2021北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)《期中考試卷》（含答案）

1、精品試卷北師大版七年級下冊期中考試數(shù) 學(xué) 試 卷一選擇題1. 下列各式運算正確的是（ ）a. 3y35y415y12b. （ab5）2ab10c. （a3）2（a2）3d. （x）4（x）6x102. 下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的有（ ）a. （x+）（x）b. （2+m）（m2）c. （a+b）（ab）d. 3. 如圖，在下列給出的條件下，不能判定abdf的是（）a. a+2=180b. a=3c. 1=4d. 1=a4. 甲、乙兩人同時從a地到b地，甲先騎自行車到達中點后改為步行，乙先步行到中點后改騎自行車已知甲、乙兩人騎車的速度和步行的速度分別相同則甲、乙兩人所行的路程與所

2、用時間的關(guān)系圖正確的是（ ）（實線表示甲，虛線表示乙）a b. c. d. 5. 給出下列說法，正確的有（ ）.（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補 a. 0個b. 1個c. 2個d. 3個6. 如圖，已知1=2，ac=ad，增加下列條件：ab=ae；bc=ed；c=d；b=e其中能使abcaed的條件有（）a. 4個b. 3個c. 2個d. 1個7. 如圖，在邊長為4cm正方形 abcd 中，點p從點a出發(fā)，沿abbc的路徑勻

3、速運動，到點c停止過點p作pqbd，pq與邊ad（或邊cd）交于點q，pq的長度y（cm）與點p的運動時圖象如圖所示當(dāng)p運動2.5s時，pq的長為（ ）a. cmb. cmc. cmd. cm8. 如圖，已知abeg，bcde，cdef，則x、y、z三者之間的關(guān)系是（ ）a. x+y+z180b. xzyc. yxzd. yxxz二填空題9. 計算_10. 有一個正方形花園,如果它的邊長減少2米,那么花園面積將減小24平方米,請你求出原來花園的面積為_平方米11. 若是完全平方式，則 a_ 12. 如圖，直線ef分別交ab、cd于點e、f，eg平分bef，abcd若174，則2 的度數(shù)為_度1

4、3. 如圖，在abc中，a50，c72，bd是abc的角平分線，de是ab邊上的高，bde的度數(shù)是_度14. 一種樹苗栽種時的高度為0cm，為研究它們的生長情況，測得數(shù)據(jù)如表；栽種以后的年數(shù) n/年1234高度 h/cm105130155180則按照表中呈現(xiàn)規(guī)律，栽種_年后，樹苗能長到 280cm15. 如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，點為的中點如果點p在線段bc上以3厘米/秒的速度由b點向c點運動，同時，點q在線段cd上由c點向d點運動當(dāng)點的運動速度為_厘米/秒時，能夠使與全等三解答題16. 尺規(guī)作圖：如圖，點p是abc內(nèi)部一點，求作直線pqbc(不寫作法，保留作圖痕跡).17. 計算

5、題（1） （2） （3）（m2n+3）（m+2n3） （4）（用乘法公式計算）（5）化簡求值：，其中 x2，y118. 完成推理填空：如圖，已知 abcd，gh平分agm，mn平分cmg，請說明ghmn的理由解：因為 abcd（已知），所以agf+ 180（ ），因為 gh 平分agf，mn 平分cmg（ ），所以1 agf，2 cmg（ ）， 得1+2（agf+cmg） ， 所以 ghmn（ ）19. 如圖，已知cdab于點d，deac交bc點 e，efab于點f，dgbc交ac于點g，且defbef，求證：gdcgcd20. bd、ce分別是abc的邊ac、ab上的高，p在bd的延長線上，

6、且bp=ac，點q在ce上，cq=ab,求證：（1）ap=aq ；（2）apaq21. 如圖所示 a、b 兩地相距50千米，甲于某日下午1時騎自行車從a地出發(fā)駛往b地，乙也于同日下午騎摩托車按同路從a地出發(fā)駛往b地如圖所示，圖中的折線pqr和線段mn分別表示甲、乙所行駛的路程s與該日下午時間t之間的關(guān)系（1）甲乙兩人中， 先出發(fā)，先出發(fā) 小時（2）甲乙兩人中， 先到達b地，先到 小時（3）分別求出乙騎摩托車的速度和甲騎自行車在全程的平均速度（4）乙出發(fā)大約用多長時間就追上甲?22. 對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）圖2

