高考數學大一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 導數的應用 第3課時 導數與函數的綜合問題教師用書 文 蘇教版(2021年最新整理)

1、（江蘇專用）2018版高考數學大一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 導數的應用 第3課時 導數與函數的綜合問題教師用書 文 蘇教版（江蘇專用）2018版高考數學大一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 導數的應用 第3課時 導數與函數的綜合問題教師用書 文 蘇教版 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（江蘇專用）2018版高考數學大一輪復習 第三章 導數及其應用 3.2 導數的應用 第3課時 導數與函數的綜合問題教師用書 文 蘇教版）的內容能夠給您的工作和

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3、0,2)。命題點2證明不等式例2（2016全國丙卷）設函數f（x)ln xx1。(1）討論f(x）的單調性;(2）證明：當x（1，)時，1x.（1）解由題設，f(x）的定義域為(0，），f(x）1，令f(x）0，解得x1.當0x0，f（x)單調遞增;當x1時，f（x）0,f(x)單調遞增；當x（1，)時，f（x）0，f(x)單調遞減.所以x1為極大值點,所以0a1a，故a1，即實數a的取值范圍為（，1).(2)當x1時,k恒成立，令g(x），則g(x)。再令h(x）xln x，則h（x）10,所以h（x)h(1）1，所以g（x)0，所以g（x)為單調增函數，所以g(x)g(1）2，故k2。所以

4、實數k的取值范圍是（，2。引申探究本題(2)中，若改為存在x01，e,使不等式f(x)成立，求實數k的取值范圍.解當x1，e時，k有解，令g（x），由例3（2）解題知，g（x）為單調增函數,g（x）maxg(e)2，k2,即實數k的取值范圍是（，2。思維升華(1）利用導數解不等式的思路已知一個含f(x）的不等式，可得到和f（x）有關的函數的單調性,然后可利用函數單調性解不等式.(2)利用導數證明不等式的方法證明f（x)g(x),x(a，b），可以構造函數f（x)f（x）g(x),如果f(x)時，令f(x)0，得x。若x1,，則f(x）0，所以函數f(x）在1，)上單調遞減，所以當x1，)時,f

5、(x）f（1）0，不符合題意。綜上，a的取值范圍是(，。題型二利用導數研究函數零點問題例4(2016揚州模擬）設函數f(x）xexasin xcos x （ar，其中e是自然對數的底數）。(1）當a0時，求f(x)的極值；(2)若對于任意的x0，f（x）0恒成立，求a的取值范圍;（3）是否存在實數a，使得函數f（x)在區(qū)間(0，）上有兩個零點?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.解(1） 當a0時，f(x）xex，f(x）ex(x1），令f（x）0,得x1.列表如下：x(，1）1(1，）f(x）0f（x)極小值所以函數f（x）的極小值為f(1)，無極大值。(2）當a0時，由于對于任

6、意x0，有sin xcos x0，所以f(x)0恒成立,即當a0時，符合題意；當0a1時，因為f(x）ex(x1)acos 2xe0(01)acos 01a0，所以函數f(x)在0，上為增函數。所以f(x）f(0)0,即當01時,f（0）1a0，設f（）0，其中是f（x)0中最接近x0的零點。所以f（x)在（0，）上為減函數，此時f（x)1時，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是(，1.(3)不存在實數a，使得函數f（x)在區(qū)間（0，）上有兩個零點。由(2)知，當a1時，f（x)在(0,)上是增函數，且f（0)0，故函數f(x)在區(qū)間（0,)上無零點。當a1時，f（x)ex(x1）acos 2

7、x。令g(x)ex（x1）acos 2x，則g（x）ex(x2）2asin 2x，當x（0，）時，恒有g（x）0，所以g（x）在（0，）上是增函數.由g（0)1a0,g（)(1)a0,故g(x）在(0，)上存在唯一的零點x0，即方程f(x)0在（0,）上存在唯一解x0。且當x(0，x0）時，f（x)0，即函數f（x)在（0，x0）上單調遞減,在（x0，)上單調遞增.當x（0,x0）時,f（x）f(0）0，即f(x）在(0,x0）上無零點;當x(x0,）時，由于f（x0）0，所以f(x）在(x0，)上有唯一零點.所以，當a1時,f（x）在(0，）上有一個零點.綜上所述，不存在實數a，使得函數f（

