平方差公式(一)說課稿

1、平方差公式（一）說課稿掃阿聯(lián)一、教材分析：（一）教材的地位與作用。平方差公式是北師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)七年級（下）第一章整式的運算第七節(jié)的內(nèi)容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知識“多項式乘多項式”的應(yīng)用，也是后繼知識如因式分解，分式等的基礎(chǔ)，對整個教科書也起到了承上啟下的作用，在初中階段占有很重要的地位。本節(jié)課主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和平方差公式在整式乘法中的應(yīng)用。它是學(xué)生在已經(jīng)掌握單項式乘法、多項式乘法基礎(chǔ)上的拓展和再創(chuàng)造，一方面是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，通過乘法公式的學(xué)習可以簡化某些整式的運算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識。（二）教學(xué)重

2、難點、關(guān)鍵：1、重點：平方差公式的探索和應(yīng)用。2、難點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準確運用公式。3、關(guān)鍵：準確找到a，b。二、目標分析：學(xué)生在前一節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習了多項式乘以多項式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，準確運用公式是難點，所以應(yīng)該進一步發(fā)展學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。因此我覺得本節(jié)課應(yīng)關(guān)注學(xué)生對公式的探索過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“特例歸納猜想證明”的知識發(fā)生過程，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的來源、本質(zhì)和應(yīng)用。參照數(shù)學(xué)課程標準的要求及教材的特點和學(xué)生的認知水平與數(shù)學(xué)思維特征，確定本節(jié)課的教

3、學(xué)目標如下： (1)知識與技能目標：了解平方差公式的幾何背景，理解并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用公式進行簡單的計算。(2)過程與方法目標：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理能力，通過討論幾何圖形的面積，來驗證公式，進而感受數(shù)形結(jié)合思想。 (3)情感態(tài)度目標：讓學(xué)生在合作探究學(xué)習的過程中體驗成功的喜悅；在感悟數(shù)學(xué)美的同時激發(fā)學(xué)習興趣和信心；發(fā)展學(xué)生的符號感和有條理推理的能力。三、教學(xué)過程：（一）情景引入s1s2李大爺有一塊菜地，如圖正方形中的陰影部分。為了創(chuàng)建和諧村莊，欲在此地建一個公園，以供村民休閑，李大爺非常高興，欣然應(yīng)允。村里決定另批給李大爺一塊長方形菜地，它的一邊比原

4、正方形邊長多y米，另一邊比原正方形邊長少y米。你能幫李大爺判斷一下，李大爺現(xiàn)在的這塊長方形菜地與原來菜地的面積是否發(fā)生變化了?（設(shè)計說明：以問題形式引入，激發(fā)學(xué)生探索本節(jié)課知識的熱情，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想，為后面的圖形驗證公式奠定基礎(chǔ)）（二）自主探究【看一看】：觀察下列各式,它們有什么特征? 你能用字母把這個特征表示出來嗎？(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)各式的特征: （a+b）(a-b)【做一做】：計算下列各式,并請你觀察它們的運算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 把你的發(fā)現(xiàn)和同學(xué)進行交流,能用

5、字母把這個規(guī)律表示出來嗎？(1) (x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)運算結(jié)果的特征: a2-b2【猜一猜】：觀察以上算式及其運算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？能不能大膽猜測得出一個一般性的結(jié)論？你能將猜測的這個結(jié)論寫成公式嗎? 在算式及其運算結(jié)果中左邊是兩個二項式相乘；在兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊為相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.規(guī)律： 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。（a+b）(a-b) =a2-b2學(xué)生活動：快速計算這四道題，為后面討論做準備。（設(shè)計說明：提供一組與推

6、導(dǎo)平方差公式有關(guān)的計算題，通過看一看、做一做、猜一猜三步使學(xué)生初步感知平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及其運算結(jié)果規(guī)律。分步的好處在于分散難點，循序漸進，更易于學(xué)生記憶。）做一做后提出問題：按說兩個二項式相乘，應(yīng)得到四項，為什么這四道題結(jié)果只有兩項呢？（設(shè)計說明：這個問題雖說很簡單，但不能小看它的作用，第一，它讓學(xué)生的思想在問題的啟發(fā)下變得活躍；第二，為后面的探究活動作一鋪墊，起到承上啟下的作用。）猜一猜問題化：（1）等式左邊的兩個多項式有什么特點？（2）等式右邊的多項式有什么規(guī)律？（3）你能從中猜想出一般性的結(jié)論嗎？（4）你能將猜測的這個結(jié)論用字母表示出來嗎? 學(xué)生活動：小組合作，解決上面三個問題。并向