7、所表示的數(shù)學(xué)等式為_；（2）利用（1）得到的結(jié)論，解決問題: 若，求的值；（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b正方形拼在一起，三點在同一直線上，連接,若兩正方形的邊長滿足求陰影部分面積23. 探索發(fā)現(xiàn)：如圖是一種網(wǎng)紅彈弓實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖1圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即abcd各活動小組探索apc 與a，c之間的數(shù)量關(guān)系已知abcd，點p不在直線ab和直線cd上，在圖1中，智慧小組發(fā)現(xiàn)：apca+c智慧小組是這樣思考的：過點 p 作 pqab，（1）請你按照智慧小組作的輔助線完成證明過程（2）在圖2中，猜測apc與a，c 之間數(shù)量關(guān)系，并完成證明如圖3，

8、已知abcd，則角、之間的數(shù)量關(guān)系為 （直接填空）（3）善思小組提出：如圖4，圖5abcd，af，cf分別平分bap，dcp在圖4中，猜測afc與apc之間的數(shù)量關(guān)系，并證明在圖5中，afc與apc之間的數(shù)量關(guān)系為 （直接填空）答案與解析一選擇題1. 下列各式運算正確的是（ ）a. 3y35y415y12b. （ab5）2ab10c. （a3）2（a2）3d. （x）4（x）6x10【答案】c【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方法則以及冪的乘方法則進行計算即可.【詳解】a選項，3y35y4=15y7，故本選項錯誤；b選項，故本選項錯誤；c選項，故本選項正確；d選項，（x）4（x）6=x

9、10，故本選項錯誤；故選：c【點睛】此題主要考查同底數(shù)冪的乘法、積的乘方以及冪的乘方，熟練掌握運算法則，即可解題.2. 下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的有（ ）a. （x+）（x）b. （2+m）（m2）c. （a+b）（ab）d. 【答案】b【解析】分析】根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項相同，另一項互為相反數(shù)，即可得出答案【詳解】a、原式=-（x+）（x+），只有相同項，沒有相反項，無法運用平方差公式計算，故本選項錯誤；b、（-2+m）（-m-2），m與-m互為相反數(shù)，-2與-2相等，故能進行平方差公式計算，故此選項正確；c、（-a+b）（a-b），-a與a，b與-b都為互為

10、相反數(shù)，故無法進行平方差公式計算，故此選項錯誤；d、（x2-y）（x+y2），此題中沒有互為相反數(shù)的項，故無法進行平方差公式計算，故此選項錯誤故選：b【點睛】此題考查平方差公式，根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項相同，另一項互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵3. 如圖，在下列給出的條件下，不能判定abdf的是（）a. a+2=180b. a=3c. 1=4d. 1=a【答案】d【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可【詳解】a、a2180，abdf，故本選項錯誤；b、a3，abdf，故本選項錯誤；c、14，abdf，故本選項錯誤；d、1a，acde，故本選項正確故選：d【點睛】點評

11、：本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵4. 甲、乙兩人同時從a地到b地，甲先騎自行車到達中點后改為步行，乙先步行到中點后改騎自行車已知甲、乙兩人騎車的速度和步行的速度分別相同則甲、乙兩人所行的路程與所用時間的關(guān)系圖正確的是（ ）（實線表示甲，虛線表示乙）a. b. c. d. 【答案】d【解析】根據(jù)題意可得：甲先騎自行車到達中點后改為步行，即先快后慢；乙先步行到中點后改騎自行車，即先慢后快故選d5. 給出下列說法，正確的有（ ）.（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；

12、（4）在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補 a. 0個b. 1個c. 2個d. 3個【答案】c【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系即可判斷；（3）根據(jù)對頂角的定義即可判斷；（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷【詳解】（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；這種說法錯誤，前提條件是兩條直線平行（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；這種說法正確（3）相等的兩個角是對頂角；這種說法錯誤，相等的角不一定是對頂角（4）在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，這種說法正確故選：c【點睛】本題考查了

13、平行線的性質(zhì)，對頂角的定義、兩條直線位置關(guān)系、補角的定義6. 如圖，已知1=2，ac=ad，增加下列條件：ab=ae；bc=ed；c=d；b=e其中能使abcaed的條件有（）a. 4個b. 3個c. 2個d. 1個【答案】b【解析】【分析】先由1=2得到cab=dae，然后分別利用“sas”、“asa”和“aas”對各添加的條件進行判斷【詳解】解：1=2，cab=dae，ac=ad，當(dāng)ab=ae時，可根據(jù)“sas”判斷abcaed；當(dāng)bc=ed時，不能判斷abcaed；當(dāng)c=d時，可根據(jù)“asa”判斷abcaed；當(dāng)b=e時，可根據(jù)“aas”判斷abcaed故選：b【點睛】本題考查了全等三角

