“圖象法求一元二次方程近似根”的教學思考

1、“圖象法求一元二次方程近似根”的教學思考楊軍在進行二次函數與一元二次方程第2課時教學時，對于用圖象法求求方程近似根問題，學生在課堂提出了疑問，展開了精彩的討論，最后得到了滿意的答復。下面本人談談對本節(jié)內容的幾點課后教學思考。一、呈現(xiàn)題例教科書P73引題：你能利用二次函數圖象估計一元二次方程的根嗎?先來看本節(jié)課教學目標：1.經歷探索二次函數圖象（形）與一元二次方程（數）的關系；2.理解一元二次方程的根就是對應的二次函數圖象與x軸交點的橫坐標。并能用估算法求方程的近似根。其實對于這一問題，學生在八年級學習求無理數近似值，九年級（上）在學習一元二次方程第2課時求方程近似根都涉及到了這一問題。而本節(jié)內

2、容其實又涉及到了另外一種數學解題思想-“數形結合”。實際上它們從本質上來說是相同的：用逼近法（或二分法）求方程的近似根。二、解題過程分析針對上述題目，先畫出一元二次方程對應的二次函數，由圖象知：方程有兩個根，一個在-5和-4之間，另一個在2和3之間。先求在-5和-4之間的根：借助計算器進行探索：表1因為教科書對求近似根有腳注：用圖象法求一元二次方程近似根時，結果只取到十分位。因此是方程的一個近似根。三、學生生疑探討這時候有學生W舉手提出了她的疑問：“老師，腳注要求結果取到十分位，也就是四舍五入到十分位，這樣的話應該是要求出百分位的數才能得到結果。假設進一步計算若結果為-4.36或-4.34，這

3、樣的話四舍五入到十分位結果就應該是-4.4或-4.3而現(xiàn)在課本中只算到十分位就結束了，問題出在哪里了?！贝藭r所有的同學都覺著位同學言之有理。怎么辦呢？難道我們在-4.4到-4.3以0.01為單位間隔取值再進行一次列表計算。這樣也太麻煩了，但數學學習要求我們有耐心，有恒心。所以我和學生開始了計算,為減少運算負擔，我讓學生分組計算很快得到了以下結果表2顯然在上表中我們可以得到方程的根在-4.32到-4.31之間，所以方程的一個近似根為。這時W同學滿意的點了點頭，其他同學也“柳暗花明”了。四、追本溯源思考雖然此題通過同學W提出疑問、師生共同解答得到了學生滿意結果，但實在是計算繁瑣、時間浪費嚴重。這時

4、我又啟發(fā)詢問學生：“為什么課本沒有進行我們的探討過程，而是由表1直接得到了答案？”學生們陷入了思考，經過幾分鐘討論，學生T站起來回答道：“老師，我們觀察表1可以發(fā)現(xiàn)當x=-4.4時y值是0.56；當x=-4.3時y值-0.11。這兩個值中-0.11更接近0，所以得到課本中的結果?！边@時我接過T同學問到全班同學：“通過以上我們的學習，你能用自己的語言描述怎么用圖象法對應方程的近似根？”同學們踴躍的舉起了手，其中一個同學搶答道：“1.先從圖象上確定出根的大致范圍；2.將確定出的范圍以某一單位（如0.1）為間隔取值，分別計算出各值對應下的函數值y；3.觀察計算表格，當相鄰的y值出現(xiàn)異號時，取接近于0

5、的y值所對應的x值即為所求的近似根?！边@位同學回答的非常詳細。至此全班同學對這一問題都有了透徹的理解。五、課后反思總結從古至今，中外許國數學家對方程求解都進行了很多研究。9世紀，阿拉伯數學家華拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；11世紀，北宋數學家賈憲在黃帝九章算法細節(jié)中提出了“開方作法本源圖”，以“立成釋鎖法”來解三次以上的高次方程。1824年，挪威年輕數學家阿貝爾成功的證明了五次以上一般方程沒有根式解。1828年法國天才數學家伽羅瓦巧妙而簡潔的證明了存在不能用開方運算求解的具體方程，同時還提出了一個代數方程能用根式求解的判定定理。而目前初中階段，讀者學習的最高次方程-一元二次方程，它

6、有專門的求根公式。用求根公式可以求出方程的精確解，但為什么課本還要安排一節(jié)內容讓學生們學習求近似解的方法呢？這主要是在初中階段給學習者滲透用二分法（逼近法）求方程近似解的思想，以便為今后深造奠定基礎。比如普通高中實驗教科書數學必修1第89頁內容用二分法求方程的近似解開頭出示了引題：求函數在區(qū)間（2，3）內有零點，進一步問題是，如何找出這個零點。實際上這道題目就是要求讀者在區(qū)間（2，3）求方程的近似解。之后用到的方法就是“二分法”。其次高等學校教材數學分析（上冊）第232頁第6節(jié)內容方程的近似解進一步用導數的知識-“切線法”解決了方程根第一、第二近似值。 雖然一元二次方程有求根公式可以求出它的精確解，但是諸如以上方程，還有指數方程、對數方程等超越方程和五次以上的高次方程沒有求根公式，甚至用一般的方法無法求解，這時候就可以用圖象近似法（二分法）、牛頓法、擬牛頓法、弦截法來解決這一類問題。這些方法都滲透了逼近的數學思想。參考文獻1 馬復，史炳星。九年級數學 下冊。 2007年5月第4版。北京:北京師范大學出版社，73。2 劉紹學，錢珮玲。普通高中課程標準實驗教科書 數學1 必修（A版）。2007年1月第三版。北京:人民教育出版社，91。3 劉紹學，錢珮玲。普通高中課程標準