專題四函數(shù)零點(diǎn)的解題思路及技巧解析版王彥文

1、專題四函數(shù)零點(diǎn)的解題思路及技巧解析版王彥文專題五：函數(shù)零點(diǎn)的解題思路及技巧【高考地位】函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是相應(yīng)方程的根，而方程是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，因而函數(shù)的零點(diǎn)亦成為新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn).其經(jīng)常與函數(shù)的圖像、性質(zhì)等知識交匯命題，多以選擇、填空題的形式考查.【方法點(diǎn)評】一、零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間的確定使用情景：一般函數(shù)類型解題模板：第一步 直接根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的乘積是否大于0；第二步 若其乘積小于0，則該區(qū)間即為存在的零點(diǎn)區(qū)間；否則排除其選項(xiàng)即可.例1 函數(shù)()43xf x e x =+-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ） A 10,4 B 11,42 C 13,2

2、4 D 3,14 【答案】B考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理【變式演練1】方程220x x +-=的解所在的區(qū)間為（ ）A (1,0)-B (0,1)C (1,2)D (2,3)【答案】B試題分析：由題意得，設(shè)函數(shù)()22x f x x =+-，則()()0102021,12121f f =+-=-=+-=， 所以()()010f f 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).【變式演練2】函數(shù)21()log f x x x=-的零點(diǎn)所在區(qū)間（ ） A 1(0,)2 B 1(,1)2 C (1,2) D (2,3) 【答案】C試題分析：()211(1)log 1110,2122f f =-=-=Q ，()()120f f 考點(diǎn)：函

3、數(shù)零點(diǎn)的判斷 二、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定方法1：定義法使用情景：一般函數(shù)類型解題模板：第一步 判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二步 根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的乘積是否小于0；若其乘積小于0，則該區(qū)間即為存在唯一的零點(diǎn)區(qū)間或者直接運(yùn)用方程的思想計(jì)算出其零點(diǎn)；第三步 得出結(jié)論.例2.函數(shù)x e x f x3)(+=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A 0B 1C 2D 3【答案】B考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)【變式演練3】函數(shù)3()22x f x x =+-在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】B試題分析：由于函數(shù)3()22x f x x =+-在區(qū)間(0,1)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，且()010,(

4、1)10f f =-考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)的判定方法、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力、本題的解答中，根據(jù)題意得出函數(shù)3()22x f x x =+-在區(qū)間(0,1)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)且()()010f f 【變式演練43sin x =的根的個(gè)數(shù)是（ ）A 3B 4C 5D 6【答案】C考點(diǎn)：圖象的交點(diǎn)【思路點(diǎn)晴】本題考查的是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題首先運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,把給定方程轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)基本函數(shù)的交點(diǎn)問題,再通過函數(shù)的性質(zhì)與比較函數(shù)在相同自變量處的函數(shù)值的大小

5、關(guān)系畫出兩個(gè)基本函數(shù)圖象,需要注意的是,兩個(gè)函數(shù)都過)0,0(點(diǎn),而y 軸右側(cè)的高低情況需要比較兩個(gè)函數(shù)在0=x 處的切線斜率得到,為本題的易錯(cuò)點(diǎn)【變式演練5】已知函數(shù)()()ln x f x x x g x x e -=g ，（1）記()()()F x f x g x =-，求證：函數(shù)()F x 在區(qū)間()1+，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證出結(jié)論即可； 方法2：數(shù)形結(jié)合法使用情景：一般函數(shù)類型解題模板：第一步 函數(shù)()g x 有零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程()()f x m x =有根的問題；第二步 在同一直角坐標(biāo)系

6、中，分別畫出函數(shù)()y f x =和()y m x =的圖像；第三步 觀察并判斷函數(shù)()y f x =和()y m x =的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第四步 由()y f x =和()y m x =圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)()0g x =的零點(diǎn)即可得出結(jié)論.例3. 方程31()|log |3x x =的解的個(gè)數(shù)是 （ ）A 3B 2C 1D 0【答案】B 試題分析：由圖象可知，函數(shù)1()3x y =與函數(shù)3log y x =有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程有2個(gè)解?？键c(diǎn)：函數(shù)與方程。 【高考再現(xiàn)】8.【2021高考北京，理14】設(shè)函數(shù)()()()2142 1.x a x f x x a x a x - 若1a =，則

7、()f x 的最小值為 ；若()f x 恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 【答案】(1)1，(2)112a 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)知識，本題屬于中等題，第一步正確畫出圖象，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，第二步涉計(jì)參數(shù)問題，針對參數(shù)進(jìn)行分類討論，按照題目所給零點(diǎn)的條件，找出符合零點(diǎn)要求的參數(shù)a ，討論要全面，注意數(shù)形結(jié)合【反饋練習(xí)】1【 2021年福建福州外國語學(xué)校高二上月考一數(shù)學(xué)試卷,】函數(shù)1()()22x f x x =-+的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）A ()1,0-B ()0,1C ()1,2D ()2,3【答案】D 試題分析：因087)3(,04

8、1)2(,023)1(,03)0(,05)1(x f x x =-+零點(diǎn)所在的區(qū)間是()2,3,應(yīng)選答案D 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)及判別.2. 【2021屆山西省名校高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷, 文4】函數(shù)3()3|1(1)f x x x x =-+的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）A 11(,)34-和1(,1)2B 11(,)23-和11(,)32 C 11(,)23-和1(,1)2 D 11(,)34-和11(,)32 【答案】D考點(diǎn)：1、零點(diǎn)存在性定理；2、分段函數(shù)3. 【2021屆】已知二次函數(shù)2()f x ax bx c =+滿足22c a b +且0c =考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)4. 【2021屆甘肅肅南裕固族自治縣一中高三10月月考數(shù)學(xué)試卷, 文12】已知函數(shù)()()()()21,01,0x x f x f x x -=-，若方程