8、x）在區(qū)間（0，）上有兩個零點。思維升華利用導數研究方程的根(函數的零點)的策略研究方程的根或曲線的交點個數問題，可構造函數，轉化為研究函數的零點個數問題.可利用導數研究函數的極值、最值、單調性、變化趨勢等，從而畫出函數的大致圖象，然后根據圖象判斷函數的零點個數。已知函數f(x）x2xsin xcos x的圖象與直線yb有兩個不同交點，求b的取值范圍。解f（x)x（2cos x)，令f（x)0，得x0.當x0時，f（x)0，f(x）在(0，）上遞增.當x0時,f（x）0，f（x)在(，0)上遞減。f(x）的最小值為f（0）1.函數f(x)在區(qū)間(，0）和(0，)上均單調，當b1時,曲線yf(x

9、)與直線yb有且僅有兩個不同交點。綜上可知,b的取值范圍是（1,）。題型三利用導數研究生活中的優(yōu)化問題例5某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克）滿足關系式y(tǒng)10(x6）2,其中3x6，a為常數。已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克。（1）求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。解（1)因為當x5時，y11,所以1011，a2.(2)由(1）可知,該商品每日的銷售量為y10(x6）2。所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）（x3)10（x6）2210（x3

10、)（x6）2，3x6。從而,f(x)10（x6）22(x3)（x6)30（x4)(x6）.于是，當x變化時,f（x），f(x）的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6）f（x)0f（x）單調遞增極大值42單調遞減由上表可得,當x4時，函數f(x）取得極大值，也是最大值。所以,當x4時，函數f（x）取得最大值且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。思維升華利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟（1）分析實際問題中各個量之間的關系,列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式y(tǒng)f(x).(2）求函數的導數f（x),解方程f(x)0。（3）比較

11、函數在區(qū)間端點和使f（x）0的點的函數值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ?值；若函數在開區(qū)間內只有一個極值點，那么該極值點就是最值點.（4）回歸實際問題作答。（2016蘇北四市調研）經市場調查，某商品每噸的價格為x(1x0）；月需求量為y2萬噸，y2x2x1,當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量;當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積。（1)若a，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大?（2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格,若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數a的取值范圍.解（1) 若a，由y2y1,得x2x1x（）

12、2,解得40x6 . 因為1x14，所以1x6.設該商品的月銷售額為g（x),則g（x)當1x6時，g(x)(x)x0,得x0，所以f(x）在區(qū)間（1,14）上是增函數，若該商品的均衡價格不低于6百元,則函數f(x）在區(qū)間6，14)上有零點，所以即解得0a。答（1)若a，商品的每噸價格定為8百元時，月銷售額最大;(2）若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，實數a的取值范圍是(0，。一審條件挖隱含典例（16分）設f(x）xln x,g(x）x3x23.（1）如果存在x1，x20,2使得g(x1）g(x2）m成立，求滿足上述條件的最大整數m;(2）如果對于任意的s,t，2,都有f（s)g（t）成立,

13、求實數a的取值范圍。(1）存在x1,x20，2使得g(x1)g(x2）m(正確理解“存在的含義）g(x1）g（x2)maxm挖掘g（x1）g（x2)max的隱含實質g（x)maxg（x）minm求得m的最大整數值（2)對任意s,t，2都有f（s)g（t)(理解“任意”的含義）f（x）ming（x）max求得g(x）max1xln x1恒成立分離參數aaxx2ln x恒成立求h（x)xx2ln x的最大值ah（x）maxh（1)1a1規(guī)范解答解(1)存在x1,x20,2使得g（x1）g(x2）m成立，等價于g(x1)g(x2）maxm. 2分由g（x)x3x23，得g（x)3x22x3x(x).

