積分不等式的證明方法及其應(yīng)用

1、積分不等式的證明方法及其應(yīng)用【摘要】本文根據(jù)定積分的定義、性質(zhì)、定理等方面簡單介紹了幾個(gè)證明積分不等式的基本方法，并給出了相應(yīng)的例題，從而更好地掌握其積分不等式的證明方法。爾后再給出四個(gè)重要積分不等式及其證明方法和應(yīng)用，最后詳細(xì)舉例說明積分不等式在求極限、估計(jì)積分、證明積分不等式等上的應(yīng)用及兩個(gè)重要積分不等式的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】積分不等式 Schwarz不等式 Hlder不等式 Gronwall不等式 Young不等式1 引言 在學(xué)習(xí)中，我們常會遇到這樣的問題：有些函數(shù)可積，但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式來表達(dá)，或者說這種積分“積不出”，無法應(yīng)用Newton-Leibniz公式求出（如），這時(shí)

2、我們只能用其它方法對積分值進(jìn)行估計(jì)，或近似計(jì)算；另一種情況是，被積函數(shù)是沒有明確給出，只知道它的結(jié)構(gòu)或某些性質(zhì)（例如設(shè)函數(shù)在上連續(xù)可微，且，求），因此我們希望對積分值給出某種估計(jì).為此我們來研究下積分不等式. 我們把含有定積分的不等式稱為積分不等式.，都是積分不等式.2積分不等式的證明方法2.1 定義法我們根據(jù)定積分的定義，把積分區(qū)間等分，得出積分和，再由離散型式子，得出積分和之間的大小關(guān)系，再令，取極限即可.例1設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上可積 .試證明有不等式.證 先用Jensen不等式法證明不等式 : 對 , 有不等式 . 設(shè)為區(qū)間的等分.由上述不等式,有. 令, 注意到函數(shù)和在區(qū)間 0 , 1 上

3、的可積性以及函數(shù) 和的連續(xù)性，就有積分不等式 .例2 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，在上有定義，并有二階導(dǎo)數(shù)，試證明：.證 （利用積分和）將等分，記， 因?yàn)?，所以為凸函?shù)，所以 則有 令取極限，便得欲證明的積分不等式.2.2 利用定積分的基本性質(zhì)例3 設(shè)在上二次連續(xù)可微，試證：，其中.證 將在處用泰勒公式展開，注意到，則，的右端第一項(xiàng)在上的積分為0，故，其中.例4設(shè)函數(shù)在連續(xù)且遞增，證明：對任意，有.證1 ,移項(xiàng)即得.證2 或但在閉區(qū)間上連續(xù)且遞增，故，即成立，原題獲證.2.3 利用重積分證明積分不等式把積分不等式中的定積分變換成重積分，再利用重積分的性質(zhì)證明積分不等式.例5 已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)

4、，求證： （*）證 （*）式左端 原式獲證.2.4 利用縮放積分區(qū)間來證明積分不等式的方法例6 設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，（），試證：.證 因（），故在內(nèi)恒正或恒負(fù)（否則由介值性知必有零點(diǎn)在內(nèi)，與矛盾），不妨設(shè)（的情況類似可證），,因在上連續(xù)，故存在，使得，于是對任意有 下面我們來恰當(dāng)?shù)剡x取，得到所需的估計(jì).注意到，應(yīng)用Lagrange公式得，；.令，則因?yàn)?，所以，獲證.2.5 構(gòu)造變限積分的方法對于一個(gè)積分不等式，可把常數(shù)變?yōu)樽兞繕?gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)來證明積分不等式.例7 設(shè)在上可微，且當(dāng)時(shí)，試證明：.證1 問題在于證明故令，因，故只要證明在內(nèi)有.事實(shí)上， 令，故只要證明在內(nèi)有，因

5、，故只要證明在內(nèi)有.事實(shí)上， 已知，（），故時(shí)，所以，故.證2 已知，（），故時(shí)，所以問題在于證明（*）令， 則（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有 2.6 其它方法證明積分不等式的方法很多，像判別式法，面積法，概率論法等，在此我就不一一介紹了.3 幾個(gè)重要積分不等式及其應(yīng)用本節(jié)我們將會介紹幾個(gè)著名的不等式.這些不等式不僅本身是重要的，而且證明這些不等式的方法，也十分典型.因此本節(jié)將系統(tǒng)地介紹這些不等式，并著重討論它們的證明與應(yīng)用.3.1 Schwarz不等式及其應(yīng)用3.1.1 Cauchy不等式對任意個(gè)數(shù)恒有，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)成立.我們將這種離散的和的不等式推廣到積分不等式，就

