高中數(shù)學(xué) （2.2.1 等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）示范教案 新人教A版必修5

1、2.2 等差數(shù)列2.2.1 等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式從容說(shuō)課列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)這個(gè)公式去實(shí)行相關(guān)計(jì)算.可見(jiàn)本課內(nèi)容的安排旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析、歸納猜想、應(yīng)用水平.結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，宜采用指導(dǎo)自主學(xué)習(xí)方法，即學(xué)生主動(dòng)觀察分析概括師生互動(dòng)，形成概念啟發(fā)引導(dǎo)，演繹結(jié)論拓展開(kāi)放，鞏固提升.在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究.在教學(xué)過(guò)程中，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的認(rèn)知水

2、平.使學(xué)生理解到生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開(kāi)生活的.學(xué)會(huì)在生活中挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化.教學(xué)重點(diǎn) 理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn) (1)等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用;(2)概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式. 教具準(zhǔn)備 多媒體課件，投影儀三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;2.準(zhǔn)確理解使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活使用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)

3、.二、過(guò)程與方法1.通過(guò)對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及歸納推理水平；2.通過(guò)等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的水平，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí).教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本P41頁(yè)的4個(gè)例子)(1)0，5，10，15，20，25，;(2)48，53，58，63，;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5;(4)10 072，

4、10 144，10 216，10 288，10 366，.請(qǐng)你們來(lái)寫出上述四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).生 第一個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為30，第二個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78，第三個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為3，第四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為10 510.師 我來(lái)問(wèn)一下，你依據(jù)什么寫出了這四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)呢?以第二個(gè)數(shù)列為例來(lái)說(shuō)一說(shuō).生 這是由第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5，依據(jù)這個(gè)規(guī)律性我得到了這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78.師 說(shuō)得很有道理!我再請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？我說(shuō)的是共同特征.生1 每相鄰兩項(xiàng)的差相等，都等于同一個(gè)常數(shù).師 作差是否有順序，誰(shuí)與誰(shuí)相減？生1 作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)，不能顛倒.師 以上四個(gè)數(shù)

5、列的共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等差)；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個(gè)名字叫等差數(shù)列.這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.推動(dòng)新課等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；（2）對(duì)于數(shù)列an，若an-a n-1=d(與n無(wú)關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nN*，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d叫做公差.師 定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否準(zhǔn)確地、深入的理解和掌

6、握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).所以教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、理解問(wèn)題的水平)生 從“第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”.師 很好！師 請(qǐng)同學(xué)們思考：數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項(xiàng)公式存有嗎？如果存有，分別是什么？ 生 數(shù)列(1)通項(xiàng)公式為5n-5，數(shù)列(2)通項(xiàng)公式為5n+43，數(shù)列(3)通項(xiàng)公式為2.5n-15.5，. 師 好，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識(shí)求出了這幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)質(zhì)上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無(wú)論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存有很多共性，下面我們來(lái)共同思考.合作探究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式師 等差數(shù)列定義是由一

7、數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得到的，若一個(gè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得什么?生 a2-a1=d,即a2=a1+d.師 對(duì)，繼續(xù)說(shuō)下去!生 a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;師 好！規(guī)律性的東西讓你找出來(lái)了，你能由此歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?生 由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d.師 很好!這樣說(shuō)來(lái)，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d，便可求得其通項(xiàng)an了.需要說(shuō)明的是：此公式只是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，你能證明它嗎?生 前面已學(xué)過(guò)一種方法叫迭加法，我認(rèn)為可以用.證明過(guò)程是這

8、樣的：因?yàn)閍2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.師 太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來(lái)我們通過(guò)證明就可以放心使用這個(gè)通項(xiàng)公式了.教師精講由上述關(guān)系還可得：am=a1+(m-1)d,即a1=am-(m-1)d.則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項(xiàng)公式)由此我們還可以得到.例題剖析【例1】 （1）求等差數(shù)列8，5，2,的第20項(xiàng);（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析（1）師

9、這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎?生1 這題太簡(jiǎn)單了!首項(xiàng)和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a20=8+(20-1)(-3)=-49.師 好!下面我們來(lái)看看第（2）小題怎么做.分析（2）生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1).由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).師 剛才兩個(gè)同學(xué)將問(wèn)題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實(shí)質(zhì)上通項(xiàng)公式就是an,a1,d,n組成的方程

10、(獨(dú)立的量有三個(gè)).說(shuō)明:(1)強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)n已知時(shí)，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字；(2)實(shí)際上是求一個(gè)方程的正整數(shù)解的問(wèn)題.這類問(wèn)題學(xué)生以前見(jiàn)得較少，可向?qū)W生著重點(diǎn)出本問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立.【例2】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？例題分析：師 由等差數(shù)列的定義，要判定an是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?生 只要看差an-an-1(n2)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).師 說(shuō)得對(duì)，請(qǐng)你來(lái)求解.生 當(dāng)n2時(shí)，取數(shù)列an中的任意

11、相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n2)an-an-1=(pn+1)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),所以我們說(shuō)an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.師 這里要重點(diǎn)說(shuō)明的是：(1)若p=0，則an是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，.(2)若p0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式.課堂練習(xí)(1)求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得

12、首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng). 解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)4，即an=4n-1(n1，nN*).a4=44-1=15，a 10=410-1=39.評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.(2)求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知a1=10，d=8-10=-2.所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10+(n-1)(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-220+12=-28.評(píng)述：要求學(xué)生注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.(3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：要想判斷一個(gè)數(shù)是

13、否為某一個(gè)數(shù)列的其中一項(xiàng)，其關(guān)鍵是要看是否存在一個(gè)正整數(shù)n值，使得an等于這個(gè)數(shù).解：根據(jù)題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)7=7n-5.令7n-5=100，解得n=15.所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).(4)-20是不是等差數(shù)列0， ，-7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由題意可知a1=0，,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.令，解得.因?yàn)闆](méi)有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).課堂小結(jié)師（1）本節(jié)課你們學(xué)了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否運(yùn)用？(讓學(xué)生反思、歸納、總結(jié),這樣來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、表達(dá)能力)生 通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n2);其次要會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公