14、形的判定：三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等7. 如圖，在邊長為4cm正方形 abcd 中，點p從點a出發(fā)，沿abbc的路徑勻速運動，到點c停止過點p作pqbd，pq與邊ad（或邊cd）交于點q，pq的長度y（cm）與點p的運動時圖象如圖所示當(dāng)p運動2.5s時，pq的長為（ ）a. cmb. cmc. cmd. cm【答案】d【解析】【分析】根據(jù)圖象知：p點運動2s時，pq與bd重合，得出p點運動速度是2cm/s，從而得出當(dāng)p運動2.5s時，p點運動的路程是5cm

15、，此時p在bc邊上，cp1為3cm，從而計算pq的長度【詳解】解：由知：p點運動2s時，pq與bd重合，且四邊形abcd的邊長為4cmp點運動速度是2cm/s當(dāng)p運動2.5s時，p點運動的路程是5cm，此時p在bc邊上cp1=3cm又pqbdcq1=3cmcm故答案為：d【點睛】本題考查動點的函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖形與圖象獲取p的運動速度是解題關(guān)鍵8. 如圖，已知abeg，bcde，cdef，則x、y、z三者之間的關(guān)系是（ ）a. x+y+z180b. xzyc. yxzd. yxxz【答案】b【解析】【分析】延長ab交de于h，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到abc=deg，即x=z+y，進而得到x

16、-z=y【詳解】如圖所示，延長ab交de于h，bcde，abc=ahe=x，cdef，abeg，d=def=z，ahe=deg=z+y，abc=deg，即x=z+y，x-z=y，故選：b【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，內(nèi)錯角相等二填空題9. 計算_【答案】【解析】【分析】通過積的乘方公式的逆用： ，將指數(shù)變成相同，再進行計算即可【詳解】解：故答案為：?！军c睛】本題考查積乘方公式的逆用，掌握將指數(shù)化為相同再運用公式是解題關(guān)鍵10. 有一個正方形花園,如果它的邊長減少2米,那么花園面積將減小24平方米,請你求出原來花園的面積為_平方米【答案】49【解析】【分

17、析】設(shè)原來正方形共園的邊長為x米，根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合題意可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得答案.【詳解】設(shè)原來正方形花園的邊長為x米，則有(x-2)2=x2-24，解得：x=7，所以原正方形花園的面積為72=49平方米，故答案為49.【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.11. 若是完全平方式，則 a_ 【答案】13或-11【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式：進行分類討論即可【詳解】解： 解得： 故答案為：13或-11【點睛】本題考查完全平方公式參數(shù)問題，掌握完全平方公式的展開特點與分類討論是解題關(guān)鍵12. 如圖，直線ef分別交ab、cd于點e、f

18、，eg平分bef，abcd若174，則2 的度數(shù)為_度【答案】【解析】【分析】根據(jù)abcd，174得出，再根據(jù)eg平分bef得出，從而計算2【詳解】解：abcd174（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）又eg平分bef（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）故答案為：【點睛】本題考查平行線和角平分線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補、內(nèi)錯角相等是解題關(guān)鍵13. 如圖，在abc中，a50，c72，bd是abc的角平分線，de是ab邊上的高，bde的度數(shù)是_度【答案】【解析】【分析】先根據(jù)a50，c72計算出的度數(shù)，再根據(jù)bd是abc的角平分線得出,再根據(jù)de是ab邊上的高從而求算bde【詳解】解：a50，c72又b

19、d是abc的角平分線又de是ab邊上的高 故答案為：【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)、三角形高的定義轉(zhuǎn)化相關(guān)的角度是解題關(guān)鍵14. 一種樹苗栽種時的高度為0cm，為研究它們的生長情況，測得數(shù)據(jù)如表；栽種以后的年數(shù) n/年1234高度 h/cm105130155180則按照表中呈現(xiàn)規(guī)律，栽種_年后，樹苗能長到 280cm【答案】8【解析】【分析】根據(jù)表格尋找規(guī)律：每過一年，樹高度增加25cm，從而尋找樹苗高度h與栽種的年數(shù)n之間的關(guān)系，再進行求解【詳解】解：根據(jù)題意和表中的數(shù)據(jù)可知：樹苗高度h與栽種的年數(shù)n之間的關(guān)系式為： 當(dāng)時，代入得：故栽種8年后，樹苗能長到280cm故答案為：8

