計(jì)算方法1.3分段線性插值.ppt

1、4. 分段線性插值公式,4.1 高次插值的Runge現(xiàn)象,Lagrange插值的截?cái)嗾`差表明：插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)的逼近程度，同插值節(jié)點(diǎn)的數(shù)目和位置有關(guān)。一般地，節(jié)點(diǎn)越多，逼近程度越好，但也有例外！,例如：考察函數(shù),-0.36,0.36,從圖可以看出：僅在區(qū)間的中部能較好的逼近函數(shù)f(x),在其它部位差異較大，而且越接近端點(diǎn)，逼近效果越差（雖然在插值節(jié)點(diǎn)上沒(méi)有誤差,但在插值節(jié)點(diǎn)之外插值誤差變得很大,從“整體”上看,插值逼近效果將變得“很差”。即 ：高次插值的整體逼近效果往往不理想?。??？梢宰C明，當(dāng)節(jié)點(diǎn)無(wú)限加密時(shí)，Ln(x)也只能在很小的范圍內(nèi)收斂，在插值區(qū)間的邊界附近發(fā)生劇烈的震蕩，這一現(xiàn)象稱

2、為Runge現(xiàn)象。它表明通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)來(lái)提高逼近程度是不適宜的，因而不采用高次多項(xiàng)式插值。,Runge現(xiàn)象 隨著插值節(jié)點(diǎn)數(shù)增加，插值多項(xiàng)式的次數(shù)也相應(yīng)地增加，而插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間的邊界上發(fā)生劇烈的震蕩。它揭示了高次插值多項(xiàng)式存在的缺陷。 產(chǎn)生的原因 誤差有截?cái)嗾`差和舍入誤差兩部分組成，而在插值的計(jì)算過(guò)程中，舍入誤差可能會(huì)擴(kuò)散或放大（數(shù)值不穩(wěn)定?。?，從而引起計(jì)算失真！。,問(wèn)題：為了既要不增加插值多項(xiàng)式的次數(shù)以減少舍入誤差（避免高次插值），又要縮小插值區(qū)間以減少截?cái)嗾`差（提高插值精度），可采用分段插值的方法。,分段低次插值問(wèn)題：就是將插值區(qū)間分為若干個(gè)小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低次插值，最后將

3、每個(gè)小區(qū)間上的插值多項(xiàng)式連接在一起，得到整個(gè)區(qū)間上的插值函數(shù)。,1),2),3),分段低次插值問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述：,稱函數(shù) 為具有分劃 的分段 次式，點(diǎn) 稱作 的節(jié)點(diǎn)。,4.2 分段線性插值（就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線段連接起來(lái)逼近被插函數(shù)）,分段線性插值問(wèn)題：,易知， 為是一條折線函數(shù)，在每個(gè)小區(qū)間 上可表示為：,于是， 是在 上是連續(xù)函數(shù)。,用“基函數(shù)法”構(gòu)造分段線性插值函數(shù)，則在整個(gè)區(qū)間 上 為,從“整體上”構(gòu)造分段線性插值函數(shù)的基函數(shù)。每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上所對(duì)應(yīng)的插值基函數(shù)滿足：,基于以上兩方面，我們觀察,分段線性插值函數(shù)的構(gòu)造,右,左,1）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,2）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,

4、3）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,用分段線性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。,S1(x)的圖形是一條以 (xi, f(xi)為折點(diǎn)的折線。,提示：參考高等數(shù)學(xué)，求最大值,分段線性插值函數(shù)的誤差估計(jì),定理：,說(shuō)明：可以加密插值節(jié)點(diǎn), 縮小插值區(qū)間, 使h減小, 從而減小插值誤差。,4.3 分段三次Hermite插值多項(xiàng)式,用“基函數(shù)法”構(gòu)造分段三次Hermite插值函數(shù)，則在整個(gè)區(qū)間 上 為,類似地，只需在整個(gè)區(qū)間 上定義一組分段插值基函數(shù) ， ， 。觀察下圖:,左,右,左,右,左，右連接起來(lái)！,于是,1）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,2）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,3）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,插值基函數(shù) 的圖像：,1）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,2）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,3）在插值節(jié)點(diǎn) 上，插值基為：,插值基函數(shù) 的圖像：,分段三次Hermite插值函數(shù)的誤差估計(jì),定理：,提示：類似于前面的誤差估計(jì)