全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案天津

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)理科本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第卷注意事項(xiàng)：1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2本卷共8小題，每小題5分，共40分.參考公式：如果事件a，b互斥，那么如果事件a，b相互獨(dú)立，那么棱柱的體積公式圓錐的體積公式其中s表示棱柱的底面面積其中s表示圓錐的

2、底面面積h表示棱柱的高h(yuǎn)表示圓錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=a bc d2設(shè)則“且”是“”的a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d即不充分也不必要條件 3閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為a3 b4c5 d64已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則的值為a-110 b-90c90 d1105在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為a b c d6如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，則的值為a bc d7已知?jiǎng)tab cd8對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是a

3、bc d第ii卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為_(kāi)10一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為_(kāi)11已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則=_.12如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且若與圓相切，則線段的長(zhǎng)為_(kāi).13已知集合，則集合=_.14已知直角梯形中，/,是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi).三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15（本小題

4、滿分13分）已知函數(shù)（）求的定義域與最小正周期；（ii）設(shè)，若求的大小16（本小題滿分13分）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率；（）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 . 17（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線ac與a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平

5、面，求線段的長(zhǎng)18（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程19（本小題滿分14分）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使；（）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明20（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（iii）設(shè)證明：參考答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分40分.babdcdcb二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分30分.912 10 11 12

6、13 145三、解答題15本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.滿分13分. （i）解：由， 得.所以的定義域?yàn)榈淖钚≌芷跒?（ii）解：由得整理得因?yàn)?，所以因此由，?所以16本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分13分. （i）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則 （ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件b，則，又 且a2，a3互斥，所以 （ii）解：由題意可知x的所有可能取

7、值為0，1，2. 所以x的分布列是x012p x的數(shù)學(xué)期望17本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分13分. 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn). 依題意得 （i）解：易得， 于是 所以異面直線ac與a1b1所成角的余弦值為 （ii）解：易知 設(shè)平面aa1c1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面a1b1c1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角aa1c1b的正弦值為 （iii）解：由n為棱b1c1的中點(diǎn)，得設(shè)m（a，b，0），則由平面a1b1c1，

8、得即解得故因此，所以線段bm的長(zhǎng)為方法二：（i）解：由于ac/a1c1，故是異面直線ac與a1b1所成的角.因?yàn)槠矫鎍a1b1b，又h為正方形aa1b1b的中心，可得因此所以異面直線ac與a1b1所成角的余弦值為（ii）解：連接ac1，易知ac1=b1c1，又由于aa1=b1a1，a1c1=a1=c1，所以，過(guò)點(diǎn)a作于點(diǎn)r，連接b1r，于是，故為二面角aa1c1b1的平面角.在中，連接ab1，在中，從而所以二面角aa1c1b1的正弦值為（iii）解：因?yàn)槠矫鎍1b1c1，所以取hb1中點(diǎn)d，連接nd，由于n是棱b1c1中點(diǎn)，所以nd/c1h且.又平面aa1b1b，所以平面aa1b1b，故又所以

9、平面mnd，連接md并延長(zhǎng)交a1b1于點(diǎn)e，則由得，延長(zhǎng)em交ab于點(diǎn)f，可得連接ne.在中，所以可得連接bm，在中，18本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題能力與運(yùn)算能力.滿分13分. （i）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（ii）解：由（i）知可得橢圓方程為直線pf2方程為a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為，由于是由即，化簡(jiǎn)得將所以因此，點(diǎn)m的軌跡方程是19本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法.滿分14分. （i）解：， 令 當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-極大值 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 （ii）證明：當(dāng) 由（i）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增， 在內(nèi)單調(diào)遞減.令由于在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故取所以存在即存在（說(shuō)明：的取法不唯一，只要滿足即可）（iii）證明：由及（i）的結(jié)論知，從而上的最小值為又由，知故從而20本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力