20、【點睛】本題考查規(guī)律問題，正確尋找出樹苗高度h與栽種的年數(shù)n之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵15. 如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，點為的中點如果點p在線段bc上以3厘米/秒的速度由b點向c點運動，同時，點q在線段cd上由c點向d點運動當(dāng)點的運動速度為_厘米/秒時，能夠使與全等【答案】3或【解析】【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點q的運動速度【詳解】解：設(shè)點p運動的時間為t秒，則bp=3t，cp=8-3t，點為的中點，厘米，ae=be=5厘米，b=c，當(dāng)be=cp=5，bp=cq時，bpe與cqp全等，此時，5=8-3t，解得t=1，bp=cq=3，此時，點q的運動速度為

21、31=3厘米/秒；當(dāng)be=cq=5，bp=cp時，bpe與cqp全等，此時，3t=8-3t，解得t=，點q的運動速度為5=厘米/秒；故答案為：3厘米/秒或厘米/秒【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等三解答題16. 尺規(guī)作圖：如圖，點p是abc內(nèi)部一點，求作直線pqbc(不寫作法，保留作圖痕跡).【答案】見解析【解析】【分析】過p作bc的垂線，已p為圓心，pc為半徑作圓，延長cp交圓于d，分別已c、d為圓心大于pc的長作半徑交于q點，連接pq即可.【詳解】解：如圖【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般

22、是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作17. 計算題（1） （2） （3）（m2n+3）（m+2n3） （4）（用乘法公式計算）（5）化簡求值：，其中 x2，y1【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1；（5）3【解析】【分析】（1）先將積的乘方計算，再計算單項式的乘除法；（2）先分別計算平方差和完全平方公式，再合并同類項；（3）將式子整理成平方差公式的一般形式，再進行計算；（4）將變?yōu)?，再利用平方差公式計算；?）利用完全平方公式、多項式乘以多項式、多項式除以單項式先將式子化簡，再求值【詳解】解

23、：（1）原式= =（2）原式= = = = （3）原式= = = （4）原式= = （5）原式= = = 將x2，y1代入：原式=3【點睛】本題考查單項式乘除法、平方差公式、完全平方公式以及整式的化簡求值，掌握相關(guān)的公式以及運算法則是解題關(guān)鍵18. 完成推理填空：如圖，已知 abcd，gh平分agm，mn平分cmg，請說明ghmn的理由解：因為 abcd（已知），所以agf+ 180（ ），因為 gh 平分agf，mn 平分cmg（ ），所以1 agf，2 cmg（ ）， 得1+2（agf+cmg） ， 所以 ghmn（ ）【答案】cmg；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；已知；角平分線的定義；90；

24、垂直的定義【解析】分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）、以及角平分線的定義去轉(zhuǎn)化角度即可【詳解】解：因為 abcd（已知），所以agf+ cmg 180（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ），因為 gh 平分agf，mn 平分cmg（ 已知 ），所以1 agf，2 cmg（ 角平分線的定義 ）， 得1+2（agf+cmg） 90 ， 所以 ghmn（ 垂直的定義 ）【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題關(guān)鍵19. 如圖，已知cdab于點d，deac交bc點 e，efab于點f，dgbc交ac于點g，且defbef，求證：gdcgcd【答案】見解

25、析【解析】【分析】依據(jù)cdab，efab，即可得出cdef，進而得到1=def，2=bef，再根據(jù)def=bef，即可得出1=2，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到1=gcd，2=gdc，等量代換可得gdc=gcd【詳解】證明：cdab，efab，cdef，1=def，2=bef，又def=bef，1=2，deac，dgbc，1=gcd，2=gdc，gdc=gcd【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等20. bd、ce分別是abc的邊ac、ab上的高，p在bd的延長線上，且bp=ac，點q在ce上，cq=ab,求證：（1）ap=aq ；（2）apa

26、q【答案】詳見解析【解析】【分析】（1）由于bdac，ceab，可得abd=ace，又有對應(yīng)邊的關(guān)系，進而得出abpqca;（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明paq=90即可【詳解】解：（1）bdac，ceab（已知），bec=bdc=90，abd+bac=90，ace+bac=90abd=ace在abp和qca中abpqca（sas）ap=aq（2）由（1）可得caq=pbdac（已知），即p+cap=90caq+cap=90，即qap=90，apaq考點: 全等三角形的判定與性質(zhì)21. 如圖所示 a、b 兩地相距50千米，甲于某日下午1時騎自行車從a地出發(fā)駛往b地，乙也于同日下午騎摩托車按同路從

