(最新整理)《實變函數(shù)》試卷三與參考答案

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2、變函數(shù)試卷三題號一二三四五總分得分專業(yè)_班級_ 姓名 學號 注 意 事 項1、本試卷共6頁. 2、考生答題時必須準確填寫專業(yè)、班級、學號等欄目,字跡要清楚、工整。得 分 一、單項選擇題（3分5=15分)1、設(shè)，則( ）（a） （b) （c） （d)2、設(shè)是上有理點全體，則下列各式不成立的是( ）(a) (b) （c） =0，1 （d） 3、下列說法不正確的是( ）（a） 若，則 （b） 有限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集 (c） 可測集的任何子集都可測 （d)凡開集、閉集皆可測4、設(shè)是一列可測集，且，則有（ ）（a） (b) (c）；（d）以上都不對5、設(shè)f（x)是上絕對連續(xù)函數(shù),則下面

3、不成立的是（ ）(a） 在上的一致連續(xù)函數(shù) （b） 在上處處可導（c）在上l可積 （d) 是有界變差函數(shù)得 分二. 填空題(3分5=15分)1、設(shè)集合，則_2、設(shè)為cantor集，則 ，_,=_.3、設(shè)是中點集,如果對任一點集都有_，則稱是可測的4、葉果洛夫定理： _ 5、設(shè)在上可測，則在上可積的 條件是|在上可積。（填“充分，“必要”，“充要”）得 分三、下列命題是否成立?若成立，則證明之;若不成立，則舉反例說明。（5分4=20分）1、任意多個開集之交集仍為開集。2、若,則一定是可數(shù)集.3、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。 4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。得 分四、解答題(8分2=16分）。1、（

4、8分）設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限得 分五、證明題（6分4+10=34分）。1、(6分）試證 2、(6分）設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常數(shù) c， 是一開集.考 生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分）設(shè)是可測集的非負可積函數(shù)，是的可測函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。4、(6分）設(shè)在上積分確定，且于，則在上也積分確定,且得 分閱卷人復查人5、（10分)設(shè)在上，而成立，,則有考生答題不得超此線 試卷三(參考答案及評分標準) 一、一 單項選擇題（3分5=15分）1、設(shè),則（ b )（a） （b) （c） (d）2、設(shè)是上有理點全體，則下列各式不成立的是（ d

5、）（a） （b) （c) =0,1 (d) 3、下列說法不正確的是（ c ）(a） 若，則 （b) 有限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集 (c） 可測集的任何子集都可測 （d）凡開集、閉集皆可測4、設(shè)是一列可測集，,且，則有（ a ）（a） （b） （c）；（d)以上都不對5、設(shè)f(x)是上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（ b ）（a） 在上的一致連續(xù)函數(shù) (b） 在上處處可導（c）在上l可積 (d） 是有界變差函數(shù) 二。 二 填空題(3分5=15分)1、設(shè)集合，則_2、設(shè)為cantor集，則 ,_0_,=_。3、設(shè)是中點集，如果對任一點集都有_,則稱是可測的4、葉果洛夫定理：設(shè)是上一列收

6、斂于一個有限的函數(shù) 的可測函數(shù)，則對任意存在子集,使在上一致收斂且。5、設(shè)在上可測，則在上可積的 充要 條件是|在上可積.(填“充分”,“必要,“充要”）三、下列命題是否成立？若成立,則證明之；若不成立，則舉反例說明。(5分4=20分）1、任意多個開集之交集仍為開集.解：不成立 2分反例:設(shè)gn=（ ）,n=1,2，l， 每個gn為開集 但 不是開集. 5分2、若，則一定是可數(shù)集.解:不成立 2分反例:設(shè)是集，則, 但c , 故其為不可數(shù)集 .5分3、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。解：不成立 2分例如：取作函數(shù)列:顯然當。但當時，且這說明不測度收斂到1 5分4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。解:不成

7、立 2分例如：顯然是的連續(xù)函數(shù)。如果對取分劃，則容易證明，從而得到 5分四、解答題(8分2=16分）.1、（8分）設(shè) ，則在上是否可積,是否可積,若可積,求出積分值。解:在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集 .3分因為是有界可測函數(shù),在上是可積的 6分因為與相等,進一步， 8分2、求極限 解：記則在0,1上連續(xù)，因而在0，1上（r）可積和（l）可積。 .2分又 4分 。6分 且在上非負可積,故由lebesgue控制收斂定理得 、.8分五、證明題(6分4+10=34分)。1、（6分）試證證明：記中有理數(shù)全體，令顯然 5分所以 6分2、（6分）設(shè)f(x)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常數(shù) c， 是一開集。證明: 。1分因f（x）連續(xù)，故. 。4分即。所以是e的內(nèi)點. 由的任意性，e的每一個點都是內(nèi)點，從而e為開集。 6分考 生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分)設(shè)是可測集的非負可積函數(shù)，是的可測函數(shù)，且,則也是上的可積函數(shù)。 證明：, 1分 是可測集的非負可積函數(shù) 是上的可積函數(shù). 。. 4分 同理,也是上的可積函數(shù)。 是上的可積函數(shù)。