7、全班匯報自己小組討論的成果，提出猜想(a+b) (a-b)=a2 - b2。（設(shè)計說明：根據(jù)看一看、做一做兩步，出示猜一猜，提出四個問題，引領(lǐng)學(xué)生進行探究，讓學(xué)生帶著問題探究，進一步發(fā)展學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。）（三）驗證猜想【代數(shù)驗證】：運用乘法分配律將多項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式，進一步體會轉(zhuǎn)化的思想，從而驗證猜想。(a+b) (a-b)=a(a+b)-b(a+b)=a2+ ab - ab - b2= a2- b2【歸納公式】：得出平方差公式：(a+b) (a-b)=a2 - b2學(xué)生活動：嘗試用所學(xué)知識驗證這一猜想，并用自己的語言敘述平方

8、差公式。（設(shè)計說明：讓學(xué)生經(jīng)歷“特例歸納猜想證明”的知識發(fā)生過程，用所學(xué)知識解決問題，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和語言表達能力，從而真正理解公式的來源。）【幾何驗證】在一塊邊長為a 的正方形紙板上，因?qū)嶋H需要在一角上剪去一塊邊長為b 的正方形，剩下部分的面積是多少？方法一：用大正方形面積減去小正方形面積，即a2-b2方法二：割補法?？梢园咽Ｏ碌牟糠莘指畛蓛蓚€矩形，然后拼成一個矩形來計算。得到新矩形的面積為(a+b)(a-b)利用面積相等推得平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2學(xué)生活動：教師啟發(fā)引導(dǎo)，演示剪拼動畫，學(xué)生動腦思考。（設(shè)計說明：讓學(xué)生用面積相等來驗證平方差公式的準確性，更好

9、地理解和掌握公式，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的習慣，教會學(xué)生一種計算面積的方法割補法，滲透數(shù)形結(jié)合思想。）（四）公式分析使用平方差公式可以簡化運算，那什么樣的多項式相乘才能用平方差公式來計算呢？也就是說，平方差公式具有什么樣的特征？（1）公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個二項式相乘；在兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊為相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.（2）字母的廣泛含義：公式中的a，b可以表示數(shù)，也可表示單項式或多項式（即a，b表示代數(shù)式），只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可用此公式來計算。學(xué)生活動：嘗試用語言來敘述，總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征，并加以理解掌握，以便能夠準確運用。（設(shè)計說明：理解

10、并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，是這節(jié)課的重點，也為下一個環(huán)節(jié)：平方差公式的準確應(yīng)用打下基礎(chǔ)。因此，應(yīng)讓學(xué)生充分思考，體會，發(fā)表自己的看法，達到真正理解的目的。）（五）知識運用【試一試】：尋找a，b現(xiàn)在我們已經(jīng)知道什么樣的運算可以用平方差公式來做了，那么下一步的關(guān)鍵是要解決什么問題？運算的結(jié)果是a2-b2，要套用公式，必須要知道誰是a，誰是b。（a+b)(a-b)aba2-b2最后結(jié)果（2+y)(2-y)(1+5b)(1-5b)(2m+3n)(2m-3n)(-x+1)(x+1)反思：如何尋找a，b？兩個多項式中，a前的符號相同，b前的符號相反。找a，b的關(guān)鍵是找符號相同的項和符號相反的項。誰是a，誰是b

11、，并不以先后為準，而是以符號為準。學(xué)生活動：思考，口答，填充表格，總結(jié)規(guī)律。（設(shè)計說明：以填表的形式讓學(xué)生初步嘗試運用公式，分清結(jié)構(gòu)，找準a、b，學(xué)會公式的應(yīng)用，有效地進行難點突破。）【練一練】：運用平方差公式計算： (1) (5+6x)(5-6x) (2) (ab+8)(ab-8) (3) (-x-y)(-x+y) (4) (m+n)( m-n)+3n2學(xué)生活動：獨立練習，并有同學(xué)上臺板演。（設(shè)計說明：通過一組例題，逐漸加深題目難度，讓學(xué)生能夠熟練利用公式計算，從而完善學(xué)生認知結(jié)構(gòu)。同時，讓學(xué)生初步感知換元、整體代換的思想方法，通過思考解法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。）【想一想】：判斷正誤