14、令g（x）0，得x0或x,又x0,2，所以g（x）在區(qū)間0，上單調遞減，在區(qū)間,2上單調遞增，所以g（x)ming（）,g（x)maxg（2）1.故g(x1）g（x2)maxg（x)maxg（x）minm，則滿足條件的最大整數m4. 7分（2)對于任意的s，t，2，都有f（s)g（t）成立，等價于在區(qū)間，2上,函數f（x)ming（x）max。9分由（1)可知在區(qū)間，2上，g(x）的最大值為g(2)1。在區(qū)間，2上，f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立。設h(x)xx2ln x,h(x）12xln xx，可知h(x）在區(qū)間，2上是減函數，又h(1）0，所以當1x2時，h(x)

15、0），則獲得最大利潤時的年產量為_百萬件.答案3解析y3x2273（x3）（x3），當0x3時，y0.故當x3時，該商品的年利潤最大。5.（2017南京質檢)直線xt分別與函數f(x）ex1的圖象及g(x)2x1的圖象相交于點a和點b，則ab的最小值為_。答案42ln 2解析由題意得，ab|ex1(2x1)ex2x2|，令h(x）ex2x2，則h(x）ex2，所以h（x）在(,ln 2)上單調遞減,在(ln 2，）上單調遞增，所以h(x）minh(ln 2)42ln 20，即ab的最小值是42ln 2.6.已知定義域為r的奇函數yf(x）的導函數為yf（x)，當x0時，f(x）0,若af,b2

16、f（2)，cf,則a,b，c的大小關系是_.答案acb解析構造函數h(x）xf（x)，則h（x)f（x)xf(x）。yf（x)是定義在r上的奇函數,h(x)是定義在r上的偶函數。當x0時，h（x）f（x）xf(x)0，此時函數h(x）單調遞增.afh，b2f(2）2f(2）h（2），cfhh（ln 2）h（ln 2），又ln 22,acb.7.若函數f(x)ax24x3在0,2上有最大值f（2)，則a的取值范圍是_。答案1，)解析f(x）2ax4,由f(x)在0，2上有最大值f（2)，則要求f(x)在0,2上單調遞增，則2ax40在0，2上恒成立。當a0時，2ax40恒成立;當aex3（其中e

17、為自然對數的底數)的解集為_.答案(0，)解析設g(x)exf（x)ex（xr)，則g（x)exf（x）exf(x)exexf(x）f（x)1，f(x）f（x)1，f（x）f(x）10，g(x）0，yg(x）在定義域上單調遞增,exf（x）ex3，g(x)3，又g(0）e0f（0）e0413，g（x）g(0），x0。9。已知函數f（x）ax33x21，若f（x)存在唯一的零點x0且x00,則a的取值范圍是_。答案(，2)解析當a0時，f（x）3x21有兩個零點，不合題意,故a0，f（x）3ax26x3x(ax2），令f（x)0，得x10,x2.若a0,由三次函數圖象知f(x)有負數零點，不合題

18、意，故a0.由三次函數圖象及f(0）10知，f（）0,即a()33（）210，化簡得a240，又a0，所以a2。10。已知函數f(x）ax33x1對x（0,1總有f(x）0成立，則實數a的取值范圍是_。答案4，）解析當x(0,1時不等式ax33x10可化為a，設g（x),x（0,1，g（x)。g（x)與g(x）隨x的變化情況如下表：x(0，）(，1)g（x）0g（x）極大值4因此g（x)的最大值為4,則實數a的取值范圍是4，）.11。(2016鹽城模擬)已知f(x）（1x）ex1.(1）求函數f（x）的最大值；(2）設g(x)，x1且x0，證明：g(x)1。（1)解f（x）xex。當x（，0）時，f（x)0，f(x）單調遞增；當x(0，）時，f(x)0，f(x)單調遞減。所以f(x）的最大值為f(0)0。（2)證明由（1)知,當x0時,f(x)0，g（x)01。當1x0