6、得到Schwarz不等式.3.1.2 定理1(Schwarz不等式) ,在區(qū)間上可積，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得時(shí)成立（不同時(shí)為）.證1 將等分，令，應(yīng)用Cauchy不等式得，則有，令得.證2 利用定積分的性質(zhì)易知，即(1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上可積，所以在區(qū)間上也可積且非負(fù)，故有于，所以于，繼而有于，所以有，命題得證，其中.(2)當(dāng)時(shí)，上面方程是關(guān)于的二次多項(xiàng)式不等式，因此，判別式：，即：,命題得證.證3 利用二重積分來證明Schwarz不等式. 即有，由此看出若在區(qū)間上連續(xù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得時(shí)成立（不同時(shí)為）.3.1.2 Schwarz不等式的應(yīng)用應(yīng)用Schwarz不等式，可

7、證明另外一些不等式，使用時(shí)要注意恰當(dāng)選取函數(shù).例1 已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)，求證： （*）證 （*）式左端第一項(xiàng)應(yīng)用Schwarz不等式，得 同理 所以 例2 求證：,其中在區(qū)間上連續(xù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得時(shí)成立,不同時(shí)為.證 對上式兩邊開平方即得要證明的積分不等式.3.2 Hlder不等式及其應(yīng)用3.2.1 基本形式設(shè)，為實(shí)數(shù)，且有，則當(dāng)（從而）時(shí)，當(dāng)（從而）時(shí)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)成立.3.2.2 Hlder不等式的積分形式定理2 設(shè)，并使得所論的積分有意義，為共軛實(shí)數(shù)（即），則 當(dāng)（從而）時(shí)， 當(dāng)（從而）時(shí)，若連續(xù)，則其中的等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.證 當(dāng)（從而）時(shí)，令.因?yàn)?/p>

8、，所以，(1) 若，又，則，所以于，故于，所以有于，故，原式得證.同理時(shí)，原式可證.（2）若，令，因?yàn)橛校ù耸揭姳疚牡?3頁例8）,令，則得所以，.當(dāng)（從而）時(shí)，因，則 所以有.在上述兩種情況中，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.3.2.2 Hlder不等式的應(yīng)用例3 試證明：.證 令，于是 例5 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)可微，且，求.證 在Hlder不等式中取，則故有3.3 Gronwall不等式及其應(yīng)用3.3.1 Gronwall不等式定理3 設(shè)為非負(fù)常數(shù)，為區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式 ，則有，.證1 當(dāng)時(shí)，令，則在上恒正且可導(dǎo)，則，則，；當(dāng)時(shí)，則有由的任意性知，原式得證.證2 令， 則，且在上可導(dǎo)，對上

9、式兩邊取積分得，原式得證.3.3.2 Gronwall不等式的應(yīng)用下面我們來看一下Gronwall在證明一階線性微分方程的惟一性時(shí)的應(yīng)用.例6 設(shè)積分方程在區(qū)間上存在連續(xù)解，且關(guān)于滿足Lipschitz條件：，證明這個(gè)連續(xù)解是惟一的.證 設(shè)此方程還有一連續(xù)解.現(xiàn)在取，構(gòu)造皮卡逼近函數(shù)序列如下： ，則， 應(yīng)用Gronwall不等式得，則有，即連續(xù)解是惟一的.3.4 Young不等式及其應(yīng)用著名的不等式還有很多，我們不準(zhǔn)備一一介紹，最后，我來紹一個(gè)在證法上有特點(diǎn)的Young不等式.3.4.1 Young不等式定理4 設(shè)遞增，連續(xù)于，表示的反函數(shù)，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.該式從幾何上看上要分清楚

10、的.因積分等于曲邊梯形的面積，可能發(fā)生的三種情況，如下圖所示，這時(shí)，其中表示圖形的面積. 證 我們證明 因?yàn)檫f增，連續(xù)于上，故遞增，連續(xù)于上.故式有意義.將等分，記分點(diǎn)為，相應(yīng)的點(diǎn)為，（）構(gòu)成上的一個(gè)分劃：，因?yàn)樵谏线B續(xù)，故在上一致連續(xù).故時(shí)，對于分劃來講，有，故 ， 式獲證.由式可知，若，則中等號成立.若，則由的連續(xù)性知，存在，使得，于是 時(shí)，只要把看作是的反函數(shù)，就可由的結(jié)論得到. 聯(lián)系，可知定理成立.3.4.2 Young不等式的應(yīng)用例7 證明當(dāng)時(shí)，不等式成立. 證 令，則單調(diào)遞增且連續(xù)，因，應(yīng)用Young不等式可得.例8 設(shè)，試證：.證 設(shè)，則單調(diào)遞增且連續(xù)，因，應(yīng)用Young不等式可