27、a地出發(fā)駛往b地如圖所示，圖中的折線pqr和線段mn分別表示甲、乙所行駛的路程s與該日下午時間t之間的關(guān)系（1）甲乙兩人中， 先出發(fā)，先出發(fā) 小時（2）甲乙兩人中， 先到達b地，先到 小時（3）分別求出乙騎摩托車的速度和甲騎自行車在全程的平均速度（4）乙出發(fā)大約用多長時間就追上甲?【答案】（1）甲，1；（2）乙，2；（3）摩托車的速度為50千米/小時，甲騎自行車在全程的平均速度是12.5千米/小時；（4）0.5小時【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以解答本題；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以得到甲和乙哪一個先到達b地，先到多長時間；（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以分別求得乙騎摩托車的速度和甲騎自行

28、車在全程的平均速度；（4）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計算出乙出發(fā)大約用多長時間就追上甲【詳解】解：（1）由圖可知，甲先出發(fā)，先出發(fā)2-1=1小時；（2）由圖可知，乙先到達b地，先到5-3=2小時；（3）摩托車速度為：50（3-2）=50千米/小時，甲騎自行車在全程的平均速度是：50（5-1）=12.5千米/小時；（4）設(shè)乙出發(fā)大約x小時就追上甲，20+（50-20）（5-2）x=50x，解得，x=0.5答：乙出發(fā)大約0.5小時就追上甲【點睛】此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答22. 對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一

29、個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）圖2所表示的數(shù)學(xué)等式為_；（2）利用（1）得到的結(jié)論，解決問題: 若，求的值；（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點在同一直線上，連接,若兩正方形的邊長滿足求陰影部分面積【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積，另一種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的乘法公式，進行變形得出答案即可；（3）利用s陰影=正方形abcd的面積+正方形ecgf的面積-三角形egf

30、的面積-三角形aed的面積求解【詳解】（1）由圖可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得：ab+bc+ac(a+b+c)2(a2+b2+c2)= 12260=42；（3）s陰影a2+b2 (ab)ab2=a2+b2a2+abb2= (a2+b2+ab)= (a+b)2ab= 15235=95【點睛】此題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示同一圖形的面積23. 探索發(fā)現(xiàn)：如圖是一種網(wǎng)紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖

31、如圖1圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即abcd各活動小組探索apc 與a，c之間的數(shù)量關(guān)系已知abcd，點p不在直線ab和直線cd上，在圖1中，智慧小組發(fā)現(xiàn)：apca+c智慧小組是這樣思考的：過點 p 作 pqab，（1）請你按照智慧小組作的輔助線完成證明過程（2）在圖2中，猜測apc與a，c 之間的數(shù)量關(guān)系，并完成證明如圖3，已知abcd，則角、之間的數(shù)量關(guān)系為 （直接填空）（3）善思小組提出：如圖4，圖5abcd，af，cf分別平分bap，dcp在圖4中，猜測afc與apc之間的數(shù)量關(guān)系，并證明在圖5中，afc與apc之間的數(shù)量關(guān)系為 （直接填空）【答案】（1）見解析；（2）apc+a+

32、c=360；理由見解析；+-=180；理由見解析；（3）afc=apc；理由見解析；afc=180-apc；理由見解析；【解析】【分析】探索發(fā)現(xiàn)：由平行線的性質(zhì)得出apq=a，由pqab，abcd，推出pqcd，得出apq=c，推出apq+cpq=a+c，即可得出結(jié)論；類比思考過點p作pqab，延長ba到m，延長dc到n，由平行線的性質(zhì)得出apq=pam，由pqab，abcd，推出pqcd，得出apq=pcn，則apq+cpq+pab+pcd=360，即可得出結(jié)果；過點m作mqab，由平行線的性質(zhì)得出+qma=180，由mqab，abcd，推出mqcd，得出qmd=，即可得出結(jié)果；解決問題過點p作pqab，過點f作fmab，由平行線的性質(zhì)得出apq=bap，afm=baf，由角平分線的性質(zhì)得出baf=paf，即afm=bap，由pqab，fmab，abcd，推出pqcd，fmcd，得出cpq=dcp，cfm=dcf，由角平分線的性質(zhì)得出d