實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形.ppt

1、作業(yè)講評,一. 2.,若是A的特征值, 則,是A*的特征值.,二.1.,六. 設(shè)A2 3A + 2E = 0, 證明A的特征值只能取1或2,證明: 若是A的特征值, 則2 - 3 + 2是A2 -3A +2E的特征值, 即2 - 3 + 2是零矩陣O的特征值,從而2 - 3 + 2 = 0, 故只能取1或者2.,七. 已知3階矩陣A的特征值為1, 2, -3, 求,解:,實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,一. 實(shí)二次型及其矩陣表示,實(shí)二次型,定義1. 設(shè)x1, x2, , xn 是n個變量，稱關(guān)于x1, x2, , xn的二次多項(xiàng)式 :,為這n個變量的一個實(shí)二次型。,其中ai,j皆是實(shí)數(shù), 并約定當(dāng)i j時

2、ai,j = aj,i,2. 實(shí)二次型的矩陣表示,例1. 把下列二次型表示成矩陣的形式,解：,二.矩陣的合同變換與二次型,1. 線性變換與二次型,設(shè)f(x1, x2, , xn) = XTAX是一個實(shí)二次型, 其中A是一個n階實(shí)對稱方陣, XT = (x1, x2, , xn),設(shè)P是一個n階實(shí)可逆方陣，在線性變換X = PY之下，,核心問題: 如何選擇可逆方陣P, 使得:,即, 如何選擇可逆方陣P, 使得:,2. 矩陣的合同變換,定義2. 設(shè)A和B是兩個n階實(shí)對稱方陣，若存在一個n階的實(shí)可逆方陣P，使得B=PTAP則稱矩陣B與A合同，或稱B與A相和。,合同關(guān)系:,自反性;,對稱性;,傳遞性.

3、,等價關(guān)系,三. 實(shí)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形,定理：若A是一個n階實(shí)對稱方陣，則存在n階正交矩陣P，使得PTAP成為一個對角矩陣 = diag(1, 2, , n),其中對角線上的數(shù)字恰好是矩陣A的特征值，稱該對角矩陣為矩陣A在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形; 而把關(guān)于變量Y的二次型1y12 + 2y22 + + nyn2稱為二次型XTAX在正交變換之下的標(biāo)準(zhǔn)形，其中X=PY。,證明：（歸納法）,顯然，當(dāng)n = 1時定理成立。,設(shè)n = k時定理成立;下面證明n = k + 1定理依然成立。,設(shè)1是實(shí)對稱方陣A的一個特征值，p1是A的與之對應(yīng)的一個單位特征向量。,選取另外k個k + 1維向量q1, q2

4、, , qk，使得p1, q1, q2, , qk構(gòu)成Rk+1空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。,記P1 = (p1, q1, q2, , qk),顯然P1是一個k + 1階的正交方陣。,注意：,AP1 = (1p1, Aq1, Aq2, , Aqk),記：,由于P1TAP1 =,仍是一個實(shí)對稱方陣,所以*必然一個k維0行向量，A1是一個k階實(shí)對稱方陣。,依據(jù)歸納假設(shè)，存在k階正交方陣Q, 使得QTA1Q = diag(2, 2, , k+1),構(gòu)造k + 1階正交方陣,顯然有：,= diag(1, 2, ,k+1),記P = P1P2，,顯然P依然是一個k+1階正交方陣,滿足PTAP = diag(1,

5、 2, ,k+1),證畢,推論: 設(shè)A為n階實(shí)對稱方陣, 是A的特征方程的k重根, 則與對應(yīng)的、線性無關(guān)的特征向量恰有k個。也就是說方陣A - E的秩恰好等于n k.,例2.在正交變換之下求下列二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 .,解：,首先把二次型寫成矩陣的形式,然后求該對稱矩陣的特征值,該方陣的特征值為3，3，6，6; 在正交變換X = PY之下該方陣的標(biāo)準(zhǔn)形為diag(3, 3, 6, 6); 該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42.,為了確定正交方陣P,我們需要再求方陣A的特征向量.,解方程組：,得方陣A關(guān)于特征值3的特征向量:,解方程組：,得方陣A關(guān)于特征值6的特征向量:,最后利用Schmidt正交化過程，把所得到的特征向量正交化:,取,取,令:,例3. 由方程-7x2 y2 z2 + 8xy + 8xz + 16yz = 1確定的曲面是一個什么樣的二次曲面？試在正交變換之下把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形.,解：,首先把方程寫成矩陣的形式：,然后計算該方陣的特征值.,該方陣的特征值為： 9 -9 -9,計算方陣與特征值9對應(yīng)的特征向量,計算方陣與特征值-9對應(yīng)的特征向量,最后把所