11、得，且等號當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立。原式獲證.4 積分不等式的應(yīng)用4.1 求含積分的數(shù)列或函數(shù)的極限設(shè)收斂數(shù)列或是一個(gè)有關(guān)定積分的數(shù)列或函數(shù)，若它不容易算出來，此時(shí)我們就可以借助兩個(gè)積分不等式來估計(jì)它，再應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)的夾逼原則即可以得出它的極限.例1求（1）；（2）解 （1）任意（不妨設(shè)） 因?yàn)?，所以故存在，使得時(shí)，所以故=0.（2）因，所以=0.例2 設(shè)嚴(yán)格遞減，在上連續(xù)，試證：任意，都有.證 因?yàn)閲?yán)格遞減，所以故對任意固定的有所以.4.2 估計(jì)積分對于一個(gè)定積分，若它不易求出，而又要用.到它的一些性質(zhì)時(shí)，我們往往用另外兩個(gè)定積分來逼近它，或找一個(gè)接近它的定積分作為它的估計(jì)值.例3估計(jì)下列各式（1

12、） ；（2）；（3） 解 （1）因?yàn)樵谏嫌薪纾?，有，所?（2）因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的，故，即，所以. （3）令，則時(shí)，所以（），故 下面我們來看下積分估計(jì)在某些例題中的應(yīng)用.例4設(shè)在上連續(xù)，試證：在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).證 若在內(nèi)無零點(diǎn)，因連續(xù)，在內(nèi)恒保持同號，則（或），則得到估計(jì)（或），這與已知條件矛盾.可見在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 若除外在內(nèi)再無零點(diǎn)，則在與內(nèi)分別保持不變號.若在此二區(qū)間符號相異，則在與內(nèi)恒正（或恒負(fù)），則（或），但由已知條件矛盾.若 在此二區(qū)間符號相同，則在與內(nèi)恒正（或恒負(fù)），同樣可推出矛盾.故在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).例5設(shè)在連續(xù)，求證：在的某一部分上.證 由已知條件，對任意，恒有

13、.假設(shè)在處處都有.若能選取恰當(dāng)?shù)?，由此得出估?jì)，便找到了矛盾.事實(shí)上，取，有證畢.4.3 證明不等式例6證明不等式 證 考慮函數(shù), .易見對任何,在區(qū)間上和均單調(diào),因此可積,且有 ,注意到,就有.而 , ，因此有 .取, . 在區(qū)間仿以上討論, 有. 而 ， .綜上所述 ,有不等式.例7試證：.證 由定積分定義有： 所以有.4.4 一階線性微分方程的存在惟一性定理考察微分方程的初值問題： (1)設(shè)在上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件則問題有滿足初始條件的惟一解.證 問題(1)等價(jià)于積分方程的求解.取，使得.考慮連續(xù)函數(shù)空間，定義映射：，顯然，且 由于，故是壓縮映射.由Banach壓縮映射

14、原理，有惟一不動(dòng)點(diǎn)，使得這個(gè)是連續(xù)可微的，它就是問題(1)的惟一解.但它僅限定義于上，重復(fù)利用Banach壓縮映射原理，可將它延拓到整個(gè)數(shù)軸上去.4.5 Volterra型線性積分方程解的存在惟一性引理 設(shè)是完備距離空間，如果存在正整數(shù)，使得為壓縮映射，則存在惟一不動(dòng)點(diǎn).考察Volterra型線性積分方程： （2）其中在區(qū)間上連續(xù)，而在正方形上連續(xù)，則對于任意，方程（2）恒有惟一連續(xù)解.證 利用上述引理來證明結(jié)論成立.令，顯然，任取且有 其中 歸納易知，一般地有從而 由于級數(shù)對任都收斂，故可取一正數(shù)，使得于是此可視為引理中的，所以為壓縮映射，于是有惟一不動(dòng)點(diǎn)，即方程（2）在有惟一解. 5 小結(jié)

15、本文將幾種常見的證明積分不等式的方法列出，并不是就能解出所有的積分不等式問題，目的在于能舉一反三，碰到相同的題型可以用文中所提到的方法，碰到?jīng)]見過的題型應(yīng)該仔細(xì)思考，認(rèn)真分析，反復(fù)琢磨，以便能化為熟悉的類型而把題目解出來另外，有些題可用多種方法求解，應(yīng)認(rèn)真分析各種方法的利弊，思索用最簡單的方法來求解參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上）M. 北京：高等教育出版社，2001.2王高雄等. 常微分方程M. 北京：高等教育出版社, 2005.3裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社, 1993.4李賢平. 概率論基礎(chǔ)M. 北京：高等教育出版社, 1997.5Beckenbach E F,Bellman R.Inequalities.Springer-Verlag 19836李國禎. 實(shí)分析與泛函分析引論M. 北京：科學(xué)