12、(1) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 (2) (-a+b)(a-b)=-a2-b2 (3) (2x+3)( 3-2x)=2x2-9 (4) (y3+z3)( y3-z3)= y9-z9(5) (x2+y)( x-y2)=x3-y3學(xué)生活動：獨立思考，舉手回答，在疑難處進行適當討論。（設(shè)計說明：通過練習，幫助學(xué)生總結(jié)解決問題過程中的經(jīng)驗教訓(xùn)，理順思路。從而進一步明確平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。）【想一想】：思維拓展在(-3a+2b)( )的括號內(nèi)，填入怎樣的式子，才能用平方差公式計算。（設(shè)計說明：通過拓展練習，提高學(xué)生認知水平，進一步深化對平方差公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維

13、和發(fā)散思維能力。）問題解決：解決情景引入中的問題。（設(shè)計說明：達到前后呼應(yīng)，使學(xué)生產(chǎn)生成就感，進一步調(diào)動學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性。）（六）反思小結(jié)【議議說說】：本節(jié)課你學(xué)到了什么，你能給自己和同學(xué)一個客觀的評價嗎？學(xué)生活動：認真回顧，總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識及數(shù)學(xué)思想方法并對自己和同學(xué)進行評價。（設(shè)計說明：小結(jié)是構(gòu)建和完善學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課收獲，再讓學(xué)生自己及互相之間進行評價，體現(xiàn)新課標提出的多元化評價，利于學(xué)生養(yǎng)成良好的課堂學(xué)習習慣，最后教師對公式的掌握和運用作最后強調(diào)。）（七）、課外作業(yè)：p36知識技能: 第 1大題 p37聯(lián)系拓廣: 第1題p57 選做 第6題課后問題探

14、究：你還能利用幾何拼圖給出平方差公式一個幾何解釋嗎?（設(shè)計說明：前兩道題為基礎(chǔ)型題要求全體完成，后兩道題針對學(xué)有余力的學(xué)生完成，體現(xiàn)差生能消化，中等生吃的好，優(yōu)等生吃得飽。課后問題探究進一步體會數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。）四、教學(xué)反思這一課時的重點是要學(xué)生明白平方差公式的推導(dǎo)，并能應(yīng)用平方差公式簡化運算。而其中的關(guān)鍵是要學(xué)生明確平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準確找到a、b。為了讓學(xué)生對平方差公式有個全面的認識和了解，我在教學(xué)設(shè)計方面打破了教材原來的安排，把第二課時中的幾何解釋融入第一課時。先讓學(xué)生從代數(shù)的角度入手，利用多項式乘多項式的知識，推導(dǎo)出平方差公式，緊接著從幾何角度加以解釋。在此基礎(chǔ)上，

15、通過分析公式的結(jié)構(gòu)特征，加深對公式的理解。之后，設(shè)計了一個“尋找a、b”的環(huán)節(jié)，通過這個練習進行難點突破。引導(dǎo)學(xué)生反思練習過程，得出“誰是a，誰是b，并不以先后為準，而是以符號為準”這一結(jié)論。緊接著給出兩組例題，考察學(xué)生對公式的應(yīng)用。最后通過一組判斷題和補充練習，拓展學(xué)生的思維水平。為了給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，要從代數(shù)、幾何兩個角度證明平方差公式，但是從哪個角度入手，有利于知識的銜接，便于學(xué)生理解。最終決定給讓學(xué)生猜想結(jié)論，再用代數(shù)方法加以證明，后給出幾何解釋，符合知識的發(fā)生過程。對于課本中的公式文字說明是“兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積”的理解：公式中“a、b不僅表示一個數(shù)或字母，還可以表示代數(shù)式”。但這里說的是“兩數(shù)”，原因是所有的規(guī)律最初都是在具體的數(shù)字中發(fā)現(xiàn)的，然后才